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1、一、三次函数：1.(09山东卷文)已知函数,其中 （1）当满足什么条件时,取得极值?（2）已知,且在区间上单调递增,试用表示出的取值范围.解: (1)由已知得,令,得,要取得极值,方程必须有解,所以,即,此时方程的根为,所以 当时,x(-,x1)x 1(x1,x2)x2(x2,+)f(x)00f (x)增函数极大值减函数极小值增函数所以在x 1, x2处分别取得极大值和极小值.当时, x(-,x2)x 2(x2,x1)x1(x1,+)f(x)00f (x)减函数极小值增函数极大值减函数所以在x 1, x2处分别取得极大值和极小值. 综上,当满足时, 取得极值. (2)要使在区间上单调递增,需使
2、在上恒成立.即恒成立, 所以设,令得或(舍去), 当时,当时,单调增函数;当时,单调减函数,所以当时,取得最大,最大值为.所以，当时,此时在区间恒成立,所以在区间上单调递增,当时最大,最大值为,所以，综上,当时, ; 当时, 2、已知函数，且为的两个极值点，（1）求实数的取值范围；（2）若对任意恒成立，求实数的取值范围.（09江西卷文）（恒成立、实根个数）设函数（1）对于任意实数，恒成立，求的最大值；（2）若方程有且仅有一个实根，求的取值范围 解：(1),因为, 即 恒成立, 所以 , 得，即的最大值为 (2)因为当时, ;当时, ;当时, ;所以当时,取极大值 ; 当时,取极小值 ;故当或时
3、, 方程仅有一个实根. 解得 或.二、对数函数：1、已知是函数的一个极值点，（1）求实数的值；（2）求函数的单调区间；（3）求直线与函数的图象有个交点，求实数的取值范围解：（1）又是函数的一个极值点，故经检验时，在处取得极小值，故（2）由（1）知：，令则或，令则或，故函数的单调增区间为和，单调减区间为（3）由（2）知，在上递增，在上递减，在上递增，且当或时，故的极大值为极小值为又故要使在的三个单调区间直线与函数的图象各有一个交点，当且仅当即，故实数的取值范围为【变式】：若改成“直线与函数的图象有2个交点、一个交点呢？”（当或时，有一个交点，当或时，有两个交点）2、已知： （）若恒成立，求的取值
4、范围；（）若方程恰好有一个根属于，求的取值范围解：（），由，故在上为减函数，在上为增函数，所以，要使恒成立，只需，解得，即的取值范围是（）依题意有，即，故的取值范围是3、试讨论关于的方程的根的个数4、若不等式对任意恒成立，试求实数的取值范围5、（09辽宁理21）已知函数f(x)=x-ax+(a-1)，。（1）讨论函数的单调性； （2）证明：若，则对任意x，x，xx，有。解：(1)的定义域为。2分（i）若即,则，故在单调增加。(ii)若,而,故,则当时，;当及时，故在单调减少，在单调增加。(iii)若,即,同理可得在单调减少，在单调增加.(II)考虑函数 ，则，由于1a5,故，即g(x)在(4,
5、 +)单调增加，从而当时有，即，故，当时，有12分6、（山东理22）设函数，其中（）当时，判断函数在定义域上的单调性；（）求函数的极值点；（）证明对任意的正整数，不等式都成立解：（）由题意知，的定义域为，设，其图象的对称轴为，当时，即在上恒成立，当时，当时，函数在定义域上单调递增（）由（）得，当时，函数无极值点时， 有两个相同的解，时，时，时，函数在上无极值点当时，有两个不同解，时，即，当时，随的变化情况如下表：极小值由此表可知：当时，有惟一极小值点，当时，此时，随的变化情况如下表：极大值极小值由此表可知：时，有一个极大值和一个极小值点；综上所述：当时，有惟一最小值点；当时，有一个极大值点和一
6、个极小值点；当时，无极值点（）当时，函数，令函数，则当时，所以函数在上单调递增，又时，恒有，即恒成立故当时，有对任意正整数取，则有所以结论成立7、设函数，其中为常数（）当时，判断函数在定义域上的单调性；（）若函数有极值点，求的取值范围及的极值点；（）求证：对任意不小于3的正整数，不等式都成立解：（）由题意知，的定义域为， 当时， ，函数在定义域上单调递增 （）由（）得，当时，函数无极值点时，有两个相同的解，时，时，函数在上无极值点当时，有两个不同解， 时，,此时 ，随在定义域上的变化情况如下表：减极小值增由此表可知：时，有惟一极小值点， ii) 当时，01，此时，随的变化情况如下表：增极大值减极小值增由此表可知：时，有一个极大值和一个极小值点；综上所述：当且仅当时有极值点;当时，有惟一极小值点；当时，有一个极大值点和一个极小值点（）由()可知当时，函数，此时有惟一极小值点，且 ，令函数 3
