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1、第一章 误差1 问3.142，3.141，分别作为的近似值各具有几位有效数字？分析 运用有效数字的概念可直接得出。解 =3.141 592 65记x1=3.142，x2=3.141，x3=.由- x1=3.141 59-3.142=-0.000 40知 因而x1具有4位有效数字。由- x2=3.141 59-3.141=-0.000 59知 因而x2具有3位有效数字。由-=3.141 59 -3.142 85=-0.001 26知 因而x3具有3位有效数字。2 已知近似数x*有两位有效数字，试求其相对误差限。分析 本题显然应运用有效数字与相对误差的关系。解 运用有效数字与相对误差的关系。这里n
2、=2,a1是1到9之间的数字。 3 已知近似数的相对误差限为0.3%，问x*至少有几位有效数字？分析 本题运用有效数字与相对误差的关系。解 a1是1到9间的数字。设x*具有n位有效数字，令-n+1=-1，则n=2，从而x*至少具有2位有效数字。4 计算sin1.2，问要取几位有效数字才干保证相对误差限不不小于0.01%。分析 本题应运用有效数字与相对误差的关系。解 设取n位有效数字，由sin1.2=0.93，故a1=9。 解不等式知取n=4即可满足规定。5 计算，视已知数为精确值，用4位浮点数计算。解 0.131 810-2-0.131 610-2=0.210-5成果只有一位有效数字，有效数字
3、大量损失，导致相对误差的扩大，若通分后再计算： 就得到4位有效数字的成果。此例阐明，在数值计算中，要特别注意两相近数作减法运算时，有效数字常会严重损失，遇到这种状况，一般采用两种措施：第一，应多留几位有效数字；第二，将算式恒等变形，然后再进行计算。例如，当x接近于0，计算时，应先把算式变形为 再计算。又例如，当x充足大时，应作变换6 计算，取，采用下列算式计算：（1）；（2）；（3）；（4）.问哪一种得到的成果最佳？解 显然因此（1）（2）（3）（4），这4个算式是恒等的，但当取计算时，由于（2），（3）都波及到两个相近数相减，使有效数字损失，而（1）在分母算式上的乘幂数比算式（4）大，因此算
4、式（4）最佳，事实上，当取时，有|x|4|ac|的情形时，有，则用上述公式求出的两个根中，总有一种因用了两个相近的近似数相减而严重不可靠，如本例若在能将规格化的数表达到小数点后8位的计算机上进行计算，则-b=109+1=0.11010+0.000 000 00011010，由于第二项最后两位数“01”在机器上表达不出来，故它在上式的计算中不起作用，即在计算机运算时，-b=109.通过类似的分析可得 因此，求得的两个根分别为 显然，根x2是严重失真的。为了求得可靠的成果，可以运用根与系数的关系式：，在计算机上采用如下公式： 其中，sgn（b）是b的符号函数，当b0时sgn（b）=1；当b0时，s
5、gn（b）=-1。显然，上述求根公式避免了相近数相减的也许性。8 当N充足大时，如何计算分析 函数的原函数已知，我们自然考虑用Newton-Leibniz公式求这个定积分的值。由于N很大，这样会遇到两个相近的数相减，因此，应采用某些变换公式来避免这种状况。解 若用定积分的Newton-Leibniz公式计算此题，有，则当N充足大时，由于arctan（N+1）和arctanN非常接近，两者相减会使有效数字严重损失，从而影响计算成果的精度，这在数值计算中是要尽量避免的，但是通过变换计算公式，例如：令tan1=N+1, tan2=N，则由,得 就可以避免两相近数相减引起的有效数字损失，从而得到较精确
6、的成果。因此，当N充足大时，用计算积分的值较好。9 计算积分.分析 数值计算中应采用数值稳定的算法，因此在建立算法时，应一方面考虑它的稳定性。解 运用分部积分法，有得递推公式： （1） 运用公式（1）计算In，由于初值I0有误差，不妨设求I0的近似值时有大小为的误差，即则由递推公式（1）得显然初始数据的误差是按n!的倍数增长的，误差传播得快，例如当n=10时，10！3.629106,，这表白I10时已把初始误差扩大了诸多倍，从而的误差已把I10的真值沉没掉了，计算成果完全失真。但如果递推公式（1）改成 于是，在从后往前计算时，In的误差减少为本来的，因此，若取n足够大，误并逐渐减小，显然，计算
7、的成果是可靠的。因此，在构造或选择一种算法时，必须考虑到它的数值稳定性问题，数值不稳定的算法是不能使用的。10 为了使计算 的乘除法运算次数尽量地少，应将体现式改写为如何的形式？解 设在数值计算中，应注意简化运算环节，减少运算次数，使计算量尽量小。11若x*=3587.64是x的具有六位有效数字的近似值，求x的绝对误差限。12为使的近似值的相对误差不不小于0.1，问查开方表时，要取几位有效数字？13运用四位数学用表求x=1-cos2的近似值，采用下面等式计算：（1）1-cos2（2）2sin21问哪一种成果较好？14求方程x2-56x+1=0的两个根，使它至少具有四位有效数字（已知）。15数列
8、满足递推公式 若取(三位有效数字)，问按上述递推公式，从x0计算到x10时误差有多大？这个计算过程稳定吗？16如果近似值的相对误差限不不小于，证明：这个数具有n位有效数字。第二章 插值法与数值微分1 已知，试运用插值法近似计算。分析 由题中已知条件本题可运用三点二次Lagrange插值，也可运用三点二次Newton插值，它们所得成果相似。解 运用三点二次Lagrange插值。记，则的二次Lagrange插值多项式为 由于， 因此 2 已知的函数表xi012yi8-7.5-18求函数在0,2之间的零点的近似值。分析 一般状况下，先求出在0，2上的插值函数，然后求的零点，把此零点作为的近似零点。特
9、别地，若的反函数存在，记为，那么求的零点问题就变成求函数值的问题了，运用插值法构造出的插值函数，从而求出的零点的近似值，此类问题称为反插值问题，运用反插值时，必须注意反插值条件，即函数必须有反函数，也即规定单调。本题是严格单调下降排列，可运用反插值法。解 将原函数表变成反函数表yi8-7.5-18xi012运用三点二次Lagrange插值，由上反函数表构造的反函数的二次Lagrange插值多项式。令，则的二次Lagrange插值多项式为 函数的近似零点为 3 设，试用Lagrange插值余项定理写出以-1，0，1，2为插值节点的三次插值多项式。解 设以-1，0。1，2为插值节点的三次Lagra
10、nge插值多项式为，由Lagrange插值余项定理有 因而 4 设是觉得节点的Largange插值基函数，试证：（1）.（2）.（3）. （4） 分析 本题是有关Lagrange插值基函数的性质问题，观测要证明的结论，应考虑对常数1和进行插值入手，通过插值余项为0得到结论。证 （1）设,则觉得插值节点的n次Lagrange插值多项式为 由插值余项定理知 从而 即 （2）设则觉得插值节的n次Lagrange插值多项式为 由插值余项定理知 从而即（2）设，则觉得插值节点的n次Lagrange插值多项式为 由插值余项定理 从而 即（3）将按二项式展开，得 代入左端，得 运用（2）的结论，有（4）当时，由（2）的结论知 当时，令，有觉得插值节点的n次Lagrange插值多项式为 由插值余项定理知 从而即 令，有 5 设，且，求证 分析 本章内容是代数插值，而题设，易知若用线性插值，线性插值函数只能为0，且误差为，这样运用余项估计式可直接把与联系起来。证 以a,b为插值节点进行线性插值，其线性插值多项式为 线性插值余项为 从而 由于在处取最大值，故 6 证明：由下列插值条件00.511.522.5-1-0.7501.2535.25所拟定的Lagrange插值多项式是一种二次多项式，该例阐明了什么问题？分析 本题是有关Lagran
