大学文科数学1.6

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1、第一章 微积分1.6 定积分1 上页 下页 返回 结束 主要教学内容：定积分的概念定积分的概念定积分的基本性质定积分的基本性质微积分基本定理微积分基本定理定积分的计算定积分的计算*无穷区间上的反常积分无穷区间上的反常积分1.6 定积分2 上页 下页 返回 结束 1.6.1 定积分概念1.几个典型的定积分问题2. 定积分的定义3. 定积分的几何意义1.6 定积分3 上页 下页 返回 结束 1.6 定积分1.几个典型的定积分问题（1 1）曲边梯形的面积）曲边梯形的面积曲边梯形是由连续曲线曲边梯形是由连续曲线及及 轴，轴， 以及两直线以及两直线所围成，求其面积所围成，求其面积 .矩形面积矩形面积三角

2、形面积三角形面积多边形面积多边形面积4 上页 下页 返回 结束 1.6 定积分(a)(a) 基本思想用矩形面基本思想用矩形面积近似代替曲近似代替曲边梯形梯形的面的面积。(b)(b) 在在 a, b 中插入中插入7 7个分点，曲个分点，曲边梯形分梯形分为8 8个小曲个小曲边梯梯 形，每个小曲形，每个小曲边梯形面梯形面积都近似用矩形面都近似用矩形面积代替。代替。5 上页 下页 返回 结束 1.6 定积分曲边梯形的面积曲边梯形的面积 = = 所有窄条矩形面积之和的近似所有窄条矩形面积之和的近似矩形估计方法矩形估计方法6 上页 下页 返回 结束 1.6 定积分a.a.分割分割: : 在区间在区间 中任

3、意插入中任意插入 个个 分点分点 将大曲边梯形分割成将大曲边梯形分割成 个窄条曲边个窄条曲边 梯形梯形, ,则对应的窄曲边梯形的面积则对应的窄曲边梯形的面积设设 在在 上连续上连续, , 且且 . .b.b.取近似取近似: :7 上页 下页 返回 结束 1.6 定积分c.c.作和作和: : d.d.求极限求极限: : 记记, ,则则8 上页 下页 返回 结束 1.6 定积分曲边梯形的面积曲边梯形的面积 = 所有窄条矩形面积之和的极限所有窄条矩形面积之和的极限矩形估计方法矩形估计方法9 上页 下页 返回 结束 1.6 定积分a.a.分割分割: : 在区间在区间 中任意插入中任意插入 个分点个分点

4、b.b.取近似取近似: : c.c.作和作和: : d.d.求极限求极限: : 记记, , 则则 某物体作变速直线运动某物体作变速直线运动, , 设速度设速度 求这段时间内求这段时间内物体经过的路程物体经过的路程 。记记(2) (2) 变速直线运动的路程变速直线运动的路程 ，则对应该时段上的路程，则对应该时段上的路程10 上页 下页 返回 结束 1.6 定积分上述解决问题的方法有何共性？上述解决问题的方法有何共性？（1 1）解决问题的步骤相同）解决问题的步骤相同 （2 2）所求量的结构式形式上相同）所求量的结构式形式上相同 分割取近似作和求极限分割取近似作和求极限11 上页 下页 返回 结束

5、1.6 定积分此时称此时称 在在 上可积上可积( (黎曼可积黎曼可积).).2. 定积分的定义 , , 作和数作和数定义定义 设函数设函数 在在 上有定义，在上有定义，在 中任意插入中任意插入个分点个分点记记任意取任意取记记，若只要当，若只要当 时和数时和数 总趋总趋于确定于确定的极限的极限 , 则称极限值则称极限值 为函数为函数 在区间在区间 上的定积上的定积分（黎曼积分），记作分（黎曼积分），记作 , 即即12 上页 下页 返回 结束 1.6 定积分积分上限积分上限积分下限积分下限被被积积函函数数被被积积表表达达式式积积分分变变量量(黎黎曼曼和和) )积积分分和和13 上页 下页 返回 结

6、束 1.6 定积分（1 1）定积分定义中的和称为黎曼和，其中定积分定义中的和称为黎曼和，其中（2 2）从定积分的定义可知，定积分的计算结果）从定积分的定义可知，定积分的计算结果是一个数，是一个数，是任意的，因此极限过程不依赖于是任意的，因此极限过程不依赖于 的与的与 的选取，而的选取，而且且这是与不定积分最大的区别，于是这是与不定积分最大的区别，于是定积分仅与被积函数定积分仅与被积函数及积分区间有关，而与积分变量用什么字母表示无关及积分区间有关，而与积分变量用什么字母表示无关 ,即即十分复杂十分复杂.注：注：14 上页 下页 返回 结束 1.6 定积分（3 3）数学上可以证明，定积分定义与不定

7、积分定义中的数学上可以证明，定积分定义与不定积分定义中的（4 4） 数学上已经证明，闭区间上的连续函数都是数学上已经证明，闭区间上的连续函数都是可积的。可积的。（6 6）用上述定义很难求定积分的值，为了找出计算定积）用上述定义很难求定积分的值，为了找出计算定积分的分的有效方法，牛顿有效方法，牛顿莱布尼兹莱布尼兹（NewtonNewtonLeibniz)Leibniz)发现发现了微积分基本定理。了微积分基本定理。“可积函数可积函数”是同一回事是同一回事 。 （5 5）定积分是整体性质，是）定积分是整体性质，是函数在闭区间上的函数在闭区间上的整体性质。整体性质。15 上页 下页 返回 结束 1.6

8、 定积分因此因此,初等函数在其定义域内的任何闭区间上可积初等函数在其定义域内的任何闭区间上可积, 但也存在但也存在不可积的非初等函数不可积的非初等函数.可积的必要条件和充分条件可积的必要条件和充分条件:定理定理1.6.1 若函数若函数 在在 上可积上可积, 则则 在在 上有界上有界; 若函数若函数 在在 上连续上连续,则则 在在 上必可积上必可积 .16 上页 下页 返回 结束 1.6 定积分3. 定积分的几何意义:曲边梯形面积曲边梯形面积曲边梯形面积的负值曲边梯形面积的负值各部分面积的代数和各部分面积的代数和17 上页 下页 返回 结束 1.6 定积分1.6.2 定积分的基本性质定积分的基本

9、性质：设函数定积分的基本性质：设函数 均为可积函数，则有均为可积函数，则有性质性质1 即定积分与积分变量的选取无关。即定积分与积分变量的选取无关。性质性质2 从而从而18 上页 下页 返回 结束 1.6 定积分性质性质3（线性性）（线性性）性质性质5 特别地，有特别地，有性质性质4 是常数）是常数）当当ba时，积分即为区间长度。时，积分即为区间长度。19 上页 下页 返回 结束 1.6 定积分性质性质6（积分区间的可加性积分区间的可加性) )说明说明: (1) 当当 的相对位置任意的相对位置任意时，时，上式仍成立上式仍成立 .例如例如 时时, , 有有故故(2) 可推广到有多个分点的情形可推广

10、到有多个分点的情形 .0 a c b xy20 上页 下页 返回 结束 1.6 定积分1.6.3 微积分基本定理1.变速直线运动中路程函数与速度函数之间的关系变速直线运动中路程函数与速度函数之间的关系2. 微积分基本定理微积分基本定理21 上页 下页 返回 结束 1.6 定积分设变速直线运动的速度设变速直线运动的速度 , 则物体在时段则物体在时段 上经过上经过的路程的路程另一方面另一方面, 这段路程又等于路程函数这段路程又等于路程函数 在时段在时段 上的上的增量增量, 即即1.变速直线运动中路程函数与速度函数之间的联系已知变速直线运动物体的速度函数已知变速直线运动物体的速度函数 ，求该物体从时

11、刻，求该物体从时刻 到时刻到时刻 经过的路程经过的路程 。22 上页 下页 返回 结束 1.6 定积分故有故有即即 是是 的一个原函数的一个原函数 . .又知路程函数与速度函数之间有关系又知路程函数与速度函数之间有关系: : 即我们的问题通过不定积分来解决，但不定积即我们的问题通过不定积分来解决，但不定积分的结果是分的结果是无穷多个原函数，选择哪一个？因为无穷多个原函数，选择哪一个？因为 23 上页 下页 返回 结束 1.6 定积分这种定积分与原函数的关系在一定条件下具有普遍性这种定积分与原函数的关系在一定条件下具有普遍性 . .这表明差数这表明差数S(b)-S(a)可用任何一个原函数可用任何

12、一个原函数S(t)+C 来计算，来计算，都会得到同样的结果。都会得到同样的结果。对于一般情形，上述过程正是对于一般情形，上述过程正是微积分基本定理微积分基本定理。24 上页 下页 返回 结束 1.6 定积分2.微积分基本定理定理定理1.6.21.6.2（微积分基本定理）设（微积分基本定理）设 是闭区间是闭区间 上连上连续续, 且且 F(x) 是是 在在 上的一个原函数上的一个原函数, 则则注注: :（1）上述公式是由上述公式是由NewtonNewton和和LeibnizLeibniz同时发现的，同时发现的，因此称为因此称为NewtonNewtonLeibnizLeibniz公式。公式。（2）该

13、公式对该公式对 的情形同样成立的情形同样成立 . .25 上页 下页 返回 结束 1.6 定积分（3 3） 定积分计算定积分计算求原函数求原函数微积分基本公式微积分基本公式 牛顿牛顿- -莱布尼兹公式莱布尼兹公式 （4 4）使用）使用NewtonNewtonLeibnizLeibniz公式时要注意验证公式时要注意验证定理的条件定理的条件,否则有可能导致错误的结果。否则有可能导致错误的结果。26 上页 下页 返回 结束 1.6 定积分关于微积分基本定理关于微积分基本定理: :1.1.等号两边的概念不同等号两边的概念不同( (左边是定积分是乘积之和的左边是定积分是乘积之和的极限，极限， 而右边是不

14、定积分是原函数，是导数和微分运算的逆运算而右边是不定积分是原函数，是导数和微分运算的逆运算;3.3.该定理的伟大之处该定理的伟大之处: :把微积分的基本知识全部串把微积分的基本知识全部串联起来了联起来了;4.4.为什么称之为微积分基本定理为什么称之为微积分基本定理? ? 2.2.问题的转化问题的转化: :把定积分的计算问题转化为不定积把定积分的计算问题转化为不定积分的计算分的计算;27 上页 下页 返回 结束 1.6 定积分l牛顿牛顿（Isaac NewtonIsaac Newton，1643164317271727）英国伟大的物理学）英国伟大的物理学家、天文学家和数学家，经典力学体系的奠基人

15、。恩格家、天文学家和数学家，经典力学体系的奠基人。恩格斯说：斯说：“牛顿由于发现了万有引力定律而创立了天文学，牛顿由于发现了万有引力定律而创立了天文学，由于进行光的分解而创立了科学的光学，由于创立了二由于进行光的分解而创立了科学的光学，由于创立了二项式定理和无限理论而创立了科学的数学，由于认识了项式定理和无限理论而创立了科学的数学，由于认识了力学的本性而创立了科学的力学。力学的本性而创立了科学的力学。”的确，牛顿在自然的确，牛顿在自然科学领域里作了奠基性的贡献，堪称科学巨匠。科学领域里作了奠基性的贡献，堪称科学巨匠。 28 上页 下页 返回 结束 1.6 定积分l莱布尼茨莱布尼茨，G GW W

16、(Leibniz (Leibniz ，Gottfried Gottfried ，Wilhelm)Wilhelm) 1646 1646年年7 7月月1 1日生于德国莱比锡；日生于德国莱比锡；17161716年年1111月月1414日卒于德日卒于德国汉诺威他是国汉诺威他是1717、1818世纪之交德国最重要的数学家、世纪之交德国最重要的数学家、物理学家和哲学家，一个举世罕见的科学天才，和牛顿物理学家和哲学家，一个举世罕见的科学天才，和牛顿同为微积分的创建人。他博览群书，涉猎百科，对丰富同为微积分的创建人。他博览群书，涉猎百科，对丰富人类的科学知识宝库做出了不可磨灭的贡献。人类的科学知识宝库做出了不

17、可磨灭的贡献。29 上页 下页 返回 结束 1.6 定积分 关于微积分创立的优先权，数学上曾掀起了一场激烈的争论。关于微积分创立的优先权，数学上曾掀起了一场激烈的争论。实际上，牛顿在微积分方面的研究虽早于莱布尼兹，但莱布尼实际上，牛顿在微积分方面的研究虽早于莱布尼兹，但莱布尼兹成果的发表则早于牛顿。莱布尼兹在兹成果的发表则早于牛顿。莱布尼兹在16841684年年1010月发表的月发表的教教师学报师学报上的论文，上的论文，“一种求极大极小的奇妙类型的计算一种求极大极小的奇妙类型的计算”，在，在数学史上被认为是最早发表的微积分文献。牛顿在数学史上被认为是最早发表的微积分文献。牛顿在16871687

18、年出版年出版的的自然哲学的数学原理自然哲学的数学原理的第一版和第二版也写道：的第一版和第二版也写道：“十年十年前在我和最杰出的几何学家前在我和最杰出的几何学家G G、W W莱布尼兹的通信中，我表明我莱布尼兹的通信中，我表明我已经知道确定极大值和极小值的方法、作切线的方法以及类似已经知道确定极大值和极小值的方法、作切线的方法以及类似的方法，但我在交换的信件中隐瞒了这方法，的方法，但我在交换的信件中隐瞒了这方法，这位最卓越这位最卓越的科学家在回信中写道，他也发现了一种同样的方法。他并诉的科学家在回信中写道，他也发现了一种同样的方法。他并诉述了他的方法，它与我的方法几乎没有什么不同，除了他的措述了他

19、的方法，它与我的方法几乎没有什么不同，除了他的措词和符号而外。词和符号而外。”因此，后来人们公认牛顿和莱布尼兹是各自因此，后来人们公认牛顿和莱布尼兹是各自独立地创建微积分的。独立地创建微积分的。30 上页 下页 返回 结束 牛顿从物理学出发，运用集合方法研究微积分，其应用上更牛顿从物理学出发，运用集合方法研究微积分，其应用上更多地结合了运动学，造诣高于莱布尼兹。而莱布尼兹则从几多地结合了运动学，造诣高于莱布尼兹。而莱布尼兹则从几何问题出发，运用分析学方法引进微积分概念、得出运算法何问题出发，运用分析学方法引进微积分概念、得出运算法则，其严密的数学符号能节省思维劳动，运用符号的技巧性则，其严密的

20、数学符号能节省思维劳动，运用符号的技巧性与系统性是牛顿所不及的。莱布尼兹认识到好数学符号是成与系统性是牛顿所不及的。莱布尼兹认识到好数学符号是成功的关键之一。因此，他发明了一套适用的符号系统，如，功的关键之一。因此，他发明了一套适用的符号系统，如，引入引入dx 表示表示x的微分，的微分，表示积分，表示积分， 表示表示n阶微分等等。这阶微分等等。这些符号进一步促进了微积分学的发展。些符号进一步促进了微积分学的发展。17131713年，莱布尼兹发年，莱布尼兹发表了表了微积分的历史和起源微积分的历史和起源一文，总结了自己创立微积分一文，总结了自己创立微积分学的思路，说明了自己成就的独立性。学的思路，

21、说明了自己成就的独立性。 31 上页 下页 返回 结束 1.6 定积分例例1. 计算下列定积分计算下列定积分解：解：32 上页 下页 返回 结束 1.6 定积分例例2. 计算定积分计算定积分解：原式解：原式, , 求求对区间的可加性对区间的可加性, , 有有例例3. 已知已知解：因为解：因为 是分段函数，所以由定积分是分段函数，所以由定积分33 上页 下页 返回 结束 1.6 定积分故由分段可加性故由分段可加性, , 有有所求积分值为图中左、右两个所求积分值为图中左、右两个三角形的面积之和三角形的面积之和, , 故故例例4. 计算计算解法一解法一: 因绝对值函数是分段函数因绝对值函数是分段函数

22、,解法二解法二: 由定积分的几何意义由定积分的几何意义,34 上页 下页 返回 结束 1.6 定积分1.6.4 1.6.4 定积分的计算定积分的计算 不定积分计算不定积分计算微积分基本公式微积分基本公式定积分计算定积分计算1. 定积分的换元法定积分的换元法 2. 定积分的分部积分法定积分的分部积分法 35 上页 下页 返回 结束 1.6 定积分则则1. 定积分换元法不定积分换元法不定积分换元法定理定理1.6.31.6.3设设 满足满足: :(2) 在区间在区间 上有连续导数上有连续导数 ；(1)(3) 当当t在区间在区间 上由上由 变到变到 时，时， 单调地从单调地从a变到变到b 36 上页

23、下页 返回 结束 1.6 定积分证证: : 设设 是是 的一个原函数的一个原函数, , 则则另一方面另一方面, , 是是 的一个原函数的一个原函数, , 故故定积分换元法定积分换元法:37 上页 下页 返回 结束 1.6 定积分说明说明: :(2) (2) 注意注意“换元必换限换元必换限”，且，且(3) (3) 换元公式也可反过来使用换元公式也可反过来使用 , , 即即或凑微分或凑微分凑微分时如果不换元，则不换限凑微分时如果不换元，则不换限 同时被积表达式同时被积表达式(1) (1) 当当 时，时，换元公式仍成立换元公式仍成立 . 定积分换元法定积分换元法:38 上页 下页 返回 结束 1.6

24、 定积分定积分换元法与不定积分换元法的相同与不同之处：定积分换元法与不定积分换元法的相同与不同之处： 相同的地方：相同的地方： 换元换元 凑微分或第二换元法。凑微分或第二换元法。 分分换元后，积分上、下限要换元后，积分上、下限要做相应的做相应的变化变化, 不用把原不用把原变量带回。变量带回。的选择与不定积分相同，的选择与不定积分相同， 不相同的地方：不定积分换元积分后要把变量换回；不相同的地方：不定积分换元积分后要把变量换回；而定积而定积 找到原函数后直接找到原函数后直接带入带入新的新的上、下限即可上、下限即可,39 上页 下页 返回 结束 1.6 定积分例例5. 5. 计算计算解解: : 令

25、令则则当当 时时, , 当当 时时, , 于是于是原式原式40 上页 下页 返回 结束 1.6 定积分例例6. 6. 计算计算解：法一解：法一法二法二注意注意: : 凑微分不换限凑微分不换限! !例例7. 7. 计算计算解解: :原式原式41 上页 下页 返回 结束 1.6 定积分例例8. 8. 计算计算解解: : 令令原式原式则则（利用倍角公式）（利用倍角公式）42 上页 下页 返回 结束 1.6 定积分例例9. 9. 计算计算原式原式解解: : 43 上页 下页 返回 结束 1.6 定积分例例10. 10. 计算计算解解: :原式原式44 上页 下页 返回 结束 1.6 定积分定理定理1.

26、6.4 1.6.4 设设 是是a,b上的连续可导函数，则上的连续可导函数，则即即称为定积分分部积分公式称为定积分分部积分公式. .不定积分分部积分公式：不定积分分部积分公式：或或2. 2. 定积分分部积分法定积分分部积分法 45 上页 下页 返回 结束 1.6 定积分选取选取 及及 （或（或 ）的原则与不定积分类似）的原则与不定积分类似 . .说明说明: : u及及 确定的原则确定的原则：1. 比较容易找到原函数比较容易找到原函数v; ; 2. 2. 右边的积分比左边的积分右边的积分比左边的积分“简单简单”。 经验经验：按按 “指三幂对反指三幂对反” 的顺序选择的顺序选择v.46 上页 下页

27、返回 结束 1.6 定积分例例11. 11. 计算计算解解: : 设设则则原式原式47 上页 下页 返回 结束 1.6 定积分例例12. 12. 计算计算解解: : 原式原式48 上页 下页 返回 结束 1.6 定积分例例13. 13. 计算计算解解: : 原式原式说明说明: :含绝对值的积分要分段去绝对值后再计算含绝对值的积分要分段去绝对值后再计算 . 49 上页 下页 返回 结束 1.6 定积分例例14. 14. 证明：若在证明：若在-a,a上上f (x)连续连续, ,且为偶函数，则且为偶函数，则证明：证明：50 上页 下页 返回 结束 1.6 定积分若若 f (x) 为奇函数，会有何结果？为奇函数，会有何结果？直观上如下图所示：直观上如下图所示： 51 上页 下页 返回 结束 1.6 定积分求下列定积分：求下列定积分：52 上页 下页 返回 结束 1.6 1.6 不定积分不定积分本节结束本节结束谢谢！谢谢！53