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1、 数 学 E单元不等式 E1不等式的概念与性质8B6，B7，B8，E120xx全国卷 若ab0，0c1，则()Alogaclogbc BlogcalogcbCaccb8B解析 当0cb0，所以logcaab0时，有logaclogbc，所以A错误；利用yxc在第一象限内是增函数即可得到acbc，所以C错误；利用ycx在R上为减函数可得ca0，yR，则“xy”是“x|y|”的()A充要条件B充分而不必要条件C必要而不充分条件D既不充分也不必要条件5C解析 由x|y|可得xy|y|可得xy，必要性成立；当x1，y3时，xy成立，x|y|不成立，即充分性不成立1E220xx上海卷 设xR，则不等式|
2、x3|1的解集为_1(2，4)解析 由题意得1x31，解得2x4，故不等式的解集为(2，4)E3一元二次不等式的解法 12B12，C6，E320xx全国卷 若函数f(x)xsin 2xasin x在(，)单调递增，则a的取值范围是()A1，1 B1，C， D1，12C解析 方法一：对函数f(x)求导得f(x)1cos 2xacos xcos2xacos x，因为函数f(x)在R上单调递增，所以f(x)0，即cos2xacos x0恒成立设tcos x1，1，则g(t)4t23at50在1，1上恒成立，所以有解得a.方法二：取a1，则f(x)xsin 2xsin x，f(x)1cos 2xcos
3、 x，但f(0)110，不满足f(x)在(，)单调递增，排除A，B，D，故选C.E4 简单的一元高次不等式的解法E5简单的线性规划问题4E520xx山东卷 若变量x，y满足则x2y2的最大值是()A4 B9C10 D124C解析 可行域如图所示，设zx2y2，联立得由图可知，当圆x2y2z过点(3，1)时z取得最大值，即(x2y2)max32(1)210.4E520xx浙江卷 若平面区域夹在两条斜率为1的平行直线之间，则这两条平行直线间的距离的最小值是()A. B.C. D.4B解析 由题意得，可行域如图中阴影部分所示，其中A(1，2)，B(2，1)，C(3，3)，斜率为1的两平行直线与AB垂
4、直，故这两条平行直线间的距离的最小值是|AB|.7E520xx北京卷 已知A(2，5)，B(4，1)若点P(x，y)在线段AB上，则2xy的最大值为()A1 B3C7 D87C解析 设z2xy，则y2xz.易知当y2xz的图像过点B时，z取得最大值，即最大值为7.7E520xx上海卷 若x，y满足则x2y的最大值为_72解析 由不等式组画出可行域，如图中阴影部分所示，令zx2y，当直线yxz经过点P(0，1)时，z取得最大值，且最大值为2.16E520xx全国卷 某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料生产一件产品A需要甲材料1.5 kg，乙材料1 kg，用5个工时；生产一件产品B
5、需要甲材料0.5 kg，乙材料0.3 kg，用3个工时生产一件产品A的利润为2100元，生产一件产品B的利润为900元该企业现有甲材料150 kg，乙材料90 kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为_元16216 000解析 设生产产品A、产品B分别为x件、y件，利润之和为z元，则即目标函数为z2100x900y.作出二元一次不等式组表示的平面区域为图中阴影部分内(包括边界)的整点，即可行域由图可知当直线z2100x900y经过点M时，z取得最大值解方程组得M的坐标为(60，100)，所以当x60，y100时，zmax210060900100216 000
6、.14E520xx全国卷 若x，y满足约束条件则zx2y的最小值为_145解析 由画出可行域(图中阴影部分所示)，则zx2y在B处取得最小值由得B(3，4)，所以zmin385.12E5、H220xx江苏卷 已知实数x，y满足则x2y2的取值范围是_12.，13解析 可行域如图中阴影部分所示，x2y2为可行域中任一点(x，y)到原点(0，0)的距离的平方由图可知，x2y2的最小值为原点到直线AC的距离的平方，即2，最大值为OB2223213.E6基本不等式10B7，E620xx四川卷 设直线l1，l2分别是函数f(x)图像上点P1，P2处的切线，l1与l2垂直相交于点P，且l1，l2分别与y轴
7、相交于点A，B，则PAB的面积的取值范围是()A(0，1) B(0，2)C(0，) D(1，)10A解析 不妨设P1，P2两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，其中0x11x2.由题意可知，f(x)由于l1，l2分别是点P1，P2处的切线，所以l1的斜率为，l2的斜率为.又l1与l2垂直，且0x1x2，所以1，即x1x21，可以写出l1与l2的方程分别为l1：y(xx1)ln x1，l2：y(xx2)ln x2.则点A的坐标为(0，1ln x1)，点B的坐标为(0，1ln x2)，由此可得|AB|2ln x1ln x22ln(x1x2)2.联立解得交点P的横坐标为，故SPAB21，当
8、且仅当x1，即x11时，等号成立而0x11，所以0SPAB0，b0.若关于x，y的方程组无解，则ab的取值范围是_13(2，)解析 将方程组中的第一个方程化为y1ax，代入第二个方程整理得(1ab)x1b，由方程组无解得1ab0且1b0，所以ab1且b1.由基本不等式得ab22，故ab的取值范围是(2，)14C8、E620xx江苏卷 在锐角三角形ABC中，若sin A2sin Bsin C，则tan Atan Btan C的最小值是_148解析 方法一：sin A2sin Bsin C，sin Asin(BC)sin Bcos Ccos Bsin C，sin Bcos Ccos Bsin C2
9、sin Bsin C，两边同除以cos Bcos C，可得tan Btan C2tan Btan C，tan Atan Btan Ctan(BC)tan Btan Ctan Btan C，由三角形为锐角三角形得tan B0，tan C0，tan A0，即tan Btan C10.令tan Btan C1t(t0)，则tan Atan Btan C2t28，当t1，即tan Btan C2时取等号方法二：同方法一可得tan Btan C2tan Btan C，又tan Atan Btan Ctan A(1tan Btan C)tan(BC)tan Atan Atan Atan Btan Ctan
10、 Atan Btan C，所以tan Atan Btan Ctan Atan Btan Ctan A2tan Btan C2tan Atan Btan C8，当且仅当tan A2tan Btan C4时取等号E7 不等式的证明方法E8不等式的综合应用21B11，B12，E820xx四川卷 设函数f(x)ax2aln x，g(x)，其中aR，e2.718为自然对数的底数(1)讨论f(x)的单调性；(2)证明：当x1时，g(x)0；(3)确定a的所有可能取值，使得f(x)g(x)在区间(1，)内恒成立21解：(1)f(x)2ax(x0)当a0时，f(x)0时，由f(x)0，有x.当x（0，）时，f
11、(x)0，f(x)单调递增(2)证明：令s(x)ex1x，则s(x)ex11.当x1时，s(x)0，所以ex1x，从而g(x)0.(3)由(2)知，当x1时，g(x)0.当a0，x1时，f(x)a(x21)ln xg(x)在区间(1，)内恒成立时，必有a0.当0a1.由(1)有f（）0，所以此时f(x)g(x)在区间(1，)内不恒成立当a时，令h(x)f(x)g(x)(x1)当x1时，h(x)2axe1xx0.因此，h(x)在区间(1，)单调递增又因为h(1)0，所以当x1时，h(x)f(x)g(x)0，即f(x)g(x)恒成立综上，a，）. E9 单元综合120xx河北“五个一联盟”质检若对
12、任意正实数x，不等式恒成立，则实数a的最小值为 ()A1 B. C. D.1C解析 由题意得a恒成立，由于(当且仅当x1时取等号)，故的最大值为，所以a，即实数a的最小值为.220xx江西三校联考若关于x，y的不等式组表示的平面区域是等腰直角三角形区域，则其表示的区域面积为()A1或 B.或 C1或 D.或2D解析 作出不等式组表示的平面区域，如图所示，直线kxy10过定点A(0，1)当直线kxy10与y轴垂直时，围成的区域符合条件，区域面积为SABO；当直线kxy10与直线xy0垂直时，围成的区域也符合条件，区域面积为SACO.620xx西安一中模拟某长方体的三视图如图K326，长度为的体对角线在正视图中的投影长度为，在侧视图中的投影长度为，则该长方体的全面积为()A3 2 B6 4C6 D10图K3266B解析 设长方体的长、宽、高分别是x，y，z，则解得所以该长方体的全面积为S2(xyyzzx)2(22)64.
