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1、必修5-、等差数列知识点第二章数列(复习1)(2) Sn最值的求法：若已知 Sn,可用二次函数最值的求法(nN )；若已知an ,则&最值时n的值(nN )可如下确定an 0 或 an0an 10an 101、等差数列定义：一般地，如果一个数列从第2项起，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的 ，公差通常用字母d表示。用递推公式表示为 an an 1 d(n 2)或 an 1 an d (n 1)。2、等差数列的通项公式:an印(n 1)d ；说明：等差数列的单调性:为数列变式训练1，根据各题的条件，求等差数列(1)a12,d5,n10an的前n项和Sn，（2）a12,an 6,n1
2、2当为常数列， 为递减数列。3、 等差中项的概念：定义：如果a，A，b成等差数列，那么 A叫做a与b的等差其中A a，A，b成等差数列 。4、等差数列的前 n和的求和公式： 。5、等差数列的性质：(1) 在等差数列 an中，从第2项起，每一项是它相邻二项的等差中项；n( 3) a102,d5,n8(2) 在等差数列 an中，相隔等距离的项组成的数列是AP，女口：a1， a3， a5， a7 ,；a3 , a8 , a13 , a18 ,；(4)在等差数列an中，若m , n , p , q(3)在等差数列 an中，对任意 m , n N , an , d (m n)；2. 在1和15之间插入2
3、5个数，使得所得到的的27个数成等差数列。求插入的25个数的和？说明：设数列an是等差数列，且公差为 d ,(I) 若项数为偶数，设共有2n项，则S奇 S偶 nd ;二奇-；S 禺 an 1(n)若项数为奇数，设共有2n 1项，则S偶 S奇 an a中；奇 S禺n 16、数列最值(1) q 0, d 0时，Sn有最大值；a10, d 0时，Sn有最小值;3, 等差数列 an的前n项和为Sn，已知S9 0,S。 0,则此等差数列的前 n项和中，n是多少的时取最小值？3. （02京）若一个等差数列前 3项的和为34,最后3项的和为146，且所有项的和为 390,则这个 数列有项4.设数列an是递增
4、等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48,则它的首项是4,在等差数列an中，已知336,求S3= ？-，则鱼=3色25，已知 f（x） x 1 x 2 x 3 x20 ,x N 且 1 x 20（1）分别计算 f（1）, f （5）, f（20）（2） 当x为何值时，f （x）取得最小值？最小值是多少？6. （00全国）设 an为等差数列，Sn为数列 an的前n项和，已知Sz= 7, Si5= 75, Tn为数列Sn 的前n项和，求Tn。n7. （02上海）设 an （n N*）是等差数列，Sn是其前n项的和，且S5 S8,则下列结论错误.的是（）A.dS5 D.Se与 S7 均为 Sn
5、的最大值5. （06全国II）设3是等差数列 an的前n项和，若一3S6& （94全国）等差数列an的前m项和为30,前2m项和为100,则它的前3m项和为巩固提高2.设an是公差为正数的等差数列，若 a1 a2 a3 15,印玄鸟玄彳80,则a“ 孔比1. （01天津理，2 ）设Sn是数列an的前n项和，且Sn=*，则an是数列第二章数列（复习2）二、等比数列知识清单1. 等比数列定义一般地，如果一个数列从第二项起.，数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫 ;公比通常用字母 q表示(q 0),即：an 1： an q(q 0)数列(注意：“从第二项起”、“常数” q、等比数列的公比和项都
6、不为零)2.等比数列通项公式为：an a1 qn 1(a1 q 0)。说明：(1)由等比数列的通项公式可以知道：当公比 q 1时该数列既是等比数列也是等差数列;(2)等比数列的通项公式知：若a.为等比数列，则aman1 7(3)已知 q -，s53 ，求a42 8(4)已知 a34, a46,求 q与 Q3.等比中项如果在a与b中间插入一个数 G，使a,G,b成等比数列，那么 G叫做a与b的 (两个符2，三个数成等比，它们的和是14,它们的积是64.求这个数列?号相同的非零实数，都有两个等比中项)。4等比数列前n项和公式一般地，设等比数列a1, a2,a3,L, an,L的前n项和是Sna1a
7、2a3Lan,当 q 1时，或； 当qh 时，Sn na1 (错位相减法)。说明：(1)a1, q, n,Sn和a1 ,an, q,Sn各已知三个可求第四个；3,三个不同数成等差数列，它们的和是6，如果将3这个数重新排列，它们又成等比。求这个等差数列？(2)注意求和公式中是qn，通项公式中是qn 1不要混淆； (3 )应用求和公式时q 1，必要时应讨论q 1的情况。5等比数列的性质等比数列任意两项间的关系：如果an是等比数列的第n项，am是等差数列的第 m项，且m n ,公比为q，则有an;n(n 1)4，等比数列an的公比为q，求证 a1a2anna1对于等比数列an，若n m u v，则
8、若数列an是等比数列，Sn是其前n项的和，k N*，那么数列。变式训练1，等比数列an中：成等比_5，在数列 an中。Sn 1 4an 2且6=1(1)设bn an 1 2an,求证数列bn是等比数列(1)已知 a11.5，a4 96,求 q与Sn(2)已知印2，S3 26,求q与a35.在等比数列an ，已知ai玄9玄10100 ,求 ai8.6. (2006年北京卷)设f(n)23n 10(n N)，则 f(n)等于7 .在各项都为正数的等比数列 an中，首项ai= 3，前三项和为 21,贝H a3+ a4+ a5 =(3) 求数列 an的通项公式及前n项和的公式?6教材的P55页。自测与
9、评估。巩固提高1. 在等比数列 an中,a712,q 近,则盹 .必修5第二章数列(复习3)2. 2.3和23的等比中项为三、数列通项与求和知识清单1数列求通项与和3. 在等比数列an中，a22, a5 54，求a$,24. 在等比数列 an中,a1和a10是方程2x 5x 1 0的两个根，则a a?Sn 1(1)数列前n项和Sn与通项an的关系式：an=Si(2)求通项常用方法 作新数列法。作等差数列与等比数列； 累差叠加法。最基本的形式是：an=(an an-i)+(an-i+an-2)+ ai)+ai; 累商叠乘法。 倒序相加法 裂项求和 并项求和 错项相消法对一个由等差数列及等比数列对
10、应项之积组成的数列的前n项和，常用错项相消法。an bn Cn ,其中 0 是等差数列，C.是等比数列。i、利用anSi(n i)求通项.nSn Sni (n 2)2例：数列an的前n项和Sn n i . (i)试写出数列的前 5项；(2)数列a.是等差数列吗?(3) 你能写出数列an的通项公式吗？变式题i、设数列an的前n项和为Sn=2n2,求数列an的通项公式；课前预习i.已知数列 an为等差数列，且公差不为 0，首项也不为0，求和:0i i ai ai i、，i变式题2、数列an的前n项和为Sn,且ai=i,aniSn,n=i, 2, 3, ，求a2,a3,a4的值3及数列an的通项公式
11、.2.求 11111,(n N )。1 2 1 2 3 1 2 3 41 2 3n变式题3、( 2005山东卷)已知数列 an的首项3i 5,前n项和为Sn ,且Sni 2Sn n 5( n N*)，证明数列a. i是等比数列.2、解方程求通项：例：在等差 数列an中，(i)已知S8 48,S12 i68,求ai和d ；(2)已知 a6 10,S5 5,求a8和 ； 1已知a3 ai540,求S17.典型例题-、有关通项问题变式题1、an是首项ai 1,公差d 3的等差数列，如果 an 2005，则序号n等于_2a变式题1、已知数列an 4n 2和bn廿，设Cn-，求数列 的前n项和.4bn3
12、、待定系数求通项：例：(2006年福建卷)已知数列 an满足a1 1,an1 2an 1. 求数列an的通项公式；变式题2、(2007全国1文21)设an是等差数列，bn是各项都为正数的等比数列，且a1 b1 1 ,a3 b5 21, a5 d 13 (I)求a. , bn的通项公式；(n)求数列 邑 的前n项和Sn.bn二、有关等差、等比数列性质问题1，求前n项的和;n(n 1)例：一个等比数列前n项的和为48,前2n项的和为60,则前3 n项的和为 an例：(1)已知数列an的通项公式为变式1、一个等差数列前n项的和为48,前2 n项的和为60,则前3 n项的和为。-1，求前n项的和.一
13、n 、n 1变式2、等比数列an的各项为正数，且a5a6a4a718,则log 3 a-ilog3a2Llog3a10三、数列求和问题(2)已知数列an的通项公式为an例：已知an是等差数列，其中a1 31，公差d 8。(1)求数列a.的通项公式；(2)数列an从哪一项开始小于 0?( 3)求数列an前n项和的最大值，并求出对应 n的值.变式题1、已知an是各项不为零的等差数列， 其中a 0,公差d 0,若S10 0,求数列an前 n项和的最大值.变式题2、在等差数列an中，a125 ,SS9，求Sn的最大值.2例：求和：S.1 2x 3x Ln 1 nx3.设a为常数，求数列a, 2a2, 3a3 4,，nan，的前n项和。4. 已知a 0,a i，数列an是首项为a,公比也为a的等比数列，令bn an lg an(n N), 求数列bn的前n项和Sn。
