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1、相似三角形的判定一、知识点讲解判定定理1如果一个三角形的两个角与另外一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相 似。判定定理2:两边对应相等且夹角对应相等的两个三角形相似。判定定理3:三边对应成比例的两个三角形相似。理解：（1）当给出的条件上角为主时，应考虑“两角对应相等”；当给出的条件有边有角时，应 考虑“两边对应成比例，夹角相等”；当给出的条件全是边时应考虑“三边对应成比例”。（2）在利用判定定理2时，一是两边的夹角相等，如果不是夹角则不成立。二、典例分析（一）运用判定定理判定三角形相似例1在矩形ABCD中，E为BC上一点，DF丄AE于点F。（1）求证： ABE DFA ; （2）若
2、AB=6，AD=12,AE=10,求 DF 的长。变式练习：1、 如图，DE/ BC, EF/ AB则图中相似的三角形一共有（）A、1对 B、2对 C、3对 D、4对. J2、 具备下列各组条件的两个三角形中，不一定相似的是（）A、有一个角是40两个等腰三角形B、两个等腰直角三角形C、有一个角为100的两个等腰三角形D、两个等边三角形- 1例 2 已知：如图，在四边形 ABCD中，/ B=Z ACD AB=6,BC=4,AC=5,CD=7，求 AD的长。2变式练习：1、 如图，在 ABC中，点D、E分别在 AB AC上，下列条件中不能判定厶 AB3A AED的是（）AD ACAD AEA、/
3、AED=/ BB 、/ ADEN C C 、D 、 AE ABAB AC2、已知，P是正方形 ABCD勺边BC上的点，且 BP=3PC M是CD的中点，求证： ADMMCPI r-_ _:（第2题）例3如图，小正方形的边长为1,贝U下列选项中的三角形（阴影部分）与厶 ABC相似的是（）变式练习：1、在厶ABC 和厶A/ Bz C 中，AB=3cm, BC=6cm, CA=5cm, A/ B/ =3cm, B/ C =2.5cm,A/ C =1.5cm,贝U下列说法中，错误的是()A、 ABC与厶A/ B / C 相似B、AB与A B/是对应边C、相似比为2: 1 D、AB与Az CC是对应边2
4、、网格图中每个方格都是边长为1的小正方形，若A、B、C、D、E、F都是格点，试证明：ABC DEF。（二）判定定理的运用例4如图，在矩形ABCD中，E为AD的中点，连接EC,过点 与CE满足什么条件时， AEF与厶DCE相似？并说明理由 变式练习：如图，在 ABC中，/ ADE= / C,则下列等式成立的是（ AD AB AC第1题E作直线EF交AB于点F。当EF1、AE ADBC BDDE _ AEBC 一 AB第2题C、D、)DE _ ADBC 一 AB第3题2、女口图，/ ABD= / C, AB=5 , AD=3.5，贝U AC=3、如图，D 是 AC 上一点，BE / AC , BE
5、=AD , FD2=FG FE.反馈练习AE分别交BD、基础夯实BC于点F、G,Z仁/2。求证:1、如图,是（ ）A、1个如图，2、占八、AD丄BC于点D, CE丄AB于点E交AD于点F,则图中与厶AEF相似的三角形的个数B、2个 在 RtAABCE,则CE的长为（C、3个 中，/ ACB=90324个,BC=3, AC=4, AB的垂直平分线DE交BC的延长线于 ,725B、一C、6 6来源于网络,BD平分/ ABC，则下列结论： ABC BCD :）A、/ ABD= / ACB B、/ ADB= / ABCC、AB2=AD ACADABABBCAC2=AD AB，贝U( C ADCCDB5
6、、如图，在 ABC中，D是AB上一点，且A、 ADC ACB B、 BDC BCA&满足下列条件的各对三角形中是相似三角形的是(),AB=5 cm, AC=10cm；Z A C =60 ,A C BC =3cm, A C,AB=4cm, BC=6cm；Z D=45 ,DE=2cm, DF=3cm无相似三角形A、/ A=60 B、/ A=45 CC =10cm3、如图， ABC 中，AB=AC，/ A=36AB : BC=BC : CD; BC2=AC CD;AD : DC=AB : BC,其中正确的结论有（ A、1个 B、2个C、3个 D、4个4、如下图，下列条件不能判定 ADB ABC的是（
7、）CZ C=Z E=30, AB=8cm, BC=4cm； DF=6cm, FE=3cmD、/ A= / A C，且 AB A C CC =AC A C BC7、如图，已知AB丄BD ,ED丄BD ,C是线段BD的中点，且AC丄CE,ED=1,BD=4，那么AB=8、如图，在口 ABCD中，F是BC上的一点，直线 DF与AB的延长线相交于点 E, BP / DF，且与AD相交于点P,请从图中找出一组相似的三角形。第7题第8题第9题第10题第11题9、如图，在边长为9的正三角形ABC中，BD=3，/ ADE=60。，则AE的长为。10、如图，在 ABC中，D是ABA边上一点，连接 CD，要使 A
8、DC与厶ACB相似，应添加的 条件是。(写出一个即可)11、如图，在 ABC中，CD丄AB，垂足为D，下列条件中，能证明厶ABC是直角三角形的有 。AC CD / A+ / B=90; AB2=AC2+BC2 ; ； CD2=AD BD。AB BD12、如图，已知，/ ACB=ZABD=90，BC=6 AC=8 当 BD 时，图中的两个直角三角形相似。13、如图，/ 仁/2，/ B=Z D, AB=DE=5 BC=4(1)求证： ABBA ADE (2)求 AD的长。14、如图， ABC中，CD是边AB上的高,AD CDCD _而(1) 求证： ACDCBD ; (2)求/ ACB 的大小。1
9、5、 如图，矩形 ABCD为台球桌面，AD=260cm, AB=130cm。球目前在点 E的位置，AE=60cm, 如果小丁瞄准BC边上的点F将球打过去，经过反弹后，球刚好弹到点 D的位置。(1)求证： BEFsA CDF;(2)求 CF 的长。16、已知，如图，正方形ABCD的边长为2,AE=EB，MN=1，线段MN的两端在BC、CD上滑动， 在滑动过程中，以M、N、C为顶点的三角形与 AED可能相似吗？若能，求出相似时CM的长。能力提升17、如图，在直角梯形 ABCD 中, AB / CD，/ C=90，/ BDA=90 , AB=a, BD=b, CD=c, BC=d,AD=c，则下列等
10、式成立的是()A、b2=acB、b2=ce C、be=acD、bd=ae第17题第18题第19题18、如图，在钝角三角形 ABC中，AB=6cm, AC=12cm,动点D从点A出发到点B为止，动点E从点C出发到点A止，点D运动的速度为1cm/s，点E运动的速度为2cm/s。如果两点同时运动, 那么当以点A、D、E为顶点的三角形与 ABC相似时，运动的时间是():-I1A、3秒或4.8秒 B、3秒 C、4.5秒D、4.5秒或4.8秒 19、如图，D是等边 ABC边AB上的一点，且 AD : DB=1 : 2,现将 ABC折叠，使点C与D重合，折痕为EF,点E、F分别在AC和BC上，则CE: CF
11、=()1y= 1的图像上，若xC、-2 D、2C、20、如图， AOB是直角三角形，/ AOB=90 ,OB=2OA，点A在反比例函数 11I k点B在反比例函数y=的图像上，贝U k的值为() A、-4B、4x第20题第21题第22题21、如图，在平面直角坐标系中，有两点 A(4 , 0), B (0, 2),如果点C在x轴上(点C与点A不重合)，当点C的坐标为时，使得以点B、0、C为顶点的三角形 与厶AOB相似。22、已知，如图， ABCD的对角线相交于点 O,点E在边BC上延长线上，且OE=OB,连接DE3)。动点M、N同时从点B出发，分别沿；羔烹U - |1运动，速度是1cmso过点M作直线垂直于AB，分别交AN、CD于点P、Q,当点N到达终点C 时，点M也随之停止运动，设运动时间为t秒。(1) 若 a=4cm, t=1s,则 PM=cm；(2) 连接PD、PB,若a=5cm,求运动时间t,命名 PNBs PAD，并求出它们的相似比；(3) 若在运动过程中，存在某时刻使梯形 PMBN与梯形PQDA的面积相等，求a的取值范围。参考答案反馈练习基础夯实1、C2、B3、D4、 D5、 A6、D7、48、A DCFs EBF9、710、ADAC11、12、15十或40ACAB2313、(1)略(2)25414、( 1)略(2)9015、(1)略(2)16916、或
