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1、矢量三角形法在三力平衡问题中的应用在静力学中，常常遇到在力系作用下处在平衡的物体其所受诸力变化趋势判断问题这种判断如果用平衡方程作定量分析往往很繁琐，而采用力三角形图解讨论则清晰、直观、全面我们懂得，当物体受三力作用而处在平衡时，必有F=O，表达三力关系的矢量图呈闭合三角形，即三个力矢量(有向线段)依次正好能首尾相接当物体所受三力有所变化而又维系着平衡关系时，这闭合三角形总是存在而仅仅是形状发生变化比较不同形状的力三角形各几何边、角状况，我们对相应的每个力大小、方向的变化及其互相间的制约关系将一目了然因此，作出物体平衡时所受三力矢量也许构成的一簇闭合三角形，是力三角形法的核心操作。 三力平衡的
2、力三角形判断一般有三类状况 一、三力中有一种力拟定，即大小、方向不变，一种力方向拟定。这个力的大小及第三个力的大小、方向变化状况待定例1 如图1所示，用细绳通过定滑轮沿竖直光滑的墙壁匀速向上拉动，例2 则拉力和墙壁对球的支持力的变化状况如何？分析与解 以球为研究对象，在平衡时受重力，绳上的拉力及墙壁对球的支持力，三力关系可由一系列闭合的矢量三角形来描述。其中重图2力为拟定力，墙壁对球的支持力为方向拟定力， 如图2，取点作表达重力的有向线段，从该箭头的端点作支持力的作用线所在射线,作从射线任意点指向点且将图形封闭成三角形的一系列有向线段它们就是绳子拉力矢量。用曲线箭头表达变化趋势，从图中容易分析
3、绳子拉力不断增大，墙壁对球的支持力也不断增大，因上升的过程中图中角度在不断增大 例2 如图3装置，AB为一轻杆在B处用铰链固定于竖墙壁上，AC为不可伸长的轻质拉索，重物可在AB杆上滑行。试分析当重物W从A端向B端滑行的过程中，绳索中拉力的变化状况以及墙对AB杆作用力的变化状况。分析与解 以AB杆为研究对象，用力矩平衡的知识可较为以便明确AC拉索中的拉力变化状况，但不易拟定墙对AB杆作用力的状况。我们考虑到AB杆受三个力作用且处在平衡状态，则它们的作用线必相交于一点，这样三力关系可由闭合的矢量三角形来描述。其中重物对杆的拉力为拟定力，拉索对杆的拉力为方向拟定力，与上题类似。如图4，取O点作表达重
4、物对AB杆拉力的有向线段，过O点作绳索拉力的作用线所在射线，从箭头端点作指向射线上任意点的有向线段，则就是墙对AB杆的作用力.用曲箭头表白变化趋势。从图中可以看出：随着重物从A端向B端移动的过程中，、的夹角逐渐减小，因此绳索的拉力不断减小，墙对AB杆的作用力先减小后增大。 综上所述，类型一问题的作图措施是：以拟定力矢量为力三角形系的基准边，在它的箭头端沿已知方向力的方向作射线，从射线上的点作指向拟定力矢量箭尾的有向线段，（或在它的箭尾端沿已知方向力的方向作射线，从拟定力矢量箭头作指向射线上的点的有向线段），勾画出一簇闭合的矢量三角形，用曲箭头标明动态趋势由此可判断各个力的大小和方向的变化趋势
5、二、三力中有一种力拟定即大小、方向不变，一种力大小拟定，这个力的方向及第三个力的大小、方向变化状况待定例3 如图5所示，在“验证力的平行四边形定则实验中，用两只弹簧秤A、B把像皮条上的结点拉到某一位置0，这时两绳套AO、B0的夹角AOB90现保持弹簧秤A的示数不变而变化其拉力方向使a角减小，那么要使结点仍在位置O处不动，就应调节弹簧秤B的拉力大小及角，则下列调节措施中可行的是( ) A增大弹簧秤B的拉力、增大角 B增大弹簧秤B的拉力、角不变 C增大弹簧秤B的拉力、减小角 D弹簧秤B的拉力大小不变、增大角 分析与解 本题中我们考察结点O，使之处在平衡的三个力中，一种力(橡皮条上的拉力F)大小方向
6、均拟定，一种力(弹簧秤A的拉力Fa)大小拟定，需判断第三个力(弹簧秤B的拉力Fb)的变化状况 如图6所示，取O点为起始点，先作力F的有向线段，以其箭头端点为圆心，表达大小不变力Fa的线段长为半径作一圆，该圆的每条矢径均为力Fa矢量，从该圆周上各点指向0点的各有向线段便是弹簧秤B的拉力Fb矢量这样我们勾画出表达也许的三力关系的三角形集合图 如图6所示，若初始状态三力关系如0OA，在a角减小的前提下，线段变长，即Fb增大，而角减小（刚开始，Fa、Fb二力互相垂直），故对的答案为选C 例4 如图7所示，质量为m的小球，用一细线悬挂在点0处现用一大小恒定的外力F(Fmg)慢慢将小球拉起，在小球也许的平
7、衡位置中，细线与竖直方向的最大的偏角是多少? 分析与解 本题中研究对象小球可在一系列不同位置处在静止，静止时小球所受重力、细线上拉力及大小恒定的外力的合力总是为零三力关系由一系列闭合的矢量三角形来描述，这些三角形中表达重力的矢量边是公共边，有一条矢量边长度相似目前来作出这样的三角形簇： 如图8所示，取点0为起始点，作拟定不变的重力矢量，以其箭头端点为圆心，表达外力F大小的线段长为半径作一圆，该圆上各条矢径均可为已知大小的力矢量，该圆周上各点指向0点并封闭形成三角形的有向线段便是第三个力即细线拉力矢量这样我们得到了全面反映小球在也许的平衡位置时力三角形集, 由图可知，表达线拉力矢量与重力矢量的线
8、段与线段间的夹角最大为=arcsin(线段作为圆的切线时)，细线拉力总沿着线，故小球也许的平衡位置中，细线与竖直方向的偏角最大为arcsin一般类型二问题的一般作图措施是：以拟定力矢量为力三角形系的基准边，在它的箭头端以已知方向力为矢径作圆，从圆周上的点作指向拟定力矢量箭尾的有向线段，画出一簇闭合的矢量三角形由此可判断未知力的大小和方向的变化趋势 三、三力中有一种力大小方向拟定，另二力方向变化有根据。判断二力大小变化状况例5 如图9所示,固定在水平面上的光滑半球，球心0的正上方固定一种小定滑轮，细线一端拴一小球置于半球面上的A点，另一端绕过定滑轮，如图所示，现缓慢拉绳，使球沿半球面上升，小球对
9、半球的压力Fn的大小，细线对小球拉力F的大小随绳的拉动而变化的状况如何？分折与解 小球在任意位置处在三力平衡状态，其中小球的重力为拟定力，其他两力大小不定方向变化，但两力的方向变化有根据：绳的拉力总沿绳收缩的方向，半球对小球的支持力总沿着半径的方向。我们如图作力的矢量三角形图：以O为起始端点，连接OO，以此有向线段表达拟定力小球的重力连接O与小球所在位置A点，则此有向线段表达球面对小球的支持力，最后连接AO两点，则此有向线段表达绳子的拉力。当小球往上运动时，动态变化趋势如图10所示 可以清晰地看出有向线段的长度始终等于球的半径长度，阐明球面对小球的支持力大小应不变，而绳子的拉力在不断减小.例6
10、 如图11所示，将一带电小球A用绝缘棒固定于水平地面上的某处在它的正上方l处有一悬点O。通过长度也为l的绝缘细线悬吊一种与A球带同性电荷的小球B。于是悬线与竖直方向成某一夹角，现设法增大A球电量，则悬线0B对B球的拉力F的大小将如何变化？（两球可看作质点） 分折与解 小球B受三个力作用而平衡，重力，库仑力及细绳对球B的拉力，其中重力为拟定力，另两个力的大小不定，方向变化，但我们懂得绳的拉力总沿着绳指向绳收缩的方向，库仑力总沿着两质点的连线。因此可归为类型三我们可如图12作力的矢量三角形图：以O为起始端点，连接OA，以此有向线段表达拟定力小球B的重力，以A小球为起点，连接A与小球B，则此有向线段
11、表达小球B受到的库仑力，最后连接BO两点，则此有向线段表达绳子的拉力。容易判断当小球A电量增长时， 小球B被库仑力排斥而往上运动，动态变化趋势如图一簇闭合的矢量三角形所示 可以清晰地看出有向线段的长度始终等于绳长，由于绳长不变，由此可知绳子的拉力大小不变，有向线段长度在不断增长，阐明库仑力在不断增大 综上所述，类型三问题的作图措施是：以拟定力矢量为力三角形系的基准边，将另二力按实际位置方向根据来拟定，力矢量依次首尾相接，勾画出闭合的矢量三角形，通过力三角形与物体在空间移动的约束条件比照，由此来判断各个力的大小和方向的变化趋势。 事实上， 当物体受三力作用而处在平衡时，三力合力为零，表达三力关系
12、的矢量图呈闭合三角形，即三个力矢量(有向线段)依次正好能首尾相接,其本质即为学生在数学中所学的向量相加运算，因此向学生讲授三力关系的矢量图并不增长教学的难度和学生的承当。另一资料：在静力学中，若物体受到三个共点力的作用而平衡，则这三个力矢量构成一封闭三角形，在讨论极值问题时，这一点尤为有用例4 一球重G，置于斜面和挡板间，已知斜面倾角为，挡板与斜面的夹角为，不计一切摩擦，求斜面对球的作用力N1和挡板对球的作用力N2若不变而可以变化，问为什么值时，N2最小？解析 如图7，球受三力作用：重力G、弹力N1与N2，它们应构成一封闭三角形（如图8），从几何关系可得从N2的体现式可知，当 =90时，N2取
13、极小值例5 （选择题）如图9所示，绳OA、OB等长，A点固定不动，在手持B点沿圆弧向C点运动的过程中，绳OB中的张力将 A由大变小； B由小变大；C先变小后变大； D先变大后变小解析 设在某一位置，绳端在B点（如图10），此时O点受三力作用而平衡：TA、TB、T，此三力构成一封闭三角形（如图11），随着B端的移动，绳B的张力TB的方向、大小不断变化（图中TB、TB、TB、），但T的大小、方向始终不变，TA大小变而方向不变，封闭三角形关系始终成立很容易看出：当TB与TA垂直时，即=90时，TB取最小值，因此，答案应选C动态平衡中的三力问题在有关物体平衡的问题中，有一类波及动态平衡。此类问题中的一
14、部分力是变力，是动态力，力的大小和方向均要发生变化，故这是力平衡问题中的一类难题。解决此类问题的一般思路是：把“动”化为“静”，“静”中求“动”。根据现行高考规定，物体受到往往是三个共点力问题，运用三力平衡特点讨论动态平衡问题是力学中一种重点和难点，许多同窗因不能掌握其规律往往无从下手，许多参照书的讨论常忽视几中状况，笔者整顿后简介如下。措施一：三角形图解法。特点：三角形图象法则合用于物体所受的三个力中，有一力的大小、方向均不变（一般为重力，也也许是其他力），另一种力的方向不变，大小变化，第三个力则大小、方向均发生变化的问题。措施：先对的分析物体所受的三个力，将三个力的矢量首尾相连构成闭合三角
15、形。然后将方向不变的力的矢量延长，根据物体所受三个力中二个力变化而又维持平衡关系时，这个闭合三角形总是存在，只但是形状发生变化而已，比较这些不同形状的矢量三角形，各力的大小及变化就一目了然了。F1GF2图1-3例1.1 如图1所示，一种重力G的匀质球放在光滑斜面上，斜面倾角为，在斜面上有一光滑的不计厚度的木板挡住球，使之处在静止状态。今使板与斜面的夹角缓慢增大，问：在此过程中，挡板和斜面对球的压力大小如何变化？图1-2GF1F2图1-1解析：取球为研究对象，如图1-2所示，球受重力G、斜面支持力F1、挡板支持力F2。由于球始终处在平衡状态，故三个力的合力始终为零，将三个力矢量构成封闭的三角形。F1的方向不变，但方向不变，始终与斜面垂直。F2的大小、方向均变化，随着挡板
