信息与计算科学专业实习报告

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1、基础科学学院信息与计算科学专业专业实习报告姓 名：王欢学 号：20112949班 级：110801指导教师：王秀玉摘要Matlab和Mathematical Maple并称为三大数学软件。它在数学类科技应用 软件中在数值计算方面首屈一指。Matlab可以进行矩阵运算、绘制函数和数据、 实现算法、创建用户界面、连接其他编程语言的程序等，主要应用于工程计算、 控制设计、信号处理与通讯、图像处理、信号检测、金融建模设计与分析等领域， 特别是在进行矩阵运算方面。这个报告的内容是应用Matlab数学计算软件验证一个以矩阵为基础的数学 定理。首先，要学习并了解这个定理基本的数学知识，主要是矩阵的加、减、乘

2、、 除，以及矩阵的逆和转置的相关运算。其次，通过查阅关于Matlab数学软件相关的书籍，学习并熟练掌握Matlab 的基本操作过程，主要学习关于矩阵的基本计算。接着，按照验证这个定理的算法步骤，从1到4，把各个步骤的要求一一进 行实现。最后，由算法步骤5可知，把步骤1到4的计算步骤结果进行整理就可以得 到最后结果矩阵J,并对所给例题进行验证。关键词：Matlab软件 矩阵 计算 定理目录第一章绪论41.1研究的目的和意义41.2矩阵基础知识41.3 Matlab数学软件4第二章矩阵运算52.1矩阵的基本概念52.2矩阵的运算62.2.1矩阵的加法62.2.2数与矩阵的乘法72.2.3矩阵的乘法

3、72.2.4矩阵的转置82.2.5对称矩阵9第三章Matlab数学软件93.1矩阵的表示93.2矩阵的创建103.2.1直接输入法103.2.2利用Matlab函数创建矩阵103.2.3利用文件建立矩阵103.3矩阵的简单操作103.3.1获取矩阵元素103.3.2矩阵拆分113.3.3特殊矩阵113.4矩阵的运算123.4.1算术运算123.4.2关系运算133.4.3逻辑运算143.5矩阵分析143.5.1对角阵143.5.2三角阵153.5.3矩阵的转置与旋转153.5.4矩阵的翻转153.5.5矩阵的逆与伪逆153.5.6方阵的行列式163.5.7矩阵的秩与迹163.5.8向量和矩阵的

4、范数163.5.9矩阵的特征值与特征向量16第四章定理证明17致谢19参考文献20附录21第_章绪论1.1研究的目的和意义Matlab是美国MathWorks公司自20世纪80年代中期推出的数学软件，具 有优秀的数值计算能力和卓越的数据可视化能力，可以提供与矩阵有关的强大的 数据处理和图形显示功能，为软件开发人员在程序编制过程中实现数值计算和图 形显示新添了又一行之有效的开发平台，所以一经推出便使其很快在数学软件中 脱颖而出。到目前为止，其最高版本7.0版已经推出。随着版本的不断升级，它 在数值计算及符号计算功能上得到了进一步完善。Matlab已经发展成为多学科、 多种工作平台的功能强大的大型

5、软件，在控制、通信、信号处理及科学计算等领 域中得到广泛的应用，已经被认可为能够有效提高工作效率、改善设计手段的工 具软件。这个论文主要是要使用Matlab数学计算软件证明定理成立，熟练掌握矩阵 及这个软件的基本计算功能。1.2矩阵基础知识在数学中，矩阵（Matrix ）是指纵横排列的二维数据表格，最早来自于方程 组的系数及常数所构成的方阵。这一概念由19世纪英国数学家凯利首先提出。矩阵是高等代数学中的常见工具，也常见于统计分析等应用数学学科中。在 物理学中，矩阵于电路学、力学、光学和量子物理中都有应用；计算机科学中， 三维动画制作也需要用到矩阵。矩阵的运算是数值分析领域的重要问题。将矩 阵分

6、解为简单矩阵的组合可以在理论和实际应用上简化矩阵的运算。对一些应用 广泛而形式特殊的矩阵，例如稀疏矩阵和准对角矩阵，有特定的快速运算算法。 关于矩阵相关理论的发展和应用，请参考矩阵理论。在天体物理、量子力学等领 域，也会出现无穷维的矩阵，是矩阵的一种推广。1.3 Matlab数学软件Matlab是美国MathWorks公司出品的商业数学软件，用于算法开发、数据 可视化、数据分析以及数值计算的高级技术计算语言和交互式环境，主要包括 Matlab和Simulink两大部分。Matlab是matrix&laboratory两个词的组合，意为矩阵工厂（矩阵实验室）。 是由美国mathworks公司发布

7、的主要面对科学计算、可视化以及交互式程序设计 的高科技计算环境。它将数值分析、矩阵计算、科学数据可视化以及非线性动态 系统的建模和仿真等诸多强大功能集成在一个易于使用的视窗环境中，为科学研 究、工程设计以及必须进行有效数值计算的众多科学领域提供了一种全面的解决 方案，并在很大程度上摆脱了传统非交互式程序设计语言（如C、Fortran）的编 辑模式，代表了当今国际科学计算软件的先进水平。Matlab软件有着很多优点：1）高效的数值计算及符号计算功能，能使用户从繁杂的数学运算分析中解 脱出来；2）具有完备的图形处理功能，实现计算结果和编程的可视化；3）友好的用户界面及接近数学表达式的自然化语言，使

8、学者易于学习和掌 握；4）功能丰富的应用工具箱（如信号处理工具箱、通信工具箱等），为用户提 供了大量方便实用的处理工具。第二章矩阵运算2.1矩阵的基本概念矩阵，是由幽个数组成的一个欧行理列的矩形表格，通常用大写字母瓦玖6表示，组成矩阵的每一个数，均称为矩阵的元素，通常用小写字母其元素表示，其中下标都是正整数，他们表示该元素在12-_ 钓 1 a22日=矩阵中的位置。比如， 粕噩“翌 侦 或H = 儿瞬表示一个阳邓 矩 阵，下标计表示元素位于该矩阵的第，行、第J列。元素全为零的矩阵称为 零矩阵。，也称为一个状维列向量；而一个*矩特别地，一个状xl矩阵阵月=（她或，九），也称为一个冉维行向量。当一

9、个矩阵的行数酬与烈数就相等时，该矩阵称为一个幽阶方阵。对于 方阵，从左上角到右下角的连线，称为主对角线；而从左下角到右上角的连线称为付对角线。若一个理阶方阵的主对角线上的元素都是1,而其余元素都是零，则称为单位矩阵，记为码，即:主对角线上（下）方的元素都是零，则称为下（上）响。如一个理阶方阵的 三角矩阵，例如，01K是一个苏阶下三角矩阵，而则是个欧阶上三角矩阵。今后我们用财成峙表示数域F上的沈小矩阵构成的集合，而用财心（峙或者财J畛表示数域F上的 苏阶方阵构成的集合。2.2矩阵的运算2.2.1矩阵的加法如果占=屈）切=0）是两个同型矩阵（即它们具有相同的行数和列数，比 如说&脆甄），则定义它们

10、的和H+月仍为与它们同型的矩阵（即A +）,月+月的元素为月和对应元素的和，即：且+占二 （%.+%给定矩阵妇& ,我们定义其负矩阵T 为：T =。这样我们可以定义同型矩阵的减法为:AP = A + （-E）。由于矩阵的加法运算归结为其元 素的加法运算，容易验证，矩阵的加法满足下列运算律：（1）交换律：H + 3 = + H ；（2）结合律：H + （3 + C） = （H +月）+ C ；（3）存在零元：H + O = Q + A = H ；（4）存在负元：妇（T） = （T） + H = Q。2.2.2数与矩阵的乘法设为一个数，妇MX、闽，则定义人与的乘积况应仍为 血成JF）中的一个矩阵，

11、膈 中的元素就是用数只乘月中对应的元素的道德， 即 4 g。由定义可知：（TM = T。容易验证数与矩阵的乘法满足下列 运算律：（1）= A ；（2）只3 +月）=腥+物；（3）（只+小二仙+庭；（4）即）月二只W）二必H）。2.2.3矩阵的乘法设月=（吗.）为 5 距阵，为E 距阵，则矩阵H可以左乘矩阵月（注意：距阵H德列数等与矩阵片的行数），所得的积为一个欧对距阵C，即4C，其中，并且*。据真的乘法满足下列运算律（假定下面的运算均有意义）：（1）结合律：（展） =成月（7）；（2）左分配律：月（月+。）=展+如；（3）右分配律：3 +月）dC + 时；（4）数与矩阵乘法的结合律：（徵）”（

12、展）=&也5）；（5）单位元的存在性：四盘。Ak = AA-A若A为就阶方阵，则对任意正整数止，我们定义：，并规定：件=占由于矩阵乘法满足结合律，我们有：=W，（渺）1成。注意：矩阵的乘法与通常数的乘法有很大区别，特别应该注意的是：（1）矩阵乘法不满足交换律：一般来讲即便有意义，瓦4也未必有意 义；倘使朋，都有意义，二者也未必相等（请读者自己举反例）。正是由于这 个原因，一般来讲，叫+月）、逐+由月+月 3闵渺甘。（2）两个非零矩阵的乘积可能是零矩阵，即 = 0未必能推出元二或者 ，=。（请读者自己举反例）。（3）消去律部成立：如果如=妃 并且H部，未必有B = C。2.2.4矩阵的转置f /

13、J /T - - - /T 11 % %21 吃 , 吃日=定义：设0】 为欧矩阵，我们定义h的转置为一4 a21侦招a12 a22 a?n2个g幽矩阵，并用逐表示月的转置，即：I知吃 -冬J。矩阵的转置运算满足下列运算律：（1）（逐）1;（2）3+时顼+庆；（3 ） S；（4 ）（展号庆逐。2.2.5对称矩阵定义1.11冉阶方阵H若满足条件：泄=A，则称H为对称矩阵；若满足 条件：逐二T，则称H为反对称矩阵。若设 二（%），则月为对称矩阵，当 且仅当听=纱对任意的Um成立；只为反对称矩阵，当且仅 当% = 一财 对任意的门=2-乎 成立。从而反对称局针对角线上的元素必为 零。对称矩阵具有如下

14、性质：（1）对于任意刑小 矩阵应，为打阶对称矩阵；而 出为酬阶对称 矩阵；（2）两个同阶（反）对称矩阵的和，仍为（反）对称矩阵；（3） 如果两个同阶（反）对称矩阵可交换，即心曲，则它们的 乘积必为对称矩阵，即= AB。第三章Matlab数学软件3.1矩阵的表示在Matlab中创建矩阵有以下规则：a、矩阵元素必须在”内；b、矩阵的同行元素之间用空格（或”,”）隔开；c、矩阵的行与行之间用”;”（或回车符）隔开；d、矩阵的元素可以是数值、变量、表达式或函数；e、矩阵的尺寸不必预先定义。3.2矩阵的创建3.2.1直接输入法最简单的建立矩阵的方法是从键盘直接输入矩阵的元素，输入的方法按照上 面的规则。

15、建立向量的时候可以利用冒号表达式，冒号表达式可以产生一个行向 量，一般格式是：e1:e2:e3，其中el为初始值，e2为步长，e3为终止值。还可 以用linspace函数产生行向量，其调用格式为：linspace(a,b,n)，其中a和b是生 成向量的第一个和最后一个元素，n是元素总数。3.2.2利用Matlab函数创建矩阵基本矩阵函数如下：(1) ones()函数：产生全为1的矩阵，ones(n):产生n*n维的全1矩阵， ones(m,n):产生m*n维的全1矩阵；(2) zeros(涵数：产生全为0的矩阵；(3) rand()函数：产生在(0，1)区间均匀分布的随机阵；(4) eye()函数：产生单位阵；(5) randn()函数：产生均值为0，方差为1的标