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专题1 二次函数
题型一 二次函数的图象和性质
例 1 对于抛物线y＝－x2＋2x＋3，有下列四个结论：①它的对称轴为x＝1；
②它的顶点坐标为(1，4)；
③它与y轴的交点坐标为(0，3)，与x轴的交点坐标为(－1，0)和(3，0)；
④当x＞0时，y随x的增大而减小．
其中正确的个数为( C )
A．1 B．2 C．3 D．4
【解析】 ①对称轴为x＝－＝－＝1，∴①正确；②y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4，∴它的顶点坐标为(1，4)，∴②正确；③y＝－x2＋2x＋3，当x＝0时，y＝3，当y＝0时，－x2＋2x＋3＝0，x1＝－1，x2＝3，∴y＝－x2＋2x＋3与y轴的交点坐标为(0，3)，与x轴的交点坐标为(－1，0)和(3，0)，∴③正确；④∵a＝－1＜0，∴当x＞1时，y随x的增大而减小，∴④错误．故正确的选项有①②③三个．
【点悟】 二次函数的性质，常常从对称轴、顶点坐标、最大值(最小值)，增减性等角度分析．
变式跟进
1．小张同学说出了二次函数的两个条件：
(1)当x＜1时，y随x的增大而增大；
(2)函数图象经过点(－2，4)．
则符合条件的二次函数表达式可以是( D )
A．y＝－(x－1)2－5 B．y＝2(x－1)2－14
C．y＝－(x＋1)2＋5 D．y＝－(x－2)2＋20
2．求下列函数的图象的对称轴、顶点坐标及与x轴的交点坐标．
(1)y＝4x2＋24x＋35；
(2)y＝－3x2＋6x＋2；
(3)y＝x2－x＋3；
(4)y＝2x2＋12x＋18.
解：(1)∵y＝4x2＋24x＋35，
∴对称轴是直线x＝－3，顶点坐标是(－3，－1)，
解方程4x2＋24x＋35＝0，得x1＝－，x2＝－，
故它与x轴交点坐标是，；
(2)∵y＝－3x2＋6x＋2，
∴对称轴是直线x＝1，顶点坐标是(1，5)，
解方程－3x2＋6x＋2＝0，
得x1＝1＋，x2＝1－，
故它与x轴的交点坐标是，；
(3)∵y＝x2－x＋3，
∴对称轴是直线x＝，顶点坐标是，
解方程x2－x＋3＝0，无解，故它与x轴没有交点；
(4)∵y＝2x2＋12x＋18，
∴对称轴是直线x＝－3，顶点坐标是(－3，0)，
当y＝0时，2x2＋12x＋18＝0，∴x1＝x2＝－3，
∴它与x轴的交点坐标是(－3，0)．
题型二 二次函数的平移
例 2 将抛物线y＝－2x2＋1向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度所得的抛物线表达式为( C )
A．y＝－2(x＋1)2 B．y＝－2(x＋1)2＋2
C．y＝－2(x－1)2＋2 D．y＝－2(x－1)2＋1
【点悟】 二次函数图象的平移实质上是顶点位置的变化，只要确定平移前、后的顶点坐标，就可以确定抛物线的平移规律．
变式跟进
3．将抛物线y＝2x2＋4x－5的图象向左平移2个单位，再向上平移1个单位，所得抛物线表达式是( C )
A．y＝2(x＋1)2－7 B．y＝2(x＋1)2－6
C．y＝2(x＋3)2－6 D．y＝2(x－1)2－6
题型三 二次函数与一元二次方程和不等式的关系
例 3 [2016·宁夏]若二次函数y＝x2－2x＋m的图象与x轴有两个交点，则m的取值范围是__m＜1__．
【解析】 ∵二次函数y＝x2－2x＋m的图象与x轴有两个交点，∴Δ＞0，∴4－4m＞0，∴m＜1.
【点悟】 抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴的交点的横坐标x1，x2，就是方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个根，判断抛物线与x轴是否有交点，只要判断b2－4ac与0的大小即可．
变式跟进
4．已知二次函数y＝x2－2x＋m(m为常数)的图象与x轴的一个交点为(－1，0)，则关于x的一元二次方程x2－2x＋m＝0的两个实数根是( D )
A．x1＝1，x2＝2 B．x1＝1，x2＝3
C．x1＝－1，x2＝2 D．x1＝－1，x2＝3
【解析】 二次函数y＝x2－2x＋m(m为常数)的对称轴是x＝1，(－1，0)关于x＝1的对称点是(3，0)．则一元二次方程x2－2x＋m＝0的两个实数根是x1＝－1，x2＝3.
5．[2017·高邮二模]如图1，二次函数y1＝ax2＋bx＋c与一次函数y2＝kx的图象交于点A和原点O，点A的横坐标为－4，点A和点B关于抛物线的对称轴对称，点B的横坐标为1，则满足0＜y1＜y2的x的取值范围是__－4＜x＜－3__．
图1 第5题答图
【解析】 如答图所示，∵点A的横坐标为－4，点A和点B关于抛物线的对称轴对称，点B的横坐标为1，∴抛物线的对称轴为x＝－，∵二次函数y1＝ax2＋bx＋c与一次函数y2＝kx的图象交于点A和原点O，∴C点坐标为(－3，0)，则满足0＜y1＜y2的x的取值范围是－4＜x＜－3.
题型四 二次函数的图象与系数之间的关系
例 4 如图2，已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴交于点A(－1，0)，与y轴的交点B在(0，－2)和(0，－1)之间(不包括这两点)，对称轴为直线x＝1.下列结论：
①abc＞0； ②4a＋2b＋c＞0；
③4ac－b2＜8a； ④＜a＜； ⑤b＞c.
其中含所有正确结论的选项是( D )
图2
A．①③ B．①③④
C．②④⑤ D．①③④⑤
【解析】 ①∵函数开口方向向上，∴a＞0，∵对称轴在原点右侧，∴ab异号，∵抛物线与y轴交点在y轴负半轴，∴c＜0，∴abc＞0，故①正确；
②∵图象与x轴交于点A(－1，0)，对称轴为直线x＝1，∴图象与x轴的另一个交点为(3，0)，
∴当x＝2时，y＜0，∴4a＋2b＋c＜0，故②错误；
③∵图象与x轴交于点A(－1，0)，∴当x＝－1时，y＝(－1)2a＋b×(－1)＋c＝0，∴a－b＋c＝0，即a＝b－c，c＝b－a，∵对称轴为直线x＝1，∴－＝1，即b＝－2a，∴c＝b－a＝(－2a)－a＝－3a，∴4ac－b2＝4a(－3a)－(－2a)2＝－16a2＜0.∵8a＞0，∴4ac－b2＜8a，故③正确；
④∵图象与y轴的交点B在(0，－2)和(0，－1)之间，∴－2＜c＜－1，∴－2＜－3a＜－1，∴＞a＞，故④正确；
⑤∵a＞0，∴b－c＞0，即b＞c，故⑤正确．
【点悟】 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；|a|还可以决定开口大小，|a|越大开口就越小．②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置．当a与b同号时(即ab＞0)，对称轴在y轴左侧；当a与b异号时(即ab＜0)，对称轴在y轴右侧(简称：左同右异)．③常数项c决定抛物线与y轴交点，抛物线与y轴交于(0，c)．
变式跟进
6．[2016·孝感]如图3是抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的部分图象，其顶点坐标为(1，n)，且与x轴的一个交点在点(3，0)和(4，0)之间．则下列结论：
①a－b＋c>0； ②3a＋b＝0； ③b2＝4a(c－n)；
④一元二次方程ax2＋bx＋c＝n－1有两个不相等的实数根．
其中正确结论的个数是( C )
图3
A．1 B．2 C．3 D．4
【解析】 ∵抛物线与x轴的一个交点在点(3，0)和(4，0)之间，而抛物线的对称轴为直线x＝1，∴抛物线与x轴的另一个交点在点(－2，0)和(－1，0)之间．∴当x＝－1时，y＞0，即a－b＋c＞0，∴①正确；
∵抛物线的对称轴为直线x＝－＝1，即b＝－2a，∴3a＋b＝3a－2a＝a，∴②错误；
∵抛物线的顶点坐标为(1，n)，∴＝n，∴b2＝4ac－4an＝4a(c－n)，∴③正确；
∵抛物线与直线y＝n有一个公共点，∴抛物线与直线y＝n－1有2个公共点，∴一元二次方程ax2＋bx＋c＝n－1有两个不相等的实数根，∴④正确．
题型五 二次函数的实际应用
例 5 [2016·潍坊]旅游公司在景区内配置了50辆观光车供游客租赁使用，假定每辆观光车一天内最多只能出租一次，且每辆车的日租金x(元)是5的倍数，发现每天的运营规律如下：当x不超过100元时，观光车能全部租出；当x超过100元时，每辆车的日租金每增加5元，租出去的观光车就会减少1辆，已知所有观光车每天的管理费是1 100元．
(1)优惠活动期间，为使观光车全部租出且每天的净收入为正，则每辆车的日租金至少应为多少元？(注：净收入＝租车收入－管理费)
(2)当每辆车的日租金为多少时，每天的净收入最多？
解：(1)由题意知，若观光车能全部租出，则0≤x≤100，由50x－1 100＞0，解得x＞22，
∵x是5的倍数，∴每辆车的日租金至少为25元；
(2)设每天的净收入为y元，当0≤x≤100时，y1＝50x－1 100，∵y1随x的增大而增大，∴当x＝100时，y1的最大值为50×100－1 100＝3 900.
当x＞100时，y2＝x－1 100＝－x2＋70x－1 100＝－(x－175)2＋5 025.
当x＝175时，y2的最大值是5 025，∵5 025＞3 900，
∴当每辆车的日租金为175元时，每天的净收入最多，最多收入是5 025元．
【点悟】 应用二次函数解决实际问题中的最优化问题，实际上就是求函数的最大值(或最小值)．解题时，要先根据题目提供的条件确定函数关系式，并将它配成顶点式，y＝a(x－h)2＋k，再根据二次函数的性质确定最大值或最小值．
变式跟进
7．[2016·杭州]把一个足球垂直水平地面向上踢，时间t(s)与该足球距离地面的高度h(m)适用公式h＝20t－5t2(0≤t≤4)．
(1)当t＝3时，求足球距离地面的高度；
(2)当足球距离地面的高度为10 m时，求t的值；
(3)若存在实数t1，t2(t1≠t2)，当t＝t1或t2时，足球距离地面的高度都为m(m)，求m的取值范围．
解：(1)当t＝3时，h＝20t－5t2＝15(m)，
∴此时足球离地面的高度为15 m；
(2)∵h＝10，∴20t－5t2＝10，
即t2－4t＋2＝0，解得t＝2＋或t＝2－，
∴经过2＋或2－ s时，足球距离地面的高度为10 m；
(3)∵m≥0，由题意得t1和t2是方程20t－5t2＝m的两个不相等的实数根，
∴b2－4ac＝202－20m＞0，解得m＜20，
∴m的取值范围是0≤m＜20.
题型六 二次函数的综合题
例 6 [2017·浙江月考]如图4，抛物线C1：y＝－x2＋2x的顶点为A，与x轴的正半轴交于点B.
(1)将抛物线C1上的点的横坐标和纵坐标都扩大到原来的2倍，求变换后得到的抛物线的表达式；
(2)将抛物线C1上的点(x，y)变为(kx，ky)(|k|＞1)，变换后得到的抛物线记作C2，抛物线C2的顶点为C，求抛物线C2的表达式(用k表示)；
(3)在(2)条件下，点P在抛物线C2上，满足S△PAC＝S△ABC，且∠ACP＝90°.当k＞1时，求k的值．
图4 例6答图
解：(1)∵y＝－x2＋2x＝－(x－1)2＋，
∴抛物线C1经过原点O，点A(1，)和点B(2，0)三点，
∵将抛物线C1上的点的横坐标和纵坐标都扩大到原来的2倍，
∴变换后的抛物线经过原点O，(2，2)和(4，0)三点．
设变换后抛物线的表达式为y＝ax2＋bx，将(2，2)和(4，0)代入，
得解得
∴变换后抛物线的表达式为y＝－x2＋2x；
(2)∵抛物线C1经过原点O，点A(1，)和点B(2，0)三点，
将抛物线C1上的点(x，y)变为(kx，ky)(|k|＞1)，变换后得到的抛物线记作C2，则抛物线C2过原点O，(k，k)
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