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1、集合Axx 2axa2190，Bxx 25 x60，Cxx 22 x80 （1）若ABAB，求a的值；（2）若 AB，AC，求a的值答案：由已知，得B2，3，C2，4.(1) ABAB， AB 于是2，3是一元二次方程x2axa2190的两个根，由韦达定理知： 解之得a5. (2)由AB ，又AC，得3A，2A，4A，由3A，得323aa2190，解得a5或a=2当a=5时，Axx25x602，3，与2A矛盾；当a=2时，Axx22x1503，5，符合题意. 来源：09年湖北宜昌月考一题型：解答题，难度：中档已知：集合A=x|0， B=x|x23x+20，U=R，求（1）AB；（2）（uA）B
2、.答案：A=x|0=x|5x B=x|x23x+20=x|1x2 （1）AB=x|5x （uA）B=x|xg(n)。引理：当m为奇数时，从m, m+1, m+2, m+3, m+4中任意取出4个元素，必有3个两两互质。只需分m=6k+1, 6k+3, 6k+5三类讨论即可。下面证明，当f(n)=g(n)+1时，题设条件成立。用反证法，若不然，对于给定的S，因为m, m+1中必有1个奇数，从这个奇数开始，连续6个整数为一组，设n=6k+r, 1r6.（1）若r=1,2,3,则由引理可知，每组至多取出4个数，一共至多取出4k+r4k+r+1=g(n)+1个数，矛盾。（2）若r=4,5，从m, m+
3、1中的奇数开始分组，最后余下至少3个数，且以奇数开头。以奇数开头的连续3个正整数两两互质，从而必有1个没被取出。由引理可知一共至多取出4k+r-14k+r=g(n)+1个数，矛盾。（3）若r=6，从m, m+1中的奇数开始连续6个整数为一组，最后余下以奇数开头的至少5个整数，连同第一个数（如果第一个数为偶数）作为一组，共分k+1组。由引理可知，每组至多取出4个数，一共至多取出4(k+1)4k+5=g(n)+1个数，矛盾。综上所述，假设不成立。所以当f(n)=g(n)+1=时，对于任意mN+，从S中任取f(n)个元素，总有3个两两互质。故f(n)=来源：08年数学竞赛专题一题型：解答题，难度：较
4、难设集合，求最小的正整数，使得对A的任意一个14-分划，一定存在某个集合，在中有两个元素a和b满足。答案：构造数表表1、表2如下。表1 表2 如表2，第i行的数即为子集Ai中的元素，这时|Ai|=4(i=1,2,13)，|A14|=3。显然，14个子集中每一个都不存在两个元素满足题中不等式。所以m56.另一方面，若m=56，则对A的任意分划A1，A2，A14，数42，43，56中必有两个数属于同一个A，取此二数为a和b，则42ab56=42a.综上所述，所求m的最小正整数为56。来源：08年数学竞赛专题一题型：解答题，难度：较难已知S是由实数构成的集合，且满足1）若，则。如果，S中至少含有多少
5、个元素？说明理由。答案：首先（否则，但），由得，且（理由同上）。所以互不相同，所以S至少含有3个元素。另一方面，满足条件，故S至少含有3个元素。来源：08年数学竞赛专题一题型：解答题，难度：中档集合A和B各含有12个元素，含有4个元素，试求同时满足下列条件的集合C的个数：1）且C中含有3个元素；2）。答案：若，则有种；若，则有种；若，则有种，故满足条件的C共有1084个。来源：08年数学竞赛专题一题型：解答题，难度：较难S是Q的子集且满足：若，则恰有一个成立，并且若，则，试确定集合S。答案：若-1S，则(-1)2=1S与已知矛盾，所以-1S，1S。所以1+1=2S，1+2=3S，依次类推，所以
6、，所以。所以若rQ,则设m,nN+.因为nS，S，所以rS，所以Q+S。由已知若rS，因为，若r0，则-rQ+,所以-rS矛盾。所以rQ+,所以SQ+，所以S=Q+.来源：08年数学竞赛专题一题型：解答题，难度：较难求集合B和C，使得，并且C的元素乘积等于B的元素和。答案：因为1+2+10=55120=12345，所以集合C至多有4个元素，下面对|C|分4种情况讨论。（1）C由一个元素构成，因为C的元素乘积不超过10，B的元素和至少为55-10=45。故此情况不成立。（2）C由两个元素x,y构成，设xy，则有xy=55-x-y,即（x+1）(y+1)=56，因为x+1y+111，解得x=6,y
7、=1,故C=6，7，B=1，2，3，4，5，8，9，10。（3）C由三个元素xy55-x-y-z，无解。（4）C由四个元素xyz55.这时yzt=54-y-z-t,2yzt。如（3），当y3时无解，故y=2,2zt+z+t=5.即(2z+1)(2t+1)=105，解得z=3,t=7,从而C=1，2，3，7，B=4，5，6，8，9，10。综上可知，B，C有3组解。来源：08年数学竞赛专题一题型：解答题，难度：较难集合S=1，2，3，4，5，6，7，8，9，0的若干个五元子集满足：S中的任何两个元素至多出现在两个不同的五元子集中，问：至多有多少个五元子集？答案：假设有9个五元子集，重复计数共59=
8、45个元素。因为45=410+5，由抽屉原理，必有一个元素出现在至少5个五元子集中，不妨设0出现在五元子集A1，A2，A3，A4，A5中，这5个子集中除0外，重复计数还含有共45=20个元素，因为20=29+2。所以由抽屉原理可知必有1个元素出现在三个五元子集中，不妨设1出现在A1，A2，A3中，则0，1同时出现在3个子集中，不满足题意，故五元子集数8。如下8个五元子集满足题意：A1 0 2 4 6 8A2 0 2 5 7 9A3 0 3 4 7 9A4 0 3 5 6 8A5 1 2 4 6 9A6 1 2 5 7 8A7 1 3 4 7 8A8 1 3 5 6 9来源：08年数学竞赛专题一题型：解答题，难度：较难是三个非空整数集，已知对于1，2，3的任意一个排列，如果，则。求证：中必有两个相等。答案：证明：由已知，若xS，ySj，则y-xSk, (y-x)-y=-xSi,所以每个集合中均有非负元素。当三个集合中的元素都为零时，命题显然成立。否则，设S1，S2，S3中的最小正元素为a，不妨设aS1，设b为S2，S3中最小
