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1、GMM估计中文讲义2线性模型y xP + = X P + X 卩 + i i i 1i 1 2 i 2 iE(x ) 0iiX是k X1, X是r X1, 1 = k+r。如果没有其他约束，卩的渐进有效估计量是OLS 1 i2 i估计。现在假设给定一个信息卩-0，我们可以把模型写为，2y. = x：卩 +.， E(x.) = 0i 1i 1 i i i如何估计P ?一种就是OLS估计。然而这种方法不是必然有效的，当在E(x.) 0方1 . .程中有1个约束，然而p的维数k 1，这种情况称为过渡识别。这里有r=1 k比自由参 1数多的矩约束，我们称r是过渡约束识别个数。让g(y, z,x，P )
2、是1X1个方程，参数P为k X1，且k 1，有Eg(y,z ,x,P )=0(1). . . 0P是p的真实值，在上面线性模型中有g(y，x,卩)x(y-x卩)。在计量经济学里， 01这类模型称为矩条件模型。在统计学中，这称为估计方程。 另外，我们还有一个线性矩条件模型， y.=z.P +.， E(x.)=0. . 1 . . .z和x的维数都是k X1，且有1X1，k 1，如果k 1则模型是恰好识别，否则是过 .渡识别。变量z是x的一部分或是x的函数。模型(1)可以设置为，. . .g(y,z,x,P )=x(y-zP)(2). . . 0GMM估计模型( 2)样本均值为g (P) 1 Mg
3、 (卩)1 工x (y -zP) !(Xy-XZp)(3)n n . n . . . n.=1. =1p的矩估计量就是设置g (p ) 0。对于k 0，让nJ (0) = n - g (0)W g (0) nn n n这是向量g (0 )长度的非负测度。例如，如果W = I，则有nnJ (0) = n g (0)g (0) = n -|g (0)|2。nnnnGMM估计就是最小化J (0 )，即定义0= arg0 J (0)。nGMM 0 n八1-Z XWkn丿n(1八-X (y - Z0)5丿注意，如果k = l，则g (0 ) = 0 , GMM估计就是矩估计方法。GMM估计的一阶条件为
4、n0 = 2 吕 g (0 )W g (0) = -2o0d0 n n n2(ZX)W (XZ)0 = 2(ZX)W (Xy)n则0的GMM估计为0= (zx)w (xz)-1(zx)w (Xy)GMMnnGMM 估计量的分布假设 W I W0，令 Q = E(x z)和 0 = E(x x 2) = E(gg) i i i i i i iI QWQ这里g = x则二ZX W f-XZ kn丿1Z X W f1X kn 丿I QWN (0,0)定理 1：7N(0 -卩)IN(0,V)V = (QWQ) - i(QW 0WQ)(QWQ) -1为了使V最小，最优加权矩阵W =0-1 (证明留作练习
5、)。这产生了最有效的GMM估计量:00= (z X 0-1 xz )-1 z X 0-1 xyGMM这时，我们有定理2：对于有效的GMM估计量，丽(0-0) N (0,( Q0-1Q)-1)实际上W =0-1是未知的，但它能一致估计。对于任何W W，我们仍然称0是有0n0效的GMM估计量，且有相同的渐进分布。有效即意味着GMM估计量有最小的渐进方差。当我们只考虑加权矩阵W，这是弱有n效概念。然而Gary Chamberlain (1987)证明这个GMM估计量是半参数有效的。有效加权矩阵估计对于给定的W 0 , P的GMM估计量是一致但不是有效的，例如W =1。在线性模型,n n l一个较好的
6、选择是W =(XX)-1。给定第一步估计量，我们定义残卷=y - zB，矩方程n i i i=g (y, z, x, 0),iii构造1 gni i=1定义w =n丄工g* g*TIn耳丿-工g.g，- g gn i i i=1nn)-1 丿那么有W 0-1=W，使用W得到的GMM估计量是渐进有效的。n0nC1)-1一个替代性选择是W = gg ，使用非中心化的矩条件。因为Eg = 0,这两 n In . , l 丿iI=1种估计量在正确的假设下是渐进相等的。然而， Alastair Hall (2000) 指出非中心化估计量是较差的选择。当构造假设检验，备择假设下的矩条件是无效的，如Eg鼻0
7、，所以非中心化的估 .计量包含着偏误项，以及对检验势的影响。对于线性模型，有效的GMM估计量可以这样计算，首先，设置W =( X X )-1，使用此 n加权矩阵估计0，构造残差 = y-z0，矩方程g = X = g(y,z,x，0 )。则gmm估. . . . . . . . .计为0 = (zx (gg - ng 于)-1 xzL zx(g境-ng 于)-1 xyn nn n在多数例子中，当我们说“GMM”时，其实我们就意味着是“有效GMM”。当有效估计量比较容易计算时，有一点需要注意就是我们在使用非有效的GMM估计量。0 的渐进方差估计量为，V = n(ZX (gg - ng g)-1X
8、 Z Lnn刚才给出的两阶段GMM估计的一个重要替代估计方法，是L. Hansen, Heaton and Yaron(1996)的 continuously-updated GMM 估计。即我们让加权矩阵是 0 的函数，则矩条件方程是，(iA-1J(P) = ng (p) -Y g*(p)g*(p)n In i - Z 丿g* (P) = g (P ) - g (P)ii n定理3：在一般规则条件下，JN(P 卩)N(0,(GQ-iG)-), 0 二(E(g g)-,i i(Qg.(P)Q的方差由Ge-1估计，4心g；g；Qg (P)过度识别检验gEg , g可以用来评价Eg = 0假设是否正确。根据有效加权矩阵W的表达 ni nin式，参数估计量的准则函数是，J 二 ng W g 二 n2g (g g 一 ng gf)-i gn n n nn n n过度识别的J检验是，J = J(P)2l-k
