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1、第一章 误差1 问3.142,3.141,分别作为的近似值各具有几位有效数字?分析 运用有效数字的概念可直接得出。解 =3.141 592 65记x1=3.142,x2=3.141,x3=.由- x1=3.141 59-3.142=-0.000 40知 因而x1具有4位有效数字。由- x2=3.141 59-3.141=-0.000 59知 因而x2具有3位有效数字。由-=3.141 59 -3.142 85=-0.001 26知 因而x3具有3位有效数字。2 已知近似数x*有两位有效数字,试求其相对误差限。分析 本题显然应运用有效数字与相对误差的关系。解 运用有效数字与相对误差的关系。这里n
2、=2,a1是1到9之间的数字。 3 已知近似数的相对误差限为0.3%,问x*至少有几位有效数字?分析 本题运用有效数字与相对误差的关系。解 a1是1到9间的数字。设x*具有n位有效数字,令-n+1=-1,则n=2,从而x*至少具有2位有效数字。4 计算sin1.2,问要取几位有效数字才干保证相对误差限不不小于0.01%。分析 本题应运用有效数字与相对误差的关系。解 设取n位有效数字,由sin1.2=0.93,故a1=9。 解不等式知取n=4即可满足规定。5 计算,视已知数为精确值,用4位浮点数计算。解 0.131 810-2-0.131 610-2=0.210-5成果只有一位有效数字,有效数字
3、大量损失,导致相对误差的扩大,若通分后再计算: 就得到4位有效数字的成果。此例阐明,在数值计算中,要特别注意两相近数作减法运算时,有效数字常会严重损失,遇到这种状况,一般采用两种措施:第一,应多留几位有效数字;第二,将算式恒等变形,然后再进行计算。例如,当x接近于0,计算时,应先把算式变形为 再计算。又例如,当x充足大时,应作变换6 计算,取,采用下列算式计算:(1);(2);(3);(4).问哪一种得到的成果最佳?解 显然因此(1)(2)(3)(4),这4个算式是恒等的,但当取计算时,由于(2),(3)都波及到两个相近数相减,使有效数字损失,而(1)在分母算式上的乘幂数比算式(4)大,因此算
4、式(4)最佳,事实上,当取时,有|x|4|ac|的情形时,有,则用上述公式求出的两个根中,总有一种因用了两个相近的近似数相减而严重不可靠,如本例若在能将规格化的数表达到小数点后8位的计算机上进行计算,则-b=109+1=0.11010+0.000 000 00011010,由于第二项最后两位数“01”在机器上表达不出来,故它在上式的计算中不起作用,即在计算机运算时,-b=109.通过类似的分析可得 因此,求得的两个根分别为 显然,根x2是严重失真的。为了求得可靠的成果,可以运用根与系数的关系式:,在计算机上采用如下公式: 其中,sgn(b)是b的符号函数,当b0时sgn(b)=1;当b0时,s
5、gn(b)=-1。显然,上述求根公式避免了相近数相减的也许性。8 当N充足大时,如何计算分析 函数的原函数已知,我们自然考虑用Newton-Leibniz公式求这个定积分的值。由于N很大,这样会遇到两个相近的数相减,因此,应采用某些变换公式来避免这种状况。解 若用定积分的Newton-Leibniz公式计算此题,有,则当N充足大时,由于arctan(N+1)和arctanN非常接近,两者相减会使有效数字严重损失,从而影响计算成果的精度,这在数值计算中是要尽量避免的,但是通过变换计算公式,例如:令tan1=N+1, tan2=N,则由,得 就可以避免两相近数相减引起的有效数字损失,从而得到较精确
6、的成果。因此,当N充足大时,用计算积分的值较好。9 计算积分.分析 数值计算中应采用数值稳定的算法,因此在建立算法时,应一方面考虑它的稳定性。解 运用分部积分法,有得递推公式: (1) 运用公式(1)计算In,由于初值I0有误差,不妨设求I0的近似值时有大小为的误差,即则由递推公式(1)得显然初始数据的误差是按n!的倍数增长的,误差传播得快,例如当n=10时,10!3.629106,,这表白I10时已把初始误差扩大了诸多倍,从而的误差已把I10的真值沉没掉了,计算成果完全失真。但如果递推公式(1)改成 于是,在从后往前计算时,In的误差减少为本来的,因此,若取n足够大,误并逐渐减小,显然,计算
7、的成果是可靠的。因此,在构造或选择一种算法时,必须考虑到它的数值稳定性问题,数值不稳定的算法是不能使用的。10 为了使计算 的乘除法运算次数尽量地少,应将体现式改写为如何的形式?解 设在数值计算中,应注意简化运算环节,减少运算次数,使计算量尽量小。11若x*=3587.64是x的具有六位有效数字的近似值,求x的绝对误差限。12为使的近似值的相对误差不不小于0.1,问查开方表时,要取几位有效数字?13运用四位数学用表求x=1-cos2的近似值,采用下面等式计算:(1)1-cos2(2)2sin21问哪一种成果较好?14求方程x2-56x+1=0的两个根,使它至少具有四位有效数字(已知)。15数列
8、满足递推公式 若取(三位有效数字),问按上述递推公式,从x0计算到x10时误差有多大?这个计算过程稳定吗?16如果近似值的相对误差限不不小于,证明:这个数具有n位有效数字。第二章 插值法与数值微分1 已知,试运用插值法近似计算。分析 由题中已知条件本题可运用三点二次Lagrange插值,也可运用三点二次Newton插值,它们所得成果相似。解 运用三点二次Lagrange插值。记,则的二次Lagrange插值多项式为 由于, 因此 2 已知的函数表xi012yi8-7.5-18求函数在0,2之间的零点的近似值。分析 一般状况下,先求出在0,2上的插值函数,然后求的零点,把此零点作为的近似零点。特
9、别地,若的反函数存在,记为,那么求的零点问题就变成求函数值的问题了,运用插值法构造出的插值函数,从而求出的零点的近似值,此类问题称为反插值问题,运用反插值时,必须注意反插值条件,即函数必须有反函数,也即规定单调。本题是严格单调下降排列,可运用反插值法。解 将原函数表变成反函数表yi8-7.5-18xi012运用三点二次Lagrange插值,由上反函数表构造的反函数的二次Lagrange插值多项式。令,则的二次Lagrange插值多项式为 函数的近似零点为 3 设,试用Lagrange插值余项定理写出以-1,0,1,2为插值节点的三次插值多项式。解 设以-1,0。1,2为插值节点的三次Lagra
10、nge插值多项式为,由Lagrange插值余项定理有 因而 4 设是觉得节点的Largange插值基函数,试证:(1).(2).(3). (4) 分析 本题是有关Lagrange插值基函数的性质问题,观测要证明的结论,应考虑对常数1和进行插值入手,通过插值余项为0得到结论。证 (1)设,则觉得插值节点的n次Lagrange插值多项式为 由插值余项定理知 从而 即 (2)设则觉得插值节的n次Lagrange插值多项式为 由插值余项定理知 从而即(2)设,则觉得插值节点的n次Lagrange插值多项式为 由插值余项定理 从而 即(3)将按二项式展开,得 代入左端,得 运用(2)的结论,有(4)当时,由(2)的结论知 当时,令,有觉得插值节点的n次Lagrange插值多项式为 由插值余项定理知 从而即 令,有 5 设,且,求证 分析 本章内容是代数插值,而题设,易知若用线性插值,线性插值函数只能为0,且误差为,这样运用余项估计式可直接把与联系起来。证 以a,b为插值节点进行线性插值,其线性插值多项式为 线性插值余项为 从而 由于在处取最大值,故 6 证明:由下列插值条件00.511.522.5-1-0.7501.2535.25所拟定的Lagrange插值多项式是一种二次多项式,该例阐明了什么问题?分析 本题是有关Lagran