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1、章末综合测评(三)圆锥曲线与方程(满分：150分时间：120分钟) 一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1椭圆1的离心率是()ABCDB根据题意知，a3，b2，则c，椭圆的离心率e2已知抛物线y22px(p0)的准线经过点(1，1)，则抛物线的焦点的坐标为()A(1，0)B(1，0)C(0，1)D(0，1)By22px的准线方程为x，由条件知1p2，即方程为y24x，其焦点坐标为(1，0)3若双曲线y21的一条渐近线方程为y3x，则正实数a的值为()A9B3CDD双曲线y21的渐近线为yx由条件知3，解得a4已知双曲线C：1(a0，
2、b0)的离心率为，则点(4，0)到C的渐近线的距离为()AB2CD2D法一：由离心率e，得ca，又b2c2a2，得ba，所以双曲线C的渐近线方程为yx由点到直线的距离公式，得点(4，0)到C的渐近线的距离为2故选D法二：离心率e的双曲线是等轴双曲线，其渐近线方程是yx，由点到直线的距离公式得点(4，0)到C的渐近线的距离为2故选D5与椭圆9x24y236有相同焦点，且短轴长为2的椭圆的标准方程为 ()A1Bx21Cy21D1B椭圆9x24y236可化为1，可知焦点在y轴上，焦点坐标为(0，)，故可设所求椭圆方程为1(ab0)，则c又2b2，即b1，所以a2b2c26，则所求椭圆的标准方程为x2
3、16设P是双曲线1(a0)上一点，双曲线的一条渐近线方程为3x2y0，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，若|PF1|3，则|PF2|()A1或5B6C7D8C双曲线1的一条渐近线方程为3x2y0，故a2又P是双曲线上一点，故|PF1|PF2|4，而|PF1|3，则|PF2|77已知双曲线1(b0)，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A，B，C，D四点，四边形ABCD的面积为2b，则双曲线的方程为()A1B1C1D1D根据对称性，不妨设A在第一象限，A(x，y)，xyb212，故双曲线的方程为1，故选D8我们把离心率为黄金分割系数的椭圆称为“黄金椭圆”如图，“
4、黄金椭圆”C的中心在坐标原点，F为左焦点，A，B分别为长轴和短轴上的顶点，则ABF()A90B60C45D30A设椭圆的方程为1(ab0)由已知，得A(a，0)，B(0，b)，F(c，0)，则(c，b)，(a，b)离心率e，ca，ba，b2ac0，ABF90二、选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)9对于双曲线C1：y21与双曲线C2：y21的下列说法中，正确的是()A它们的实轴长和虚轴长相同B它们的焦距相同C它们的渐近线相同D若它们的离心率分别为e1，e2，那么1BCDA中，C1的实轴长、虚轴长分
5、别为4和2，而C2的实轴长和虚轴长分别为2和4，故A错误；B中，C1，C2的焦距均为2c22，故B正确；C中，C1，C2的渐近线方程均为yx，故C正确D中，C1的离心率e1，C2的离心率e2，这里1故D正确，故应选BCD10给定下列四条曲线中，与直线xy0仅有一个公共点的曲线是()Ax2y2B1C1Dy24xACDA中，圆心到直线距离dr故直线与圆相切，仅有一个公共点，A正确；B中，由得13x218x90，0，直线与椭圆相交，有两个交点，B错误；C中，由于直线平行于双曲线的渐近线，故只有一个交点，C正确；D中，由得x22x50，这里0故直线与抛物线相切D正确，故应选ACD11若ab0，则axy
6、b0和bx2ay2ab所表示的曲线不可能的是下图中的()ABCDABD方程化为yaxb和1从B，D中的两椭圆看a，b(0，)，但B中直线有a0，b0矛盾，所以B不可能；D中直线有a0，b0矛盾，也不可能；再看A中双曲线的a0，b0，但直线有a0，b0，也矛盾，所以A也不可能；C中双曲线的a0，b0和直线中a，b一致所以C是可能的，故应选ABD12已知点M(1，0)，A，B是椭圆y21上的动点，当取下列哪些值时，可以使0()A3B6C9D12ABC设A(x0，y0)，且0因为()22(x01)2y，将A点坐标代入椭圆，得y1，所以y1，代入上式可得(x01)212x02(2x02)所以()min
7、，()max9对照选项，可以取ABC三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在题中的横线上)13抛物线y28x的焦点到双曲线1的渐近线的距离为_由抛物线y28x可得其焦点为(2，0)，又双曲线1的渐近线方程为xy0，所求距离为d14与双曲线1有公共焦点，且过点(3，2)的双曲线的标准方程为_1法一：设双曲线的标准方程为1(a0，b0)又点(3，2)在双曲线上，故1又a2b216420，得a212，b28，则双曲线的标准方程为1法二：设双曲线的标准方程为1(4kb0)的离心率为，双曲线x2y21的渐近线与椭圆C有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，求椭圆C的标准方程解
8、因为椭圆的离心率为，所以e，c2a2a2b2，所以b2a2，即a24b2双曲线的渐近线方程为yx，代入椭圆方程得1，即1，所以x2b2，xb所以yb，则在第一象限，双曲线的渐近线与椭圆C的交点坐标为，所以四边形的面积为4bbb216，所以b25，所以椭圆C的方程为118(本小题满分12分)已知抛物线的顶点在原点，它的准线过双曲线1(a0，b0)的一个焦点，并且这条准线与双曲线的两焦点的连线垂直，抛物线与双曲线交于点P，求抛物线的方程和双曲线的方程解依题意，设抛物线的方程为y22px(p0)，点P在抛物线上，62pp2，所求抛物线的方程为y24x双曲线的左焦点在抛物线的准线x1上，c1，即a2b
9、21，又点P在双曲线上，1，解方程组得或(舍去)所求双曲线的方程为4x2y2119(本小题满分12分)已知F1，F2分别为椭圆1(0b10)的左、右焦点，P是椭圆上一点(1)求|PF1|PF2|的最大值；(2)若F1PF260，且F1PF2的面积为，求b的值解(1)|PF1|PF2|100(当且仅当|PF1|PF2|时取等号)，|PF1|PF2|的最大值为100(2)S|PF1|PF2|sin 60，|PF1|PF2|，由题意知：3|PF1|PF2|4004c2由得c6，b820(本小题满分12分)如图所示，已知抛物线C：x24y，过点M(0，2)任作一直线与C相交于A，B两点，过点B作y轴的
10、平行线与直线AO相交于点D(O为坐标原点)(1)证明：动点D在定直线上；(2)作C的任意一条切线l(不含x轴)，与直线y2相交于点N1，与(1)中的定直线相交于点N2证明：|MN2|2|MN1|2为定值，并求此定值证明(1)依题意可设AB的方程为ykx2，代入x24y，得x24(kx2)，即x24kx80，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有x1x28，直线AO的方程为yx，BD的方程为xx2，则交点D的坐标为又x1x28，x4y1，则有2，即D点在定直线y2上(x0)(2)依题意，切线l的斜率存在且不等于0设切线l的方程为yaxb(a0)，代入x24y，得x24(axb)，即x24ax4b0，由0得(4a)216b0，化简整理，得ba2，故切线的方程为yaxa2分别令y2，y2，得N1，N2，则|MN2|2|MN1|2428，即|MN2|2|MN1|2为定值821(本小题满分12分)设椭圆1(ab0)的右顶点为A，上顶点为B已知椭圆的离心率为，|AB|(1)求椭圆的方程(2)设直线l：ykx(k0)与椭圆交于P，Q两点，l与直线AB交于点M，且点P，M均在第四象限若BPM的面积是BPQ面积的2倍，求k的值解(1)设椭圆的焦距为2c，由已知得又由a2b2c2，可得2a3b由|AB|得a3，b2所以
