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1、例说数轴上的动点问题例说数轴上的动点问题 数轴上的动点问题，往往使学生感到棘手。实际上,如果将动点问题“代数化，“三招”就可轻松解决常见的问题。 第一招：平移规律 若数轴上点表示的数是,则当点向左平移个单位长度时表示的数为;当点向右平移个单位长度时表示的数为。简记为：左减右加. 第二招:距离公式 若数轴上两点表示的数分别是，则两点的距离.如果已知两点的位置关系,比如点在点的左边，则。 第三招:中点公式 若数轴上两点表示的数分别是，则线段的中点表示的数是。 解决此类问题的关键是确定动点表示的数，以及动点的运动方向。以下分为三类问题进行解析： 一、方向不变 例1 如图1,数轴上点表示的数是30,两
2、点分别从两点同时出发，分别以3单位/秒和2单位/秒的速度向右运动，运动时间为秒, 为线段上一点,且,为的中点。 (1）若，求的值； (2)当的值变化时， 的值是否发生变化?为什么？ 解析 (1）由第一招，点表示的数为，点表示的数是；由第二招，.， ，或， ，或. （2）的值不变,理由如下:如图2，当点在点左侧时，。, 点表示的数为. 如图3，当点在点右侧时,.， 点表示的数为. 综上所述，点表示的数是. 是的中点，所以由第三招点表示的数是 ， 。 例2 已知数轴上两点对应的数为1 ，3,点为数轴上一动点，其对应的数为. (1）数轴上是否存在点，使？若存在，请求出的值;若不存在，请说明理由。 (
3、2）当点以每分钟1个单位长度的速度从点向右运动时，点以每分钟5个单位长度的速度向左运动，点以每分钟20个单位长度的速度向右运动。在运动的过程中,分别是的中点， 的值是否改变，为什么？ 解析 （1)存在.理由如下: 如图4，当时，. 依题意得， 解得； 如图5，当时, ； 如图6，当时， . 依题意，得， 解得。 综上所述，的值为1. 5或3. 5. (2)不变.理由如下:设运动时间是分钟，则点对应的数是，点对应的数是，点对应的数是。所以， ， . 又因为分别是的中点，所以点对应的数是 ； 点对应的数是. ， 二、方向不定 例3 如图7点在数轴上表示的数是6，2和24。若数轴上有三个动点，分别从
4、点开始同时出发，在数轴上运动，速度分别为每秒1个单位长度、7个单位长度、3个单位长度.其中点向左运动,点先向左运动，遇到点后回头再向右运动，遇到点后回头向左运动这样，直到点遇到点时三点都停止运动,求点所走的路程。 解析 点运动时间为点与点相遇所用的时间。设运动时间是秒，则动点表示的数是.点的运动方向不确定，可以向右，也可以向左. 当向右运动时，点表示的数是，点遇到点时，它们表示的数相同， ,解得， 点所走的路程为. 当向左运动时，点表示的数是，点遇到点时，解得,点所走的路程为。 三、方向改变 例4如图8，数轴上点对应的数分别为4，3和1. （1)点沿数轴同时出发向右匀速运动，点速度为2个单位长
5、度/秒，点速度为1个单位长度/秒.若运动时间为秒，运动过程中，当两点到原点的距离相等时，求的值。 (2)在（1)的条件下，若点运动到点处后立即以原速返回，到达自己的出发点后停止运动，点运动至点处后又以原速返回,到达自己的出发点后又折返向点运动.如此反复,当点停止运动时,点随之停止运动，求在此运动过程中，两点同时到达的点在数轴上表示的数. 解析 (1）点表示的数是，点表示的数是， 当两点到原点的距离相等时,有 ， ，或， 或. （2)动点运动方向改变的时间临界点是2。 5秒,5秒和7. 5秒，动点运动方向改变的时间临界点是4秒和8秒，因此可以将运动时间划分为如下5段（如图9)： 当时，点表示的数
6、是,点表示的数是，依题意得，解得，此时两点同时到达的点在数轴上表示的数为3+1=2. 当时,如图10，点到达点后返回运动了个单位长度，点表示的数为点表示的数仍为，依题意得，解得=3，此时两点同时到达的点在数轴上表示的数为3 +3=0。 当时,点仍在从返回出发点的途中，所以点表示的数仍为，如图11，点在到达点后返回运动了个单位长度，点表示的数是，依题意得,解得，不合题意，舍去。 当时，如图12,点到达原出发点后又向点运动了个单位长度，点表示的数是，点仍在从返回原出发点的途中,其表示的数仍为,依题意得,解得，此时两点同时到达的点在数轴上表示的数为; 当时，如图13，点经历了从,此时正从点返回原出发点的途中，返回运动了个单位长度， 点表示的数为，点表示的数仍为，依题意得，解得，不合题意，舍去。 综上所述，两点同时到达的点在数轴上表示的数为2，0或.
