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1、习题1试说明随机试验应具有的三个特点习题2将一枚均匀的硬币抛两次,事件A,B,C分别表示“第一次出现正面”,“两次出现同一面”,“至少有一次出现正面”,试写出样本空间及事件A,B,C中的样本点.1.2 随机事件的概率1.3 古典概型与几何概型1.4 条件概率1.5 事件的独立性复习总结与总习题解答习题3. 证明下列等式:习题5.习题6.习题7习题8习题9习题10习题11习题12习题13习题14习题15习题16习题17习题18习题19习题20习题21习题22习题23习题24习题25习题26第二章 随机变量及其分布2.1 随机变量习题1随机变量的特征是什么?解答:随机变量是定义在样本空间上的一个实
2、值函数.随机变量的取值是随机的,事先或试验前不知道取哪个值.随机变量取特定值的概率大小是确定的.习题2试述随机变量的分类.解答:若随机变量X的所有可能取值能够一一列举出来,则称X为离散型随机变量;否则称为非离散型随机变量.若X的可能值不能一一列出,但可在一段连续区间上取值,则称X为连续型随机变量.习题3盒中装有大小相同的球10个,编号为0,1,2,9,从中任取1个,观察号码是“小于5”,“等于5”,“大于5”的情况,试定义一个随机变量来表达上述随机试验结果,并写出该随机变量取每一个特定值的概率.解答:分别用1,2,3表示试验的三个结果“小于5”,“等于5”,“大于5”,则样本空间S=1,2,3
3、,定义随机变量X如下:X=X()=0,=11,=2,2,=3则X取每个值的概率为PX=0=P取出球的号码小于5=5/10,PX=1=P取出球的号码等于5=1/10,PX=2=P取出球的号码大于5=4/10.2.2 离散型随机变量及其概率分布习题1设随机变量X服从参数为的泊松分布,且PX=1=PX=2,求.解答:由PX=1=PX=2,得e-=2/2e-,解得=2.习题2设随机变量X的分布律为PX=k=k15,k=1,2,3,4,5,试求(1)P12X3.解答:(1)P12X3=PX=4+PX=5=415+515=35.习题3已知随机变量X只能取-1,0,1,2四个值,相应概率依次为12c,34c
4、,58c,716c,试确定常数c,并计算PX1X0.解答:依题意知,12c+34c+58c+716c=1,即3716c=1,解得 c=3716=2.3125.由条件概率知PX1X0=PX60,即PX20,PX20=PX=30+PX=40=0.6.就是说,加油站因代营业务得到的收入大于当天的额外支出费用的概率为0.6.习题6设自动生产线在调整以后出现废品的概率为p=0.1,当生产过程中出现废品时立即进行调整,X代表在两次调整之间生产的合格品数,试求:(1)X的概率分布; (2)PX5;(3)在两次调整之间能以0.6的概率保证生产的合格品数不少于多少?解答:(1)PX=k=(1-p)kp=(0.9
5、)k0.1,k=0,1,2,;(2)PX5=k=5PX=k=k=5(0.9)k0.1=(0.9)5;(3)设以0.6的概率保证在两次调整之间生产的合格品不少于m件,则m应满足PXm=0.6,即PXm-1=0.4. 由于PXm-1=k=0m-1(0.9)k(0.1)=1-(0.9)m,故上式化为1-0.9m=0.4,解上式得m4.855,因此,以0.6的概率保证在两次调整之间的合格品数不少于5.习题7设某运动员投篮命中的概率为0.6,求他一次投篮时,投篮命中的概率分布.解答:此运动员一次投篮的投中次数是一个随机变量,设为X,它可能的值只有两个,即0和1.X=0表示未投中,其概率为p1=PX=0=
6、1-0.6=0.4,X=1表示投中一次,其概率为 p2=PX=1=0.6.则随机变量的分布律为X01P0.40.6习题8某种产品共10件,其中有3件次品,现从中任取3件,求取出的3件产品中次品的概率分布.解答:设X表示取出3件产品的次品数,则X的所有可能取值为0,1,2,3.对应概率分布为PX=0=C73C103=35120,PX=1=C73C31C103=36120,PX=2=C71C32C103=21120,PX=3=C33C103=1120.X的分布律为X0123P3512036120211201120习题9一批产品共10件,其中有7件正品,3件次品,每次从这批产品中任取一件,取出的产品
7、仍放回去,求直至取到正品为止所需次数X的概率分布.解答:由于每次取出的产品仍放回去,各次抽取相互独立,下次抽取时情况与前一次抽取时完全相同,所以X的可能取值是所有正整数1,2,k,.设第k次才取到正品(前k-1次都取到次品),则随机变量X的分布律为PX=k=310310310710=(310)k-1710,k=1,2,.习题10设随机变量Xb(2,p),Yb(3,p),若PX1=59,求PY1.解答:因为Xb(2,p),PX=0=(1-p)2=1-PX1=1-5/9=4/9,所以p=1/3.因为Yb(3,p),所以 PY1=1-PY=0=1-(2/3)3=19/27.习题11纺织厂女工照顾80
8、0个纺绽,每一纺锭在某一段时间内断头的概率为0.005,在这段时间内断头次数不大于2的概率.解答:以X记纺锭断头数,n=800,p=0.005,np=4,应用泊松定理,所求概率为:P0X2=P0xi2X=xi=k=02b(k;800,0.005)k=02P(k;4)=e-4(1+41!+422!)0.2381.习题12设书籍上每页的印刷错误的个数X服从泊松分布,经统计发现在某本书上,有一个印刷错误与有两个印刷错误的页数相同,求任意检验4页,每页上都没有印刷错误的概率.解答:becausePX=1=PX=2,即11!e-=22!e-=2,PX=0=e-2,p=(e-2)4=e-8.2.3 随机变
9、量的分布函数习题1F(X)=0,x-20.4,-2x01,x0,是随机变量X的分布函数,则X是_型的随机变量.解答:离散.由于F(x)是一个阶梯函数,故知X是一个离散型随机变量.习题2设F(x)=0x0x201,1x1问F(x)是否为某随机变量的分布函数.解答:首先,因为0F(x)1,x(-,+).其次,F(x)单调不减且右连续,即F(0+0)=F(0)=0,F(1+0)=F(1)=1,且F(-)=0,F(+)=1,所以F(x)是随机变量的分布函数.习题3已知离散型随机变量X的概率分布为PX=1=0.3,PX=3=0.5,PX=5=0.2,试写出X的分布函数F(x),并画出图形.解答:由题意知
10、X的分布律为:X135Pk0.30.50.2所以其分布函数F(x)=PXx=0,x10.3,1x30.8,3x51,x5.F(x)的图形见图.习题4设离散型随机变量X的分布函数为F(x)=0,x-10.4,-1x10.8,1x31,x3,试求:(1)X的概率分布;(2)PX2X1.解答:(1)X-113pk0.40.40.2(2)PX2X1=PX=-1PX1=23.习题5设X的分布函数为F(x)=0,x0x2,0x1x-12,1x1.51,x1.5,求P0.40.5,P1.7X2.解答:P0.40.5=1-PX0.5=1-F(0.5)=1-0.5/2=0.75,P1.7X2=F(2)-F(1.7)=1-1=0.习题6设随机变量X的分布函数为F(x)=A+Barctanx(-x+),试求:(1)系数A与B;(2)X落在(-1,1内的概率.解答:(1)由于F(-)=0,F(+)=1,可知A+B(-2)A+B(2)=1=0A=12,B=1,于是F(x)=12+1arctanx,-x+;(2)P-1X1=F(1)-F(-1)=(12+1arctan1)-12+1arctanx(-1)=12+14-12-1(-4)=12.习题7在区间0,a上任意投掷一个质点,以X表示这个质点的坐