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1、例说数轴上的动点问题例说数轴上的动点问题 数轴上的动点问题,往往使学生感到棘手。实际上,如果将动点问题“代数化,“三招”就可轻松解决常见的问题。 第一招:平移规律 若数轴上点表示的数是,则当点向左平移个单位长度时表示的数为;当点向右平移个单位长度时表示的数为。简记为:左减右加. 第二招:距离公式 若数轴上两点表示的数分别是,则两点的距离.如果已知两点的位置关系,比如点在点的左边,则。 第三招:中点公式 若数轴上两点表示的数分别是,则线段的中点表示的数是。 解决此类问题的关键是确定动点表示的数,以及动点的运动方向。以下分为三类问题进行解析: 一、方向不变 例1 如图1,数轴上点表示的数是30,两
2、点分别从两点同时出发,分别以3单位/秒和2单位/秒的速度向右运动,运动时间为秒, 为线段上一点,且,为的中点。 (1)若,求的值; (2)当的值变化时, 的值是否发生变化?为什么? 解析 (1)由第一招,点表示的数为,点表示的数是;由第二招,., ,或, ,或. (2)的值不变,理由如下:如图2,当点在点左侧时,。, 点表示的数为. 如图3,当点在点右侧时,., 点表示的数为. 综上所述,点表示的数是. 是的中点,所以由第三招点表示的数是 , 。 例2 已知数轴上两点对应的数为1 ,3,点为数轴上一动点,其对应的数为. (1)数轴上是否存在点,使?若存在,请求出的值;若不存在,请说明理由。 (
3、2)当点以每分钟1个单位长度的速度从点向右运动时,点以每分钟5个单位长度的速度向左运动,点以每分钟20个单位长度的速度向右运动。在运动的过程中,分别是的中点, 的值是否改变,为什么? 解析 (1)存在.理由如下: 如图4,当时,. 依题意得, 解得; 如图5,当时, ; 如图6,当时, . 依题意,得, 解得。 综上所述,的值为1. 5或3. 5. (2)不变.理由如下:设运动时间是分钟,则点对应的数是,点对应的数是,点对应的数是。所以, , . 又因为分别是的中点,所以点对应的数是 ; 点对应的数是. , 二、方向不定 例3 如图7点在数轴上表示的数是6,2和24。若数轴上有三个动点,分别从
4、点开始同时出发,在数轴上运动,速度分别为每秒1个单位长度、7个单位长度、3个单位长度.其中点向左运动,点先向左运动,遇到点后回头再向右运动,遇到点后回头向左运动这样,直到点遇到点时三点都停止运动,求点所走的路程。 解析 点运动时间为点与点相遇所用的时间。设运动时间是秒,则动点表示的数是.点的运动方向不确定,可以向右,也可以向左. 当向右运动时,点表示的数是,点遇到点时,它们表示的数相同, ,解得, 点所走的路程为. 当向左运动时,点表示的数是,点遇到点时,解得,点所走的路程为。 三、方向改变 例4如图8,数轴上点对应的数分别为4,3和1. (1)点沿数轴同时出发向右匀速运动,点速度为2个单位长
5、度/秒,点速度为1个单位长度/秒.若运动时间为秒,运动过程中,当两点到原点的距离相等时,求的值。 (2)在(1)的条件下,若点运动到点处后立即以原速返回,到达自己的出发点后停止运动,点运动至点处后又以原速返回,到达自己的出发点后又折返向点运动.如此反复,当点停止运动时,点随之停止运动,求在此运动过程中,两点同时到达的点在数轴上表示的数. 解析 (1)点表示的数是,点表示的数是, 当两点到原点的距离相等时,有 , ,或, 或. (2)动点运动方向改变的时间临界点是2。 5秒,5秒和7. 5秒,动点运动方向改变的时间临界点是4秒和8秒,因此可以将运动时间划分为如下5段(如图9): 当时,点表示的数
6、是,点表示的数是,依题意得,解得,此时两点同时到达的点在数轴上表示的数为3+1=2. 当时,如图10,点到达点后返回运动了个单位长度,点表示的数为点表示的数仍为,依题意得,解得=3,此时两点同时到达的点在数轴上表示的数为3 +3=0。 当时,点仍在从返回出发点的途中,所以点表示的数仍为,如图11,点在到达点后返回运动了个单位长度,点表示的数是,依题意得,解得,不合题意,舍去。 当时,如图12,点到达原出发点后又向点运动了个单位长度,点表示的数是,点仍在从返回原出发点的途中,其表示的数仍为,依题意得,解得,此时两点同时到达的点在数轴上表示的数为; 当时,如图13,点经历了从,此时正从点返回原出发点的途中,返回运动了个单位长度, 点表示的数为,点表示的数仍为,依题意得,解得,不合题意,舍去。 综上所述,两点同时到达的点在数轴上表示的数为2,0或.