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1、利用均值不等式求最值的方法均值不等式a b当且仅当a= b时等号成立)是一个重要的不ab(a 0， b 0，2等式，利用它可以求解函数最值问题。对于有些题目，可以直接利用公式求解。但是有些题 目必须进行必要的变形才能利用均值不等式求解。下面是一些常用的变形方法。一、配凑1. 凑系数例4.当0 :： X ： 4时，求y = x(8 - 2x)的最大值。解析：由0 ： x ： 4知，8 _ 2x 0，利用均值不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值。注意到2x .(8_2x) =8为定值，故只需将y _ x(8 - 2x)凑上一个系数即可。1 1 2x 8 _
2、2x 2y =x(8-2x)2x(8-2x)()=82 2 2当且仅当2x =8 2x，即x= 2时取等号。所以当x= 2时，y=x(8_2x)的最大值为8。评注：本题无法直接运用均值不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用均值不等式求最大值。2. 凑项例2.已知 5，求函数 的最大值。xf(x)=4x-2 +44x -5解析：由题意知4x_5*0，首先要调整符号，又1 不是定值，故需(4x_2) 4x5对4x -2进行凑项才能得到定值。5x , 5-4x 04(x) =4x -21(5 4x 1)34x 55 4x 0,g(x)恒负的形式，然后运用均值不等式来求最值。、整体代换例4.
3、已知a 0，b 0，a 2b =1，求t 11的最小值。t =十一a b1乘以1，而1用a+ 2b代换。 +ab1 1 ( ) 1 =(丄1-) (a 2b)a bab2ba=1+2abc 2ba=3 -+ abI2ba-3 2ab=3 2、2当且仅当2ba时取等号，由.2bab1a解法1 ：不妨将1_ a-ba 2b =1，得b=a =寸 2 -1=1,2=.2-1 时，1 2二 1 一2的最小值为3 2 2。解法2:将11分子中的a b1用a 2b代换。a 2b a 2b , 2b1 a ba=3凹a评注：本题巧妙运用“的代换，得到而2b与a的积为定值，即b可用均值不等式求得1ta1的最小
4、值。-b三、换元例5.求函数的最大值。2解析：变量代换，令t =%不2，则x =t2 2(t _0)，贝y y -t22t 1当t=0时,y= 0当t 0时,1y 1 2t - t当且仅当2t2时取等号。-时,2_ V2y max 4评注：本题通过换元法使问题得到了简化，而且将问题转化为熟悉的分式型函数的求最值问题，从而为构造积为定值创造有利条件。四、取平方例6.求函数15的最大值y = J2x -1 +52x( ex )2 2解析：注意到zx/与5_2x的和为定值。y2 = ( 2x _15 _2x)2=42 . (2x _1)(5 _2x)-4(2x -1) - (5 -2x) =8又 y 0，所以 0 ： y 乞 2、. 2当且仅当2x -1 = 5 2x，即x3时取等号。y max评注：本题将解析式两边平方构造出“和为定值”，为利用均值不等式创造了条件。，同时还要注意总之，我们利用均值不等式求最值时，一定要注意“一正二定三相等” 一些变形技巧，积极创造条件利用均值不等式。1.若 0 :： x :： 2，求的最大值。2.求函数y1一 x -3的最小值。x(x 3)3.求函数yx28的最小值。x -1(x 1)4.已知x 0,y o，且11 ，求x y的最小值。9x y参考答案：3 2. 5 3. 8 4. 4
