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1、湖南衡阳2015高三第二次联考数学文一. 选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. ）1. 命题，；命题，则下列命题中为真命题的是（ ）A. B. C. D. 2. 设复数（为虚数单位），的共轭复数为，则等于（ ）A. B. C. D. 3. 甲、乙、丙、丁四位同学各自对、两变量的线性相关试验，并用回归分析方法分别求得相关系数如下表：则这四位同学的试验结果能体现出、两变量有更强的线性相关性的是（ ）A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁4. 下列函数中，图象的一部分如图1所示的是（ ）A. B. C. D. 5. 已知等差数列满足，（）
2、，则的值为（ ）A. B. C. D. 6. 在三棱锥中，侧棱、两两垂直，并且、的面积分别为、，则该三棱锥外接球的表面积为（ ）A. B. C. D. 7. 如图2所示是用模拟方法估计圆周率值的程序框图，表示估计的结果，则图中空白框内应填入（ ）A. B. C. D. 8. 已知双曲线（，）与抛物线（）有一个共同的焦点，点是双曲线与抛物线的一个交点，若，则此双曲线的离心率等于（ ）A. B. C. D. 9. 下列不等式对任意的恒成立的是（ ）A. B. C. D. 10. 已知函数，若. . 互不相等，且，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 二. 填空题（本大题共5小题，每小题5分，
3、共25分. ）11. 若集合，则集合的子集有 个. 12. 已知曲线的极坐标方程为（，），曲线在点处的切线为，若以极点为坐标原点，以极轴为轴的正半轴建立直角坐标系，则的直角坐标方程为 .13. 已知中，点、的坐标依次是、，边上的高为，则的坐标是 .14. 若，满足，则的最大值为 .15. 若对任意的，均有成立，则称函数为函数到函数在区间上的“折中函数”. 已知函数，且是到在区间上的“折中函数”，则实数的值构成的集合是 .三. 解答题（本大题共6小题，共75分. 解答应写出文字说明. 证明过程或演算步骤. ）16. （本小题满分12分）如图，某污水处理厂要在一正方形污水处理池内修建一个三角形隔离
4、区以投放净化物质，其形状为三角形，其中位于边上，位于边上. 已知米，设，记，当越大，则污水净化效果越好.求关于的函数解析式，并求定义域；求的最大值，并指出等号成立条件？17. （本小题满分12分）某研究性学习小组对春季昼夜温差大小与某花卉种子发芽数之间的关系进行研究，他们分别记录了3月1日至3月5日的每天昼夜温差与实验室每天每100颗种子浸泡后的发芽数，得到资料如下表：从3月1日至3月5日中任选2天，记发芽的种子数分别为，求事件“，均不小于25”的概率；请根据3月2日至3月4日的数据，求出关于的线性回归方程；现选取3月1日与3月5日的两组数据作为检验数据，若由线性回归方程得到的估计数据与所选出
5、的检验数据的误差均不超过2颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问中所得的线性回归方程是否可靠？（参考公式：回归直线的方程是，其中，）18. （本小题满分12分）一个四棱锥的三视图和直观图如图4所示，其中俯视图中. 为侧棱的中点.求证：平面；若为侧棱上的一点，且，则为何值时，平面？并求此时几何体的体积.19. （本小题满分13分）如图5，曲线是以原点为中心，为焦点的椭圆的一部分. 曲线是以为顶点，为焦点的抛物线的一部分，是曲线和的交点，且为钝角，若，.求曲线和的方程；设点是上一点，若，求的面积.20. （本小题满分13分）已知数列中，其前项和满足（，）.求证：数列为等差数列，并求的通项公式；
6、设，求数列的前项和；设（为非零整数，），是否存在确定的值，使得对任意，有恒成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.21. （本小题满分13分）已知函数是定义在上的奇函数，当时，（其中是自然对数的底，）.求的解析式；设，求证：当时，且，恒成立；是否存在实数，使得当时，的最小值是？如果存在，求出实数的值；如果不存在，请说明理由.（参考公式：（）参考答案一. 选择题：本题有10小题，每小题5分，共50分。题号12345678910答案BCDDABCACC二. 填空题：本题有5小题，每小题5分，共25分。11. ；12. ；13. ；14. ；15. 三. 解答题：本题有6小题，共75分，解答应写
7、出文字说明. 证明过程或演算步骤。16. 解：（1）因为,2分4分5分，6分（2）-9分当时，即时11分答：当时，的最大值为3. 12分17. 解：（1）的所有取值情况有：（23,25），（23,30），（23,26），（23,16），（25,30），（25,26），（25,16），（30,26），（30,16），（26,16），即基本事件总数为10. 2分设“m，n均不小于25”为事件A，则事件A包含的基本事件为（25,30），（25,26），（30,26）. 4分所以，故事件A的概率为. 5分（2）由数据，求得，.，.由公式，求得，8分. 9分所以y关于x的线性回归方程为. 10分（3）当
8、x=10时，|2223|2；同样，当x=8时，|1716|2.所以，该研究所得到的线性回归方程是可靠的. 12分18. （1）证明：由三视图可知该四棱锥的底面ABCD是菱形，且有一角为，边长为2，锥体高度为1。1分设AC，BD和交点为O，连OE，OE为DPB的中位线，2分OE/PB，EO面EAC，PB面EAC，PB/面AEC5分（2）解：过O作OFPA垂足为F在RtPOA中，PO=1，AO=，PA=2，PO2=PFPA，2PF=1，7分在菱形中BDAC，又因为PO面ABCD，所以BDPO，及BD面APO，所以BDPA,又OFPA，从而PA平面BDF9分当时，在POA中过F作FH/PO，则FH面
9、BCD，FH=. 12分19. 解：（1）设椭圆方程为1（ab0），则2a|AF1|AF2|6，得a3. 1分设A（x，y），F1（c,0），F2（c,0），则（xc）2y2（）2，（xc）2y2（）2，两式相减得xc2分由抛物线的定义可知|AF2|xc，3分则c1，x或x1，c. 又AF2F1为钝角，则x1，c不合题意，舍去. 当c1时，b2，5分所以曲线C1的方程为1（3x），6分曲线C2的方程为y24x（0x）. 7分（2）过点F1作直线l垂直于x轴，过点C作CC1l于点C1，依题意知|CC1|CF2|.在RtCC1F1中，|CF1|CF2|CC1|，所以C1CF145，所以CF1F2C
10、1CF145. 9分在CF1F2中，设|CF2|r，则|CF1|r，|F1F2|2.由余弦定理得22（r）222rcos45r2，解得r2，11分所以CF1F2的面积S|F1F2|CF1|sin4522sin452. 13分20. （1）证明：由已知，,即（n2，nN*），且. 1分数列是以为首项，公差为1的等差数列，. 3分（2）解：由（1）知，4分设它的前n项和为两式相减可得：所以7分（3）解：，8分要使恒成立，则恒成立恒成立，恒成立. 10分（）当n为奇数时，即恒成立，当且仅当n=1时，有最小值为1，1. 11分（）当n为偶数时，即恒成立，当且仅当n=2时，有最大值2，2. 即21，又为
11、非零整数，则=1. 12分综上所述，存在=1，使得对任意nN*，都有. 13分21. （1）解：设，则，所以又因为是定义在上的奇函数，所以故函数的解析式为2分（2）证明：当且时，设因为，所以当时，此时单调递减；当时，此时单调递增，所以4分又因为，所以当时，此时单调递减，所以5分所以当时，即6分（3）解：假设存在实数，使得当时，有最小值是3，因为7分（）当，时，. 在区间上单调递增，不满足最小值是8分（）当，时，在区间上单调递增，也不满足最小值是9分（）当，由于，则，故函数是上的增函数.所以，解得（舍去）10分（）当时，则当时，此时函数是减函数；当时，此时函数是增函数.所以，解得12分综上可知，存在实数，使得当时，有最小值13分15
