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1、 四边形中 的动点题 1、已知，矩形ABCD中，AB4cm，BC8cm，AC的垂直平分线EF分别交AD、BC于点E、F，垂足为O（1）如图1，连接AF、CE求证四边形AFCE为菱形，并求AF的长；（2）如图2，动点P、Q分别从A、C两点同时出发，沿AFB和CDE各边匀速运动一周即点P自AFBA停止，点Q自CDEC停止在运动过程中，已知点P的速度为每秒5cm，点Q的速度为每秒4cm，运动时间为t秒，当A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值若点P、Q的运动路程分别为a、b(单位：cm，ab0)，已知A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形，求a与b满足的数量关系式解：（1）证
2、明：四边形ABCD是矩形ADBCCAD=ACB，AEF=CFEEF垂直平分AC，垂足为OOA=OCAOECOFOE=OF四边形AFCE为平行四边形EFAC四边形AFCE为菱形设菱形的边长AF=CF=xcm，则BF=(8-x)cm，在RtABF中，AB=4cm，由勾股定理得：解得x=5AF=5cm（2）当P点在AF上时，Q点在CD上，此时A、C、P、Q四点不可能构成平行四边形；同理：当P点在AB上时，Q点在DE或CE上，也不能构成平行四边形只有当P点在BF上、Q点在ED上时，才能构成平行四边形，此时PC=QAPC=5t，QA=12-4t5t=12-4t，解得t=以A、C、P、Q四点为顶点的四边形
3、是平行四边形时，t=秒由题意得，以A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，点P、Q在互相平行的对应边上分三种情况：i）当P点在AF上、Q点在CE上时，AP=CQ，即a=12-b，得a+b=12；ii）当P点在BF上、Q点在DE上时，AQ=CP，即12-b=a，得a+b=12；iii）当P点在AB上、Q点在CD上时，AP=CQ，即12-a=b，得a+b=12综上所述，a与b满足的数量关系式是a+b=12（ab0）2、如图，在RtABC中，B=90,BC=5，C=30点D从点C出发沿CA方向以每秒2个单位长的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以每秒1个单位长的速度向点B匀速运
4、动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动设点D、E运动的时间是t秒（t0）过点D作DFBC于点F，连接DE、EF（1）求证：AE=DF；（2）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，说明理由（3）当t为何值时，DEF为直角三角形？请说明理由 1因为DFBC ，C=30所以DF=DC/2因为D从点C出发沿CA方向以每秒2个单位长的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动所以AE=DC/2所以AE=DF2因为DFBC，B=90所以AE/DF因为AE=DF所以四边形AEFD是平行四边形要使四边形AEFD是菱形，只要满足AE
5、=AD因为RtABC中，B=90，BC=53 ，C=30所以AC=10AE=t，AD=10-2t即 t=10-2t t=10/3所以t=10/3秒时，四边形AEFD是菱形3当ED/BC时，DEF为直角三角形因为C=30所以AE/AD=1/2即： t/（10-2t）=1/2 t=5-t t=5/2当EDEF时，DEF也为直角三角形因为四边形AEFD是平行四边形所以EF/AD因为EDEF所以EDAD因为A=60所以AD/AE=1/2即：(10-2t)/t=1/2 20-4t=t t=4 如图，在四边形形ABCD中，ADBC，A=D,点E是线段AD上的一个动点（E与A、D不重合），G，F，H分别是B
6、E，BC，CE的中点（1）四边形EGFH是什么特殊四边形？为什么？（2）当点E运动到什么位置时，四边形EGFH是菱形？（3）若（2）中菱形EGFH是正方形，请探索线段EF与BC之间关系并证明 解：（1） 四边形EGFH是平行四边形理由是：G、F、H分别是BE、BC、CE的中点，GFEH，GF=EH四边形EGFH是平行四边形（2）当点E是AD的中点时，四边形EGFH是菱形证明：四边形ABCD是等腰梯形，AB=DC，A=D，在ABE与DCE中，ABDCADAEDEABEDCE（SAS），BE=CEG、H分别是BE、CE的中点，EG=EH又由（1）知四边形EGFH是平行四边形，四边形EGFH是菱形（
7、3）EFBC，EF=0.5BC证明：四边形EGFH是正方形，EG=EH，BEC=90G、H分别是BE、CE的中点，根据中位线定理知道EB=EC，F是BC的中点，E为AD的中点，BEC为等腰直角三角形，EFBC，EF=0.5BC3、 数学课上，张老师出示了问题：如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点AEF=90，且EF交正方形外角DCG的平分线CF于点F，求证：AE=EF经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB的中点M，连接ME，则AM=EC，易证AMEECF，所以AE=EF在此基础上，同学们作了进一步的研究：（1）小颖提出：如图2，如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边B
8、C上（除B，C外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AE=EF”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由；（2）小华提出：如图3，点E是BC的延长线上（除C点外）的任意一点，其他条件不变，结论“AE=EF”仍然成立你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由解：（1）正确（1分）证明：在AB上取一点M，使AM=EC，连接ME（2分）BM=BE，BME=45，AME=135，CF是外角平分线，DCF=45，ECF=135，AME=ECF，AEB+BAE=90，AEB+CEF=90，BAE=CEF，AMEECF（ASA），（5分
9、）AE=EF（6分）（2）正确（7分）证明：在BA的延长线上取一点N使AN=CE，连接NE（8分）BN=BE，N=NEC=45，CF平分DCG，FCE=45，N=ECF，四边形ABCD是正方形，ADBE，DAE=BEA，即DAE+90=BEA+90，NAE=CEF，ANEECF（ASA）（10分）AE=EF（11分）如下图，在矩形ABCD中，AB=12 cm，BC=6 cm点P沿AB边从点A开始向点B以2 cm/s的速度移动；点Q沿DA边从点D开始向点A以1 cm/s的速度移动如果P、Q同时出发，用t（s）表示移动的时间（0t6）那么（1） 当t为何值时，QAP为等腰直角三角形？（2）求四边形
10、QAPC的面积，（3）提出一个与计算结果有关的结论；解：（1）对于任何时刻t，AP=2t，DQ=t，QA=6t当QA=AP时，QAP为等腰直角三角形，即：6t=2t，解得：t=2（s），所以，当t=2s时，QAP为等腰直角三角形（2）在QAC中，QA=6t，QA边上的高DC=12，SQAC=QADC=（6t）12=366t在APC中，AP=2t，BC=6，SAPC=APBC=2t6=6tS四边形QAPC=SQAC+SAPC=（366t）+6t=36（cm2）由计算结果发现：在P、Q两点移动的过程中，四边形QAPC的面积始终保持不变（也可提出：P、Q两点到对角线AC的距离之和保持不变） 如图，A
11、BC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MNBC，设MN交BCA的平分线于点E，交BCA的外角平分线于点F。（1）探究：线段OE与OF的数量关系并加以证明；（2）当点O在边AC上运动时，四边形BCFE会是菱形吗？若是，请证明，若不是，则说明理由；（3）当点O运动到何处，且ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形？并说明理由； 解：（1），其证明如下：CE是ACB的平分线，同理可证，；（2）四边形不可能是菱形，若为菱形，则，而由（1）可知，在平面内过同一点F不可能有两条直线同垂直于一条直线；（3）当点O运动到AC中点时，则四边形为平行四边形，要使为正方形，必须使，是以为直角的直角三角形，当点O为AC中点且是以为直角的直角三角形时，四边形是正方形。
