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1、北京市西城区高三数学第二学期期中抽样测试（理科） 一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 1. 在复平面内，复数 对应的点与原点的距离是（ ）A. B. C. D. 2. 函数的反函数的定义域为（ ）A. B. C. D. 3. 若双曲线的离心率是，则实数的值是（ ）A. B. C. D. 4. 函数的最小正周期是（ ）A. B. C. D. 5. 下列四个正方体图形中，为正方体的两个顶点，分别为其所在棱的中点，能得出 平面的图形的序号是（ ） A. 、 B. 、 C. 、 D. 、 6. 若集合，则“”是“”的（ ）A. 充分但不必要条件 B. 必要但不充分条件 C.
2、 充要条件 D. 既不充分又不必要条件7. 设，函数的导函数是，且是奇函数 . 若曲线的一条切线的斜率是，则切点的横坐标为（ ）A. B. C. D. 8. 设不等式组表示的平面区域是，若中的整点（即横、纵坐标均为整数的点）共有个，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分. 把答案填在题中横线上 .9. 已知是公比为的等比数列，且成等差数列，则_ . 10. 在的展开式中，的系数是，则实数_ .11. 人排成一排照相，要求甲不排在两端，不同的排法共有 种. (用数字作答)12. 已知三点在球心为，半径为3的球面上，且几何体为正
3、四面体，那么两点的球面距离为_；点到平面的距离为_ .13. 已知两点，若抛物线上存在点使为等边三角形，则_ .14. 已知点是的重心，那么_；若，则的最小值是_ . 三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.（本小题满分12分）在中，.（）求角；（）设，求的面积.16. （本小题满分13分）盒内有大小相同的9个球，其中2个红色球，3个白色球，4个黑色球. 规定取出1个红色球得1分，取出1个白色球得0分，取出1个黑色球得分 . 现从盒内任取3个球.（）求取出的3个球颜色互不相同的概率；（）求取出的3个球得分之和恰为1分的概率；（）设为取出的3
4、个球中白色球的个数，求的分布列和数学期望.17.（本小题满分14分）如图，在三棱锥中，平面平面. （）求证：； （）求二面角的大小；（）求异面直线和所成角的大小. 18.（本小题满分13分）已知函数.（）求的最小值；（）若对所有都有，求实数的取值范围.19.（本小题满分14分）已知定点及椭圆，过点的动直线与椭圆相交于两点.（）若线段中点的横坐标是，求直线的方程；（）在轴上是否存在点，使为常数？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.20.（本小题满分14分）数列中， (为常数，) ，且（）求的值；（） 证明：； 猜测数列是否有极限？如果有，写出极限的值（不必证明）； （）比较与的大小，并加
5、以证明. 高三数学（理科）参考答案 一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 1. B 2. A 3. B 4. C 5. B 6. A 7. D 8. C二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分. 9. 或 10. 11. 12. ； 13. 或 14. ；注：两空的题目，第一个空2分，第二个空3分；两解的题目少一解给2分，有错解不给分.三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分. 15.（本小题满分12分）（）解：由， 得， 所以 . 3分因为， . 6分且， 故 . 7分（）解：根据正弦定理得， . 10分所以的面积为 . 12分16. （本小
6、题满分13分）（）解：记 “取出1个红色球，1个白色球，1个黑色球”为事件， 则 . . 3分（）解：记 “取出1个红色球，2个白色球”为事件，“取出2个红色球， 1个黑色球”为事件，则 . . 6分（）解：可能的取值为. . 7分， ， . . 11分的分布列为:0123 . 12分的数学期望. . 13分17.（本小题满分14分）解法一：（）证明： 平面平面，平面平面，且， . . 2分平面 ， .又 . . 4分（）解：作于点，于点，连结. 平面平面， ， 根据三垂线定理得 ，是二面角的平面角. . 6分设， .， ， . 8分即二面角的大小是. . 9分（）解：在底面内分别过作的平行线
7、，交于点，连结.则是异面直线和所成的角或其补角. . 11分， ，.易知底面为矩形，从而，在中， . 13分 异面直线和所成角的大小为. . 14分解法二：作于点， 平面平面，平面.过点作的平行线，交于点.如图，以为原点，直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系 . . 2分. .，. . 4分（）证明： . 又 . . 7分（）解：作于点，连结.平面， 根据三垂线定理得 ，是二面角的平面角. . 8分在中， ， 从而， . 10分即二面角的大小是. . 11分（）解：， 异面直线和所成角的大小为. . 14分18.（本小题满分13分）（）解：的定义域为， . 1分 的导数. . 3分令，解得
8、；令，解得.从而在单调递减，在单调递增. . 5分所以，当时，取得最小值. . 6分（）解：解法一：令，则， . 8分 若，当时，故在上为增函数，所以，时，即. . 10分 若，方程的根为 ，此时，若，则，故在该区间为减函数.所以，时，即，与题设相矛盾. . 12分综上，满足条件的的取值范围是. . 13分解法二：依题意，得在上恒成立，即不等式对于恒成立 . . 8分令， 则. . 10分当时，因为， 故是上的增函数， 所以 的最小值是， . 12分从而的取值范围是. . 13分19.（本小题满分14分）（）解：依题意，直线的斜率存在，设直线的方程为，将代入， 消去整理得 . 2分设 则 . 4分由线段中点的横坐标是， 得，解得，适合. . 5分所以直线的方
