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南京师大附中2014届高三模拟考试
数 学 2014.05
注意事项：
1．本试卷共4页，包括填空题（第1题~第14题）、解答题（第15题~第20题）两部分．本试卷满分为160分，考试时间为120分钟．
2．答题前，请务必将自己的姓名、班级写在答题纸的密封线内．试题的答案写在答题纸上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题纸．
参考公式：锥体的体积公式为V＝Sh，其中S是锥体的底面面积，h是高．
一．填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．
1．设集合A＝{x|－1＜x＜2}，B＝{x|0＜x＜4，x∈N}，则A∩B＝ ▲ ．
2．若复数 (i是虚数单位)为纯虚数，则实数a＝ ▲ ．
3．某时段内共有100辆汽车经过某一雷达测速区域，将测得
的汽车时速绘制成如图所示的频率分布直方图．根据图
形推断，该时段时速超过50km/h的汽车辆数为 ▲ ．
4．如图是一个算法流程图，则输出的S的值是 ▲ ．
5．一只口袋内装有大小相同的5只球，其中3只黑球，2只白球，
从中一次随机摸出2只球，至少有1只黑球的概率是 ▲ ．
6．已知α，β表示两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，
则“α⊥β”是“m⊥β”的 ▲ 条件．（填“充分不必要”、
“必要不充分”、“充要”或“既不充分也不必要”）
7．函数的单调增区间是 ▲ ．
8．设实数x，y，b满足，若z＝2x＋y的最小值为3，
则实数b的值为 ▲ ．
(第4题图)
9．设a，b均为正实数，则的最小值是 ▲ ．
10．设函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间[0，+∞)上单调递增，则满足不等式f(1)＜f(lg(2x))的x的取值范围是 ▲ ．
11．在△ABC中，已知∠BAC＝90°，AB＝6，若D点在斜边BC上，CD＝2DB，则·
的值为 ▲ ．
12．在平面直角坐标系xOy中，点M是椭圆＋＝1（a＞b＞0）上的点，以M为圆心的
圆与x轴相切于椭圆的焦点F，圆M与y轴相交于P，Q两点．若△PQM是钝角三角
形，则该椭圆离心率的取值范围是 ▲ ．
13．对于定义域内的任意实数x，函数f(x)＝的值恒为正数，则实数a的取值范围是 ▲ ．
14．记数列{an}的前n项和为Sn，若不等式a＋≥ma对任意等差数列{an}及任意正整数n
都成立，则实数m的最大值为 ▲ ．
二．解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明．证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分14分）
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且＝．
（1）求角的值；
（2）若角，边上的中线=，求的面积．
16．（本小题满分14分）
在四棱锥P－ABCD中，∠ACD＝90°，∠BAC＝∠CAD，PA⊥平面ABCD，E为PD
(第16题图)图
的中点．
（1）求证：平面PAC⊥平面PCD；
（2）求证：CE∥平面PAB．
17．（本小题满分14分）
某商场为促销要准备一些正三棱锥形状的装饰品，用半径为10cm的圆形包装纸包装．要求如下：正三棱锥的底面中心与包装纸的圆心重合，包装纸不能裁剪，沿底边向上翻折，其边缘恰好达到三棱锥的顶点，如图所示．设正三棱锥的底面边长为xcm，体积为Vcm3．在所有能用这种包装纸包装的正三棱锥装饰品中，V的最大值是多少？并求此时x的值．
(第17题图)图
18．（本小题满分16分）
在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆＋＝1（a＞b＞0）的离心率为，两个顶点分别为A1(－2，0)，A2(2，0)．过点D(1，0)的直线交椭圆于M，N两点，直线A1M与NA2的交点为G．
（1）求实数a，b的值；
（2）当直线MN的斜率为1时，若椭圆上恰有两个点P1，P2使得△P1MN和△P2MN
(第18题图)
的面积为S，求S的取值范围；
（3）求证：点G在一条定直线上．
19．（本小题满分16分）
已知数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，且满足a1＋a2＋a3＝9，b1b2b3＝27.
（1）若a4＝b3，b4－b3＝m.
①当m＝18时，求数列{an}和{bn}的通项公式；
②若数列{bn}是唯一的，求m的值；
（2）若a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3均为正整数，且成等比数列，求数列{an}的公差d的最
大值.
20．（本小题满分16分）
设a是实数，函数f(x)＝ax2＋(a＋1)x－2lnx．
（1）当a＝1时，求函数f(x)的单调区间；
（2）当a＝2时，过原点O作曲线y＝f(x)的切线，求切点的横坐标；
（3）设定义在D上的函数y＝g(x)在点P(x0，y0)处的切线方程为l：y＝h(x)，当x≠x0 时，
若＜0在D内恒成立，则称点P为函数y＝g(x)的“巧点”．当a＝－时，
试问函数y＝f(x)是否存在“巧点”？若存在，请求出“巧点”的横坐标；若不存在，说
明理由．
南京师大附中2014届高三模拟考试
数 学（附加题） 2014.05
21．【选做题】在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每题10分，共计20分.请在答题纸指定区域内作答，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
A．（几何证明选讲选做题）
如图，设、是圆的两条弦，直线是线段
的垂直平分线．已知，求线段的长度．
(第21—A题图)
B．（矩阵与变换选做题）
设矩阵A，矩阵A属于特征值的一个特征向量为，属于特征值
的一个特征向量为，求ad－bc的值．
C．（坐标系与参数方程选做题）
在平面直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系. 设点A，
B分别在曲线C1：（θ为参数）和曲线C2：ρ＝1上，求线段AB的最小值．
D．（不等式选做题）
设a，b，c均为正数， abc＝1．求证：＋＋≥＋＋.
22．【必做题】
在一个盒子中放有大小质量相同的四个小球，标号分别为，，，4，现从这个盒
子中有放回地先后摸出两个小球,它们的标号分别为x，y，记ξ＝|x－y|．
（1）求P(ξ＝1)；
（2）求随机变量ξ的分布列和数学期望．
23．【必做题】
有三种卡片分别写有数字1，10和100．设m为正整数，从上述三种卡片中选取若干张，
使得这些卡片上的数字之和为m．考虑不同的选法种数，例如当m＝11时，有如下两种选法：“一张卡片写有1，另一张卡片写有10”或“11张写有1的卡片”，则选法种数为2．
（1）若m＝100，直接写出选法种数；
（2）设n为正整数，记所选卡片的数字和为100n的选法种数为an．当n≥2时，求数
列{an}的通项公式．
南京师大附中2014届高三模拟考试
数学参考答案及评分标准
说明：
1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．
2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．
4．只给整数分数，填空题不给中间分数．
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分．
1．{1}； 2．2； 3．77； 4．5； 5．； 6．必要不充分；
7．[－,0]； 8．； 9．4； 10．(0，)∪(5，+∞)； 11．24；
12．（0，）； 13．－7＜a≤0或a＝2； 14．．
二、解答题：
15．解析:（1）因为，由正弦定理
得， ………………2分
即=sin(A+C) ． ………………4分
因为B＝π－A－C，所以sinB=sin(A+C)，
所以．
因为B∈(0，π)，所以sinB≠0，
所以，因为，所以． ………………7分
（2）由（1）知，所以，． ………………8分
设，则，又
在△AMC中，由余弦定理
得
即 解得x＝2. ………………12分
故 ………………14分
16．解析: （1）因为PA⊥平面ABCD，CDÌ平面ABCD，所以PA⊥CD， …………………2分
又∠ACD＝90°，则，而PA∩AC＝A，
所以CD⊥平面PAC，因为CDÌ平面ACD， ………………4分
所以，平面PAC⊥平面PCD． ………………7分
（2） 证法一：取AD中点M，连EM，CM，则EM∥PA．
因为EM 平面PAB，PA平面PAB，
所以EM∥平面PAB． ………………9分
在Rt△ACD中，AM=CM，所以∠CAD=∠ACM，
又∠BAC＝∠CAD，所以∠BAC＝∠ACM，
则MC∥AB．
因为MC 平面PAB，AB平面PAB，
所以MC∥平面PAB．
………………12分
而EM∩MC＝M，所以平面EMC∥平面PAB．
由于EC平面EMC，从而EC∥平面PAB．
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