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1、既然选择了远方，就必须风雨兼程!第十二讲空间直角坐标系时间： 年 月 日 刘老师学生签名:工兴趣与入际叨# JL网JtL处料就装L令以我#既然选择了远方，就必须风雨兼程。学前测试B.相交D.内切1,已知两圆的方程是x2+y2=1和x2+y26x8y+9=0,那么这两个圆的位置关系是（）A.相离C.外切解析 将圆 x2+y2-6x-8y+9=0,化为标准方程得(x 3)2+ (y 4)2= 16.两圆的圆心距 /(0-3)+ (0-4 2 =5,又什2=5, .两圆外切.答案 C2 .过点（2,1）的直线中，被圆x2+y2-2x+4y=0截得的最长弦所在的直线方程为（）A. 3x-y-5= 0B
2、. 3x+y7=0C. x+ 3y-5=0D, x- 3y+1=0y + 2 x 1解析 依题意知所求直线通过圆心（1, 2）,由直线的两点式方程，得 =,即3x y5 = 0.1+2 2-1答案 A3.若直线（1 + a）x+y+1=0与圆x2 + y2 2x=0相切，则a的值为（）B. 2, - 2C. 1D. 1解析 圆x2+y22x=0的圆心 C(1,0),半径为1,依题意得工土0=1,即|a+ 2|=J(a+1 f+1, .11+a2+1平方整理得a=- 1.答案 D4.经过圆x2+y2=10上一点M(2,m)的切线方程是()A. x+/6y- 10=0B.V6x-2y+10= 0C
3、. x- /6y+ 10=0D. 2x+优y10 = 0解析 二.点 M(2, 76)在圆 x2+y2=10 上，koM = |,过点M的切线的斜率为k=-察3故切线方程为y46= *(x2). 3即 2x十 寸6y 10=0.答案 D5.垂直于直线y= x+1且与圆x2+y2=1相切于第一象限的直线方程是()A . x+ym=0B. x+ y+1 = 0C. x+ y1 = 0D. x+ y+V2=0解析由题意可设所求的直线方程为y=x+k,则由=1,得k= 班.由切点在第一象限知，k= V2.故所求的直线方程 y=x+啦,即x+ y- ,2=0.答案 A三、方法培养专题1：空间直角坐标系1
4、 .空间直角坐标系：从空间某一个定点O引三条互相垂直且有相同单位长度的数轴Ox、Oy、Oz,这样的坐标系叫做空间直角坐标系O-xyz,点O叫做坐标原点，x轴、y轴、z轴叫做坐标轴.通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为xOy平面、yOz平面、zOx平面.2 .右手直角坐标系：在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向 y轴的正方向，若中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系3 .空间直角坐标系中的坐标：对于空间任一点M,作出M点在三条坐标轴 Ox轴、Oy轴、Oz轴上的射影，若射影在相应数轴上的坐标依次为x、v、z,则把有序实数组(x, y, z)叫做M点在此空间
5、直角坐标系中的坐标，记作 M(x, y, z),其中x叫做点M的横坐标，y叫做点M的纵坐标，z叫做点M的竖坐标.4 .在xOy平面上的点的竖坐标都是零，在yOz平面上的点的横坐标都是零，在zOx平面上的点的纵坐标都是零；在 Ox轴上的点的纵坐标、竖坐标都是零，在Oy轴上的点的横坐标、竖坐标都是零，在 Oz轴上的点的横坐标、纵坐标都是零。例题精讲：【例1】在空间直角坐标系中，作出点 M(6, 2, 4).解：点M的位置可按如下步骤作出：先在x轴上作出横坐标是 6的点M1 ,再将M1沿与y轴平行的方 向向左移动2个单位得到点 M2,然后将M2沿与z轴平行的方向向上 移动4个单位即得点M.M点的位置
6、如图所示.【例 2】在长方体 ABCD ABQQi 中，AB=12, AD=8, AA1二5, 试建立适当的空间直角坐标系，写出各顶点的坐标解：以A为原点，射线 AB、AD、AAi分别为x轴、y轴、z轴的 正半轴，建立空间直角坐标系，则 A(0,0,0)、B(12,0,0)、C(12,8,0)、D(0,8,0)、Ai(0,0,5)、Bi(12,0,5)、G (12,8,5)、Di (0,8,5).【例3】已知正四棱锥 P-ABCD的底面边长为4,侧棱长为10,试 建立适当的空间直角坐标系，写出各顶点的坐标分析：先由条件求出正四棱锥的高，再根据正四棱锥的对称性，建 立适当的空间直角坐标系.解：正
7、四棱锥P-ABCD的底面边长为4,侧棱长为10,，正四棱锥的高为 2 , 23.以正四棱锥的底面中心为原点，平行于AB、BC所在的直线分别为x轴、y轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则正四棱锥各顶点的坐标分别为A(2,-2,0)、B(2,2,0)、C(-2,2,0)、D(-2,-2,0)、P(0,0,2V23).点评：在求解此类问题时，关键是能根据已知图形，建立适当的空间直角坐标系，从而便于计算所需 确定的点的坐标.【例4】在空间直角坐标系中，求出经过 A(2,3, 1)且平行于坐标平面 yOz的平面a的方程.分析：求与坐标平面yOz平行的平面的方程，即寻找此平面内任一点所要满足的条件，可利用
8、与坐标 平面yOz平行的平面内的点的特点来求解.解：坐标平面yOzx轴，而平面口与坐标平面yOz平行，平面a也与x轴垂直，平面口内的所有点在x轴上的射影都是同一点，即平面 值与x轴的交点，平面a内的所有点的横坐标都相等。.平面 a 过点 A(2,3,1),平面a内的所有点的横坐标都是2,平面a的方程为x=2.点评：对于空间直角坐标系中的问题，可先回忆与平面直角坐标系中类似问题的求解方法，再用类比方法求解空间直角坐标系中的问题。本题类似于平面直角坐标系中，求过某一定点且与x轴(或y轴)平行的直线的方程.专题2:空间两点间的距离公式 1 .空间两点Pi(x1,y1,4)、P22,y2,z2)间的距
9、离公式:|RF2 |=(X-x2)2+(y一丫2)2+(4-z2)2.2 .坐标法求解立体几何问题时的三个步骤：在立体几何图形中建立空间直角坐标系；依题意确定各相应点的坐标；通过坐标运算得到答案.3 .对称问题，常用对称的定义求解 .一般地，点P(x, y, z)关于坐标平面 xOy、yOz、zOx的对称点的 坐标分别为(x, y,-z)、(-x, y, z)、(x, -y, z);关于x轴、y疝、z轴的对称点的坐标分别为(x,-y,- z)、(-x, y,-z)、 (-x, -y, z);关于原点的对称点的坐标为 (-x,- y,- z).。例题精讲：【例 1】已知 A(x,2,3)、B(5
10、,4,7),且 |AB|=6,求 x 的值.解：|AB|=6, q(x _5)2 +(2 -4)2 +(3 -7)2 =6 ,即(x 一5)2 =16 ,解得 x=1 或 x=9.【例2】求点P(1,2,3)关于坐标平面xOy的对称点的坐标.解：设点P关于坐标平面xOy的对称点为P连PP，交坐标平面xOy于Q,则 PP_L坐标平面 xOy,且 |PQ|=|PQ|,P 在x轴、y轴上的射影分别与 P在x轴、y轴上的射影重合，P在z轴上的射影与 P在z轴上的射影关于原点对称，P 与P的横坐标、纵坐标分别相同，竖坐标互为相反数，点P(1,2,3)关于坐标平面xOy的对称点的坐标为(1,2,-3).【
11、例3】在棱长为a的正方体ABCD-AB1C1D1中，求异面直线BD1与CC1间的距离.解：以D为坐标原点，从 D点出发的三条棱所在直线为坐标轴，建立如图所示的空间直角坐标系.设P、Q分别是直线BD1和CC1上的动点，其坐标分别为(x, y, z)、(0,乙)，则由正方体的对称性， 显然有x=y.要求异面直线 BD1与CG间的距离，即求 P、Q两点间的最短距离.设P在平面AC上的射影是H,由在ABDDi中,PH BHD1D BDz 2a - 2x a-x,所以 一 =F=,-x=a-z,a 2a aP 的坐标为(a-z, a-z, z)|PQ|= (a -z)2 z2 (z -4)2(z-Z1)
12、2 +2(za)2当z=zi =三时，|PQ|取得最小值，最小值为222 a.22异面直线BD1与CC1间的距离为 a.2,014点评：通过巧设动点坐标，得到关于两点间距离的目标函数，由函数思想得到几何最值.注意这里对目标函数最值的研究，实质就是非负数最小为 0.【例4】在四面体 P-ABC中，PA、PB、PC两两垂直，设 PA=PB=PC=a,求点P到平面ABC的距离.解：根据题意，可建立如图所示的空间直角坐标系P-xyz,则 P(0,0, 0), A (a,0,0) , B (0,a,0) , C (0,0,a).过P作PH，平面ABC,交平面ABC于H,则PH的长即为点 P到平面ABC的
13、距离.; PA=PB=PC,.1. H 为 A ABC 的外心，又：二ABC为正三角形，.H为AABC的重心，可得 H点的坐标为(且，旦，自)3 3 3iph7(。学+(。$2+(。奉=亭，一点P到平面ABC的距离为13 a点评：重心H的坐标，可以由比例线段得到 .通过建立空间直角坐标系，用代数方法来计算点面距离本题也可以用几何中的等体积法来求解四、强化练习1. 6.关于空间直角坐标系 O xyz中的一点P(1,2,3)有下列说法:点P到坐标原点的距离为 限；op的中点坐标为g, 1, 2 !；与点P关于x轴对称的点的坐标为(一1, 2, 3);与点P关于坐标原点对称的点的坐标为(1,2, 3
14、);与点P关于坐标平面xOy对称的点白坐标为(1,2, -3).其中正确的个数是()A. 2B. 3C. 4D. 5解析 点P到坐标原点的距离为 12 + 22 + 32 =/4,故错；正确；点 P关于x轴对称的点的坐 标为(1, 2, 3),故错；点P关于坐标原点对称的点的坐标为(一1, 2, 3),故错；正确.答案 A7,已知点M(a, b)在圆O： x2+y2=1处，则直线ax+by=1与圆O的位置关系是()A.相切B.相交C.相离D.不确定解析二.点M(a, b)在圆x2+y2= 1外，2+b21,又圆心(0,0)到直线ax+by=1的距离d= J 2+b2=r,，直线与圆相交.答案 B8.与圆。1： x2+y2+4x4y+7 = 0 和圆。2： x2+y2-4x-10y+13= 0 都相切的直线条数是 ()A. 4B. 3C. 2D. 1解析 两圆的方程配方得，0(x+2)2+(y2)2=1,02： (x-2)2+(y-5)2=16,圆心 01(2,2), 02(2,5),半径1=1,2=4,|0102|= J(2+2 2+ (5- 2 2 = 5, +2=5.|。1。2|=门+2,，两圆外切，故有3条公切线.答案 B五、训练辅导【例1】设直线3x+4
