第 8 节 曲线与方程
考试要求 1.了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系; 2.了解解析几何的基本思 想和利用坐标法研究曲线的简单性质; 3.能够根据所给条件选择适当的方法求曲 线的轨迹方程 .
知识梳理
1. 曲线与方程的定义
一般地,在直角坐标系中,如果某曲线 C上的点与一个二元方程f(x, y) = 0的实
数解建立如下的对应关系:
那么,这个方程叫做曲线的方程,这条曲线叫做方程的曲线
2•求动点的轨迹方程的基本步骤
[常用结论与微点提醒]
1.“曲线C是方程f(x, y)二0的曲线”是“曲线C上的点的坐标都是方程f(x, y) =0的解”的充分不必要条件.
2•曲线的交点与方程组的关系:
(1) 两条曲线交点的坐标是两个曲线方程的公共解,即两个曲线方程组成的方程组 的实数解;
(2) 方程组有几组解,两条曲线就有几个交点;方程组无解,两条曲线就没有交点
诊断自测
⑴f(xo, yo) = 0是点P(xo, yo)在曲线f(x, y)= 0上的充要条件.( )
⑵方程x (老教材选修 2— 1P37A2 改编)已知 M( — 1, 0), N(1, 0), |PM| — |PN|= 2,则动
点P的轨迹是( )
A.双曲线 B.双曲线左支
C. 一条射线 D.双曲线右支
解析 由于|PM|— |PN|= |MN|,所以A , B, D不正确,应为以N为端点,沿x轴 正向的一条射线•
答案 C
(老教材选修2— 1P37A1改编)已知A(— 2, 0), B(1, 0)两点,动点P不在x轴
上,且满足/ APO=Z BPO,其中0为原点,则点P的轨迹方程是 .
+ xy= x的曲线是一个点和一条直线.()
(3) 动点的轨迹方程和动点的轨迹是一样的.()
⑷方程y= x与x= y2表示同一曲线.( )
解析 对于(2),由方程得x(x+y- 1) = 0,即x= 0或x+ y—1= 0,所以方程表示 两条直线,错误;对于(3),前者表示方程,后者表示曲线,错误;对于(4),曲线 y=.x是曲线x= y2的一部分,错误.
答案 (1)2 (2) x (3) x ⑷ x
解析 由角的平分线性质定理得|PA|= 2|PB|,设P(x, y),贝(x+ 2) 2+ y2
2 '' (x- 1) 2 + y2,整理得(x- 2)2 + y2= 4(yM 0).
答案 (x-2)2 + y2= 4(yM 0)
4. (2019广州调研)方程(2x+ 3y- 1)( . x- 3- 1) = 0表示的曲线是( )
A.两条直线 B.两条射线
C.两条线段 D.—条直线和一条射线
2x+ 3y— 1 = 0, /
解析 原方程可化为 或“ x-3- 1= 0,即2x+ 3y- 1 = 0(x>3)或
x-3> 0
x = 4,故原方程表示的曲线是一条射线和一条直线.
答案 D
1 1
5. (2020重庆一中月考)已知点F 4, 0,直线I: x=-4,点B是I上的动点,若 过点B垂直于y轴的直线与线段BF的垂直平分线交于点 M,则点M的轨迹是
()
A.双曲线 B.椭圆
C.圆 D.抛物线
解析 由已知|MF|=|MB|,根据抛物线的定义知,点 M的轨迹是以点F为焦点,
直线I为准线的抛物线.
答案
6. (2020福州调研)已知点P在曲线2X2-y= 0上移动,则点A(0, - 1)与点P连线 的中点的轨迹方程是 .
解析 设AP的中点坐标为(x,y),则P(2x, 2y+ 1),由点P在曲线上,得2 • (X)2
-(2y+ 1)= 0,即卩 y = 4x2-£
1
答案 y= 4X2--
考点一直接法求轨迹方程
【例1】(1)已知A(- 1,0),B(1, 0)两点,过动点M作x轴的垂线,垂足为N, 若MN2= QanNB,则当 泾0时,动点M的轨迹为( )
A. 圆 B.椭圆
C.双曲线 D.抛物线
(2)(2020西安调研)在平面直角坐标系xOy中,点B与点A(- 1, 1)关于原点O对
1
称,P是动点,且直线 AP与BP的斜率之积等于—勺•则动点P的轨迹方程为
解析 ⑴设 M(x, y),贝U N(x, 0),所以 MN2 = y2, 届 NB=;(x+ 1, 0) • -(1k,
y2
0)= X1 — X2),所以y2= X1 — X2),即入x+ y2=人变形为x2 +七=1,所以当 X0 时,动点M的轨迹为双曲线.
⑵因为点B与点A(- 1, 1)关于原点O对称,所以点B的坐标为(1,- 1).
y — 1 y+1 i 2 2
设点P的坐标为(x, y),由题意得 =—3,化简得x2 + 3y2 = 4(x^ 土 1)故
x+ 1 x— 1 3
动点P的轨迹方程为x2 + 3y2= 4(xm ± 1.)
答案 (1)C (2)x2 + 3y2= 4(xm ± 1)
规律方法利用直接法求轨迹方程
(1) 利用直接法求解轨迹方程的关键是根据条件准确列出方程,然后进行化简 •
(2) 运用直接法应注意的问题:①在用直接法求轨迹方程时,在化简的过程中,有
时破坏了方程的同解性,此时就要补上遗漏的点或删除多余的点,这是不能忽视
的;②若方程的化简过程是恒等变形,则最后的验证可以省略 •
【训练1】与y轴相切并与圆C: x2+ y2 — 6x= 0也外切的圆的圆心的轨迹方程为
解析 若动圆在y轴右侧,设与y轴相切,且与圆x2 + y2 — 6x= 0外切的圆的圆心 为P(x,y)(x>0),则半径长为xi,因为圆x2 + y2— 6x= 0的圆心为(3,0),所以 -;(x— 3) 2+ y2= M + 3,则 y2= 12x(x>0),
若动圆在y轴左侧,贝U y= 0,即圆心的轨迹方程为y2= 12x(x>0)或 y = 0(x<0).
答案 y2= 12x(x>0)或 y= 0(x<0)
典例迁移
考点二定义法求轨迹方程
【例2】(经典母题)已知圆M: (x+ 1)2 + y2= 1,圆N: (x— 1)2+ 卄9,动圆P
与圆M外切并且与圆N内切,圆心P的轨迹为曲线C.求C的方程.
解 由已知得圆M的圆心为M(— 1, 0),半径ri= 1;圆N的圆心为N(1, 0),半 径匕=3.设圆P的圆心为P(x, y),半径为R.
因为圆P与圆M外切并且与圆N内切,
所以 |PM|+ |PN|= (R+ ri) + (r2— R) = r 1 + r2 = 4> |MN|= 2.
由椭圆的定义可知,曲线 C是以M , N为左、右焦点,长半轴长为2,短半轴长
x2 y
为.3的椭圆(左顶点除外),其方程为-+1二1&— 2).
【迁移1】 将本例的条件“动圆P与圆M外切并且与圆N内切”改为“动圆P 与圆M、圆N都外切”,则圆心P的轨迹方程为 .
解析 由已知得圆M的圆心为M(— 1, 0),半径1;圆N的圆心为N(1, 0), 半径r2 = 3.设圆P的圆心为P(x, y),半径为R,因为圆P与圆M , N都外切,所 以 |PM|—|PN|= (R+ r1) — (R+ 匕)=3 — — 2,即 |PN|—|PM|= 2, 又 |MN|= 2, 所 以点P的轨迹方程为y = 0(x< — 2).
答案 y= 0(x<— 2)
【迁移2】 在本例中,若动圆P过圆N的圆心,并且与直线x= — 1相切,则圆 心P的轨迹方程为 .
解析 由于点P到定点N(1, 0)和定直线x=— 1的距离相等,所以根据抛物线的 定义可知,点P的轨迹是以N(1, 0)为焦点,以x轴为对称轴、开口向右的抛物 线,故其方程为y2= 4x.
答案 y2= 4x
规律方法定义法求曲线方程的两种策略
(1)运用圆锥曲线的定义求轨迹方程,可从曲线定义出发直接写出方程,或从曲线 定义出发建立关系式,从而求出方程.
(2)定义法和待定系数法适用于已知曲线的轨迹类型, 利用条件把待定系数求出来,使问题得解.
【训练2】(2020豫北名校联盟联考)已知△ ABC中,AB = 2,且sin A(1 — 2cos B)
+ sin B(1 — 2cos A) = 0,以边AB的中垂线为x轴,以AB所在的直线为y轴,建 立平面直角坐标系,则动点 C的轨迹方程为 .
解析 在△ABC 中,由 sin A(1— 2cos B) + sin B(1 — 2cos A) = 0 得 sin A+ sin B = 2sin(A+ B) = 2sin C,由正弦定理得 号RC+ 第匚2^^I(R ABC外接圆半径),
可得|CB|+ |CA|= 2|AB|> |AB|;.点C的轨迹是以A,B为焦点的椭圆(除 y轴上的
点),其中 2a= 4,2c= 2,即卩 a=2,c= 1,二 b2= a2 — c2 = 3,故点 C 的轨迹方程
y2 x
为4 + x
j— 1(xm 0).
答案;
/2 x2
4 + 3 — 1仪工 0)
考点三
相关点(代入)法求轨迹方程
【例3】(1)(2020银川模拟)动点A在圆x2 + y2= 1上移动时,它与定点B(3,0)
连线的中点的轨迹方程是 .
⑵设F(1, 0),M点在x轴上,P点在y轴上,且MN = 2lMP,PM丄PF,当点P
在y轴上运动时,点N的轨迹方程为 .
解析(1)设中点M(x, y),由中点坐标公式,可得 A(2x— 3,2y),因为点A在圆
上,将点A的坐标代入圆的方程,所以轨迹方程为(2x — 3)2 + 4y2= 1.
⑵设 M(X0, 0), P(0, y0), N(x, y), PM 丄PF, PM =(X0,— y。), PF = (1,— y0), 所以(X0,— y0) - (1 — y0) = 0,所以 x°+ y0= 0.由MN = 2MP得(x— X0, y) = 2(— X0,
x — X0 — — 2x0,
y。),所以 即
y—2yo,
X0 —— x, 2
1 所以一x+ 4 — 0,即y2 — 4x.故所求点N的 y0—交,
轨迹方程是y2 — 4x.
答案 (1)(2x— 3)2+ 4y2— 1 (2)/ — 4x
规律方法“相关点法”的基本步骤
⑴设点:设被动点坐标为(x, y),主动点坐标为(xo, yo).
Xo= f (x, y),
(2) 求关系式:求出两个动点坐标之间的关系式
yo= g(x, y).
(3) 代换:将上述关系式代入主动点满足的曲线方程,便可得到所求被动点的轨迹 方程.
【训练3】(2020长沙月考)如图所示,动圆Ci: x2 + y2= t2, 1
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