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1、本科毕业论文 论文题目： 二维抛物方程的九点差分格式的研究 学生姓名： 学号： 200900820130 专业： 信息与计算科学 指导教师： 学 院： 数学科学学院 1 2013 年 5 月 20 日 毕业论文（设计）内容介绍论文（设计）题 目二维抛物方程的九点差分格式的研究选题时间2012.11.25完成时间2013.5.20论文（设计）字数3970关 键 词二维抛物方程，五点差分格式，九点差分格式，数值验证论文（设计）题目的来源、理论和实践意义：题目来源：在大学所学的课程中，我对抛物方程与九点差分格式有过比较详细比较系统的学习，通过与老师交流我觉得这个题目既有理论分析又有上机编程实验，能过
2、体现我们信计专业的教学内容及特色，因此在指导老师的指导下确定了这一题目。 理论：五点差分格式、九点差分格式 实践意义：对于一般的二维抛物方程，原坐标轴逆时针旋转45度后，在此坐标平面建立五点差分格式，将此五点差分格式与经典的五点差分格式进行加权相加，即得抛物方程的九点差分格式。此方法跟更为灵活，画出图像后可形象生动的看出精确解的图像与九点差分格式的图像，可体现出偏微分方程的有关内容在解决问题时的优越性。论文（设计）的主要内容及创新点 主要内容：对于一般的二维抛物方程，原坐标轴逆时针旋转45度后，在此坐标平面建立五点差分格式，将此五点差分格式与经典的五点差分格式进行加权相加，即得抛物方程的九点差
3、分格式。此方法跟更为灵活，且九点差分格式相比五点差分格式误差更小。画出图像后可形象生动的看出精确解的图像与九点差分格式的图像，可体现出偏微分方程的有关内容在解决问题时的优越性。创新点：对于同一个二维抛物方程在同一个坐标平面内求出五点差分格式与九点差分格式，分析误差、稳定性、收敛阶、精度，是本文的创新点。附：论文（设计）本人签名： 年 月 日 目录中文摘要I英文摘要II第一章 引言1第二章 基础知识2第三章 二维抛物方程的九点差分格式及其稳定性分析33.1经典的五点差分格式33.2旋转坐标轴后二维抛物方程的五点差分格式53.3二维抛物方程的九点差分格式63.4九点差分格式的稳定性7第四章 二维抛
4、物方程的九点差分格式的matlab算法实现8第五章 数值实验验证9第六章 总结12参考文献13附录14 二维抛物方程的九点差分格式的研究摘要：对于二维抛物方程，在原坐标平面内建立经典五点差分格式，坐标轴逆时针旋转45度后，再建立五点差分格式，并通过将其与经典的五点差分格式进行加权平均，建立了抛物方程的九点差分格式。 并且，分析了九点差分格式的稳定性。与经典的五点差分格式相比，在一定条件下，此方法误差较小，对稳定性的要求未变。最后，我们给出了数值算例，误差图像，画出图像后可形象生动的看出精确解的图像与九点差分格式的图像，验证了九点差分格式的有效性。关键字： 二维抛物方程;九点差分格式;五点差分格
5、式;数值实验IV Research on two-dimensional parabolic equations nine-point finite difference methodAbstract： For the two-dimensional parabolic equation，we establish its classic five-point finite difference method in the original coordinate plane and then establish a new five-point finite difference method
6、when rotating the original coordinate plane of 45 degrees. Based on the two five-point finite difference method, we formulate a new nine-point finite difference method by a weighed average method. Also, we analyses this finite difference methods stability. Compared with the classic five-point finite
7、 difference method, this new method has the same requirement about stability but smaller error on given circumstances. Finally, a numerical experiment is given and figures for the error are also present. It is more flexible to differ the exact solutions figure and the new methods figure as well as t
8、o prove the new methods effectiveness after the figures are given. Keywords: the two-dimensional parabolic equation, a nine-point finite difference method, a five-point finite difference method, numerical experiment.IV 第一章 引言 差分法是把构件划分为许多单元，通过把连续体离散为互有联系的有限数量单元的数值求解。有限差分法是指用泰勒技术展开式将变量的导数写成变量，在不同时间或空
9、间点值的差分形式的方法。有限差分法的基本思想是：按时间步长和空间步长将时间和空间区域剖分成若干网格，用未知函数在网格节点上的值所构成的差分近似代替所用偏微分方程中出现的各阶导数，从而把表示变量连续变化关系的偏微分方程离散为有限个代数方程，然后解此线性代数方程组，即有限差分方程组，解此方程组就可得到原方程组在离散点上的近似解然后再利用插值法便可以从离散解得到定解问题在整个区域上的近似解。在采用数值计算方法求解偏微分方程时，若将每一处导数由有限差分近似公式代替，从而把求解偏微分方程的问题转化为求解代数方程的问题，即所谓的有限差分法。有限差分法求解偏微分方程的步骤是：1.区域离散化，即把所给求解区域
10、分成有限个格点组成的网格；2.近似代替，即采用有限差分公式替代每一个格点的导数；3.逼近求解，即用一个插值多项式及其微分代替偏微分方程的解。 随着科学技术的发展，工程、数学、计算机的结合表现的愈来愈广泛且愈来愈深刻。九点差分格式是有限差分法中的一部分，可用于解决偏微分方程中的一些问题，譬如，椭圆方程、抛物方程，双曲方程等，且九点差分格式相比于经典的五点差分格式可减小误差。整体思想采用构建问题解决问题计算机编程进一步分析的线路，所得结果可进一步应用于水利科技、工程力学、工程结构、建筑材料等方面。通过计算机编程可进一步分析出差分格式的优劣，以及通过所构造的差分格式得出的实验解与精确解之间的差异，可
11、使结果更加生动形象。第二章 基础知识 步长：将区间分成N 等分，分点为，i=0,1,2,.,N，h=(b-a)/N，于是我们得到区间的一个网格剖分。称为网格节点，h称为步长。 正则内点：xy平面上的一有界区域G，其边界为分段光滑曲线，取定沿x轴和y轴的步长和，做两族与坐标轴平行的直线:两族直线的交点称为网点或节点，记为或（i,j)。说两个节点和是相邻的，如果或。以表示所有属于G内部的节点集合，并称如此的节点为内点，以表示网线或与的交点集合，并称如此的点为界点。若内点的四个相邻点都属于，就称为正则内点，否则称为非正则内点。 Taylor展开式：一般函数f，设它在存在直到n阶的导数，由这些导数构造
12、一个n次多项式，称为函数f在点出的泰勒多项式，一般余项可写为，这里的即为步长h。 第一边值条件：G是xy平面上一有界区域，其边界为分段光滑曲线，在上u满足边值条件：，是连续函数。第三章 二维抛物方程的九点差分格式及其稳定性分析3.1经典的五点差分格式 考虑二维抛物方程： （1.1)其中a是正常数，f(x,y)是给定的连续函数。具有所需次数偏微商的函数满足方程（1.1）（，）和初始条件（1.2），（1.3) 假定在相应区域光滑，并且在与边值相容，是上述问题有唯一充分光滑的解。 现在考虑边值问题（1.1），（1.2）（1.3）的在原坐标轴下的经典五点差分格式。原坐标轴首先，取平面空间步长和时间步长
13、，其中N，M都是正整数。用平行直线， 将区域分割成网格，网格节点为。 其次，用表示定义在网点的函数。现在假定为正则内点。沿着x,y方向分别用二阶中心差商代替和，用一阶中心差商代替，因为在求误差以及格式的推导过程中并未起到实质性的作用，对实验的结果无影响，所以可取特殊情况，令，则可得（1.1）的五点差分格式为=(1)利用泰勒展式令等式两边在点处展开可得：从而可得五点差分格式的截断误差:=。3.2旋转坐标轴后二维抛物方程的五点差分格式 t坐标轴不做变换，将xy坐标轴逆时针方向旋转45度： 因为t坐标轴并未变化，所以可继续用一阶中心差商格式得：，而在新的xy平面内用二阶中心差商可得：（*），其中泰勒展开后：代入（*）可得=从而可得旋转坐标轴后的五点差分格式的截断误差：=3.3二维抛物方程的九点差分格式为 二维抛物方程的九点差分格式为(1/2)*(1)+(1/
