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1、一元二次方程根与系数的关系及其应用准备知识回顾:1、一元二次方程含义:含有一个未知数,且未知数的次数最高是2的整式方程叫一元二次方程.2、一般形式: (是常数,且) 3、解法:直接开平方法:形如和的形式可直接开平方.如(-1)2=5两边开平方得: 公式法:的求根公式是:十字相乘法:方程右边为零,左边分解成的形式,将一元二次方程转化成,的形式,变成两个一元一次方程来解. 4、根的判别式:=方程有两个不相等实根.方程有两个相等实根. 方程无实根.例 求解下列方程(1) (2)(3) (4) (5) (6) (7)韦达定理相关知识1、 若一元二次方程有两个实数根,那么 , 。我们把这两个结论称为一元
2、二次方程根与系数的关系,简称韦达定理。一元二次方程的韦达定理,揭示了根与系数的一种必然联系利用这个关系,我们可以解决诸如已知一根求另一根、求根的代数式的值、构造方程、证明等式和不等式等问题,它是中学数学中的一个有用的工具2、如果一元二次方程的两个根是,则 , 。反过来,如果x1,x2满足x1+x2=p,x1x2=q,则x1,x2是一元二次方程x2-px+q=0的两个根3、以为根的一元二次方程(二次项系数为1)是4、在一元二次方程中,有一根为0,则 ;有一根为1,则 ;有一根为,则 ;若两根互为倒数,则 ;若两根互为相反数,则 。5、二次三项式的因式分解 在分解二次三项式的因式时,如果可用公式求
3、出方程的两个根,那么如果方程无根,则此二次三项式不能分解.6 应用一元二次方程的根与系数关系时,要注意 (1)首先要把已知方程化成一般形式.(2)当且仅当b2-4ac0时,才能应用根与系关系.(3)已知方程的两根,求作一元二次方程时,要注意根与系数的正、负号.韦达定理的应用1、已知一元二次方程的一个根,求出另一个根以及字母系数的值例、已知方程x2-6x+m2-2m+5=0一个根为2,求另一个根及m的值分析:本题通常有两种做法,一是根据方程根的定义,把x=2代入原方程,先求出m的值,再通过解方程求另一个根;二是利用一元二次方程的根与系数的关系求出另一个根及m的值.解法一:把x=2代入原方程,得2
4、2-62+m2-2m+5=0即m2-2m-3=0解得m1=3 =-1当m1=3 =-1时,原方程都化为x2-6x+8=0 x1=2 x2=4方程的另一个根为4,m的值为3或-1.解法二:设方程的另一个根为x.则或 2、判别一元二次方程两根的符号.例1、不解方程,判别2x2+3x-7=0两根的符号分析:因为二次项系数,一次项系数,常数项皆为已知,可求根的判别式,但只能用于判定根存在与否,若判定根的正负,则需要考察x1x2 或 x1+ x2的正负情况.解:=32-42(-7)=650方程有两个不相等的实数根 设方程的两个根为x1, x2,x1x2=- 0,仍需考虑x1+ x2的正负,从而判别是两个
5、正根还是两个负根.例2、当m为什么实数时,关于x的二次方程mx2-2(m+1)x+m-1=0的两个根都是正数。分析:正、负根的问题应这样想:如正数根,应确保两根之和大于零,两根之积大于零,根的判别式大于等于零。解:设方程的二根为x1, x2,且x10, x20,则有 由 =-2(m+1)2-4m(m-1)0 解得:m-m0, m0或m1不等式组的解集为空集.m1当m1时,方程的两个根都是正数。说明:当二次项系数含有字母时,不要忘记a0的条件。例3、k为何值时,方程2(k+1)x2+4kx+3k-2=0(1)两根互为相反数(2)两根互为倒数(3)有一根为零,另一根不为零。分析:两根“互为相反数”
6、、“互为倒数”,“有一根为零,另一根不为零”等是对两根的性质要求,在满足这个要求的条件下,求待定字母的取值.方程的根互为相反数,则x1=-x2,即x1+x2=0;互为倒数,则x1=,即x1x2=1,但要注意考察判别式0.解:设方程的两根为x1, x2,则x1+x2=-=- x1x2=(1)要使方程两根互为相反数,必须两根的和是零,即x1+x2=-=0,k=0,当k=0时,=(4k)2-42(k+1)(3k-2)=160当k=0时,方程两根互为相反数。(2)要使方程两根互为倒数,必须两根的积是1,即x1x2=1,解得k=4当k=4时,=(4k)2-42(k+1)(3k-2)=-1440,k=时,
7、原方程有一根是零,另一根不是零。说明:研究两个实数根问题时,应注意二次项系数不得为零,=b2-4ac不得小于零。3、根的关系,确定方程系中字母的取值范围或取值.例1、关于x的一元二次方程x2-3x+k+1=0的两根的平方和小于5,求k的取值范围。解:设方程两根分别为x1, x2,x1+x2=3,x1x2=k+1x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=32-2(k+1)1 又=(-3)2-4(k+1)0k由得:1k说明:例1是应用根的判别式,已知条件,构造不等式,用不等式组的思想,确定字母的取值范围. 例2、知:方程x2+2(m-2)x+m2+4=0有两个实数根,且这两个根的平方和比两根的
8、积大21,求m的值。分析:本题是利用转化的思想将等量关系“两个根的平方和比两根的积大21”转化为关于m的方程,就可求得m的值.解:方程有两个实数根,=2(m-2)2-41(m2+4)0解这个不等式,得m0设方程两根为x1, x2,x1+x2=-2(m-2) x1x2=m2+4x12+x22-x1x2=21(x1+x2)2-3x1x2=21-2(m-2)2-3(m2+4)=21整理得:m2-16m-17=0解得:m1=17 m2=-1又m0 m=-1说明:1、求出m1=17, m2=-1后,还要注意隐含条件m0,舍去不合题意的m=17。4 求根的代数式的值在求根的代数式的值的问题中,要灵活运用乘
9、法公式和代数式的恒等变形技巧例1 已知二次方程x2-3x1=0的两根为,求:(3);(4)3-3解 由韦达定理知+=3,=1(3)=(+)(2-+2)=(+)(+)2-3 =3(9-3)=18;(4)3-3=(-)(2+2)=(-)(+)2-例2 设方程4x2-2x-3=0的两个根是和,求42的值解 因为是方程4x2-2x-3=0的根,所以4-2-30,即4=234+2=2+3+2=2(+)+3=45 与两根之比有关的问题 例1 如果方程ax2bxc=0(a0)的根之比等于常数k,则系数a,b,c必满足:kb2=(k1)2ac证 设方程的两根为x1,x2,且x1=kx2,由韦达定理由此两式消去
10、x2得即kb2(k1)2ac例2 已知x1,x2是一元二次方程4x2-(3m-5)x-6m20解 首先,=(3m-5)296m20,方程有两个实数根由韦达定理知从上面两式中消去k,便得即m2-6m+5=0,所以m1=1,m2=56 求作新的二次方程 例 已知方程2x2-9x8=0,求作一个二次方程,使它的一个根为原方程两根和的倒数,另一根为原方程两根差的平方解 设x1,x2为方程2x2-9x8=0的两根,则设所求方程为x2+px+q=0,它的两根为x1,x2,据题意有故所以,求作的方程是 36x2-161x34=0A组1方程x2-4x+m=0的一个根是,那么另一根是( ) (A) +4(B)-
11、4 (C)4-(D)以上答案都不对2若方程x2+px+q=0的两根中只有一个根为0,那么( ) (A)p=q=0(B)p=0, q0 (C)p0, q=0(D)p0, q0 3如果-1是方程x2+mx-1=0的一个根,那么m的值为( ) (A)-2 (B)-3 (C)1 (D)2 4以3和-2为根的一元二次方程是( ) (A)x2+x-6=0 (B)x2+x+6=0 (C)x2-x-6=0 (D)x2-x+6=05两个实数根的和是3的一元二次方程是( ) (A)x2+3x-4=0 (B)x2-3x+4=0 (C)x2-3x-4=0 (D)x2+3x+4=0 6 不解方程,求方程x2-7x+5=
12、0的两根之差。 (A) (B) (C)(D)以上都不对二、填空题:1、设、是方程的两根,则 ; ; 。2、以方程的两根的倒数为根的一元二次方程是 。3、已知方程的一个根是1,则它的另一个根是 ,的值是 。4、反比例函数的图象经过点P(、),其中、是一元二次方程 的两根,那么点P的坐标是 。三、解答题:1、证明:方程无整数根。2、已知关于x的方程x2-(k-1)x+k+1=0的两个实数根的平方和等于4,求实数k的值3、已知x1,x2是方程4ax2-4ax+a+4=0的两个实根B组 1选择:(1)若x0是一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的根,则判别式=b2-4ac与平方式M=(2ax0+b)2的关系是 (A)M(B)=M (C)=M(D)不确定(2)方程x2+px+1997=0恰有两个正整数根x1,x2,则(3)已知两圆的半径