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1、第十章立体几何考试聚求重难点击命期展望1 .认识柱、锥、台、球及其简单组合 体的结构特征，并能用这些特征描述简单物 体的结构.2 .能画出简单空间图形（长方体、球、 圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合）的三视图， 能识别三视图表示的立体模型；会制作模 型，会用斜二测法画直观图.3 .通过观察用平行投影与中心投影画 出的三视图与直观图，了解空间图形的不同 表现形式.4 .了解球、棱柱、棱锥、台的表面积 和体积的计算公式.5 .掌握和理解点、空间直线、平面之 间的关系.6 .掌握空间线线、线面、面面平行的 判定和性质.掌握空间线线、线面、面面垂 直的判定和性质.7 .掌握空间向量及其基本运算（空间向 量
2、的加法、减法、数乘向量 ）；理解共线、 共面向量、空间向量定理，掌握空间向量的 数量积；理解空间向量坐标概念， 运算，法 向量.8 .理解空间角，会求线线角、线面角、 面面角.9 .掌握空间距离，会由坐标求两点间 的距离及点到平面的距离.本章重点：1.正投影与三视图的画 法以及应用；2.几何体的表面积和体积 的计算；3.直线与直线、直线与平面、 平面与平面的位置关系；4.直线与直线、 直线与平面、平面与平面的平行与垂直 的判定方法和性质；5.利用空间向量求 空间距离和空间角.本章难点：1.利用直线与直线、直 线与平面、平面与平面垂直和平行的判 定定理与性质定理解决有关问题；2.利用空间向量求空
3、间角.1 .三视图结合几何 体求面积、体积是高考 热点，这也是新课改的 新增内容.空间角是高 考的重点，点、线、面 的平行和垂直关系是考 查的切入点.本章高考 时一般是选择填空题至 多1个，解答题1个. 多是以几何体为载体， 主要考查平行、垂直或 计算多面体的面积与体 积、空间角.2 .高考考查的热点 是三视图和几何体的结 构特征借以考查空间想 象能力，往往是以选择 题、填空题出现.3 .核心是以几何体 为载体，考查平行、垂 直关系的性质与判定.知识网络中时荚拓110.1空间几何体的结构及其三视图和直观图典例精析题型一结构特征判断【例1】以下命题错误的个数是（）以直角三角形的一边所在的直线为旋
4、转轴，旋转所得的几何体是圆锥；圆台的任意两条母线的延长线可能相交，也可能不相交；四棱锥的四个侧面都可以是直角三角形；三棱锥的四个面可能都是直角三角形；有两个面互相平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台A.1个B.2个C.3个D.4个【解析】错：只能以直角边为轴旋转一周才可；错：必相交;对:对:错:如图，底面 ABCD为矩形，PA，底面ABCD时，四个侧面均为直角三角形;如图，/ ABC = 90, PA，底面，则四个面均为直角三角形;只有侧棱延长交于一点时才是棱台.H综上，错误的个数是 3,故选C.【点拨】判断结构特征必须严格依据柱、锥、台、球的定义，结合实际形成一定的空间想象能力【变式训练1】
5、给出下列命题: 在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线;圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线；在圆台的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线;圆柱的任意两条母线所在直线互相平行.其中正确命题的序号是 .【解析】.例2用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的一个正方题型二直观图的斜二测画法形，则原来的图形是（）AC【解析】 按照斜二测画法的作图规则，对四个选项逐一验证，可知只有选项A符合题意.【点拨】本题已知直观图，探求原平面图形，考查逆向思维能力.要熟悉运用斜二测画法画水平放置的 直观图的基本规则，注意直观图中的线段、角与原图
6、中的对应线段、角的关系【变式训练2】已知 ABC的平面直观图 ABC是边长为a的正三角形，求原三角形的面积【解析】因为直观图的坐标轴成 45。，横长不变，竖长画成原来的一半，则还原成原图时将45。还原成90。，则过A作AO与OC成45。，将其还原成 而AD =当a.所以AO=坐a内/2 = #k, 所以 Saabc=；BC. AO = 2aX/6a=a2题型三三视图与直观图【例3】 四棱柱ABCD A1B1c1D1的三视图如下.求出该四棱柱的表面积；(2)求证：DiCACi；设E是DC上一点，试确定 E的位置，使 DiE/平面AiBD,并说明理由 【解析】(1)求得该四棱柱的表面积为 S= 1
7、1 + 2吸.(2)证明：由三视图得该四棱柱为直四棱柱且底面为直角梯形在直四棱柱 ABCD AiBiCiDi中，连接CiD.因为DC = DDi,所以四边形 DCCiDi是正方形. 所以DCilDiC.又 ADJDC, ADJDDi, DCADDi=D,所以 AD，平面DCCiDi.又 DiC?平面 DCCiDi,所以 ADJDiC.因为 AD, DCi?平面 ADCi,且 ADADCi=D, 所以 DiC,平面ADCi.又ACi?平面ADCi,所以DiC必Ci.(3)连接 ADi, AE,设 ADiAAiD = M, BDAAE = N,连接 MN.因为平面 ADiEA平面AiBD=MN,要
8、使DiE/平面AiBD,须使MN / DiE,又M是ADi的中点，所以N是AE的中点.又易知ABNZzEDN ,所以AB = DE,即E是DC的中点.综上所述，当 E是DC的中点时，可使 DiE/平面AiBD.【点拨】本题以三视图为载体考查空间线面位置关系的证明以及表面积的计算，解决此类问题的关键是能够对给出的三视图进行恰当的分析，从三视图中发现相应的位置关系与数量关系，然后在直观图中解决问题【变式训练3】如图所示，甲、乙、丙是三个几何体的三视图，则甲、乙、丙对应的标号依次是长方体；圆锥；三棱锥；圆柱正视图侧视图 O 的视圉甲A.B.C.D.【解析】选A.总结提高F糊圉网视图A皓视图乙正柱圄侧
9、视图情视图 而学习空间几何体的结构要以对实物的观察想象为基础，再以课本中给定的柱、锥、台、球的概念为标准对实物进行再认识，通过这一过程提高空间想象能力10.2空间几何体的表面积与体积典例精析题型一表面积问题【例1】圆锥的高和底面半径相等，它的一个内接圆柱的高和圆柱底面半径也相等,求圆柱的表面积和圆锥的表面积之比.【解析】设圆锥的半径为 R,母线长为1,圆柱的半径为r,轴截面如图,S 圆锥=兀 R+ 1)R =兀 R+，2r)R=(6兀+ ntR2,r R r _ r 1又R =所以R = 2所以Sa 柱,21S锥1【点拨】轴截面是解决内接、外切问题的一种常用方法【变式训练1】一几何体按比例绘制
10、的三视图如图所示（单位：m）.试画出它的直观图;（2）求它的表面积和体积.【解析】（1）直观图如图所示.正视图便视图俯视图（2）该几何体的表面积为（7+亚）m2,体积为3m3.题型二体积问题,1I【例2】 某人有一容积为 V,高为a且装满了油的直三棱柱形容器，不小心将该容器掉在地上，有两b、c的地方，且容器盖也被摔开了 （盖处破损并发生渗漏，其位置分别在两条棱上且距下底面高度分别为 为上底面），为减少油的损失，该人采用破口朝上，倾斜容器的方式拿回家，估计容器内的油最理想的剩余 量是多少?【解析】 如图，破损处为 D、巳 且AD = b, EC=c, BBi = a,则容器内所剩油的最大值为几何
11、体ABCDBiE的体积.因为 VD _BCEB1 = VA _BCEB1，而VD BCEB1a+ cVA1 _BCC 1B2a ，2 V由二棱柱几何性质知VA1 _BCC1B1 =1V,VA1_ABC=W，33VD ABCbb V bV又因为 V=a，所以 VDabc=1 3=/， Ai jABCa+ c所以 VDg =0V,所以 VABC _DB1E = VDa+ b+ cBCEB1 +VD ABC= -3a-V.a + b + c故油最理想的剩余量为三V.【点拨】 将不规则的几何体分割为若干个规则的几何体，然后求出这些规则几何体的体积，这是求几何体体积的一种常用的思想方法【变式训练2】一个
12、母线长与底面圆直径相等的圆锥形容器，里面装满水，一铁球沉入水内，有水溢出，容器盖上一平板，恰与球相切，问容器内剩下的水是原来的几分之几?【解析】设球的半径为R,则圆车B的高h= 3R,底面半径r =V 圆锥=：(V3R)2 3R=3tiR3； V 球=4成3.43所以V球 3成 4V圆锥3 R 9可.所以剩下的水量是原来的1 4=5.9 9【点拨】 本题关键是求圆锥与球的体积之比，作出轴截面，找出球半径和圆锥高、底面半径的关系即题型三组合体的面积、体积的关系【例3】底面直径为2,高为1的圆柱截成横截面为长方形的棱柱，设这个长方形截面的一条边长为x,对角线长为2,截面的面积为 A,如图所示:求面积A以x为自变量的函数式;(2)求截得棱柱的体积的最大值【解析】(1)A=x，4x2(0x 2).(2)V=x -，4 x2 - 1 = Jx2(4-x2) =，-(x2-2)2+4.因为0V xGH ,所以四边形EFHG是梯形，其两腰所在直线
