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1、第 26 章离散量的最大值和最小值问题26.1.1* 某个篮球运动员共参加了10 场比赛，他在第 6、第 7、第 8、第 9 场比赛中分别得了23、14、 11和20 分，他的前9 场比赛的平均分比前5场比赛的平均分要高，如果他的10 场比赛的平均分超过 18 分，问：他在第10场比赛中至少得了多少分？解析 设前5场比赛的平均得分为x，则前9场比赛的平均得分为5x + 23 +14 +11 + 20 _ 5x + 6899由题设知x，9解得x 28故他第10场比赛得分三29分.另一方面，当他在第6、第7、第8、第9、第10场比赛中分别得了 23、14、1 1、20和29分，前5场 总得分为 8
2、4 分时，满足题意所以，他在第10场比赛中至少得了29分评注 在解最大值(或者最小值.问题时，我们常常先估计上界(对于最小值，估计下界.，然后再构 造一个例子说明这个上界(或者下界.是能够取到的，只有这样，才完整地解决了问题26.1.2*从任意n个不同的正整数中，一定可以从中找到两个数，它们的差是12的倍数，求n的最小 值解析 任取13个不同的整数，它们除以12所得到的余数中，一定有两个相同，于是它们的差是12的 倍数又1，2，12这12个数，其中没有两个数的差为12的倍数.综上所述，至少需任取13 个数才能满足题意26.1.3* 从1， 2， 3， 20中，至少任取多少个数，可使得其中一定有
3、两个数，大的数是小的数的 奇数倍解析 从1， 2， 20中取7， 8， 20这14个数，其中没有一个数是另一个数的奇数倍把 1， 2， 20 分成如下14 组：1， 3， 9， 2， 6， 18， 4， 12， 5， 15， 7， f8， 10， 11， 13， 14， 16， 17， 19， 20，从中任取15个数，一定有两数取自同一组，于是大数便是小 数的奇数倍26.1.4* 如果甲的身高或体重至少有一项比乙大，则称甲不亚于乙；在100个小伙子中，如果某人不 亚于其他99人，就称他为棒小伙子问100个小伙子中的棒小伙子最多可能有多少个？解析 取 100 个小伙子是这样的一种特殊情况他们的身
4、高互不相同，是从小到大排列的，他们的体 重也互不相同，且是从大到小排列的，这样的100个小伙子都是棒小伙子，所以棒小伙子最多有100 个26.1.5* 代数式 rvz 一 rwy 一 suz + swy + tux 一 tvx 中, r、s、t、u、v、w、x、y、z 可以分另U取 1 或者 -1(1.求证：代数式的值都是偶数； (2.求该代数式所能取到的最大值解析 (1.因为rvz 一 rwy 一 suz + swy + tux 一 tvx 三 1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 三 0 (mod2 )，数学备课大师【全免费】 所以，此代数式的值为偶数.(2)原式=uy (s - r)+
5、 tx(u - v)+ z(rv - su)，要使原式取得最大值，则s与r取1与-1， u与v取1与 -1.但是，若r与v的取值相同(1或-1 )，则s与u的取值也相同，有rv - su = 0 .若r与v的取值不 同.则s与u的取值也不同，也有rv - su = 0 .所以，原式的最大值为4.这时取s = 1， r = -1， u = 1， v = -1， w = y = t = x = 1.26.1.6* 个三位数除以43,商是a .余数是b ( a、b都是整数)，求a + b的最大值. 解析 由带余除法可知：43 x a + b = 一个三位数.因为b是余数，它必须比除数小，即b W42
6、.根据式.考虑到等式右边是一个三位数，为此a不超过 23(因为 24X431000).当 a = 23 时，因为 43X23+10=999,此时b 为 10.当a = 2 时，可取余数b = 42， 此时 43X22+42=998.故当a = 22， b = 42时，a + b值最大，最大值22+42=64.从1，2，1001这1001个正整数中取出n个数，使得这n个数中任意两个数的差都不是素数，求n 的最大值解析 设正整数a被取出，贝9 a + 2， a + 3， a + 5， a + 7都不能被取出而a +1， a + 4， a + 6三者 中至多只能有一个被取出.所以连续8个整数a，a
7、+1，a + 2，a + 3，a + 4，a + 5，a + 6，a + 7中至多有两个数被取出，而 1001 = 8X125+1，所以n W2X 125+1 = 251.又1，5，9，1001这251个数满足题设条件.所以n的最大值为251.26.1.8* 从1， 2， 205共205个正整数中，最多能取出多少个数，使得对于取出来的数中的任 意三个数a、b、c ( a b c )，都有ab丰c .解析 首先， 1， 14， 15， 205这193个数，满足题设条件.事实上，设a、b、c ( a b c )这三个数取自 1， 14， 15， ，205，若a = 1，则 ab =b 1， 贝 9
8、 ab 三 14 x 15 = 210 0 .另一方面，考虑如下12个数组：(2， 25， 2X25)，(3， 24， 3X24)，(13， 14， 13X14)，上述这36个数互不相等，且其中最小的数为2,最大的数为13X14=182 lzll,则12401x +xl2二(x +1)+ (x + 1),l2 x 2 + x 2 12且(x -1)2 + (x + 1)2 =x 2 + x 2 + 2 (x1 2 1 2 2所以，当x 1时，可以把x逐步调整到1,这时，x 2 + x 2 + x 2将增大；同样地，可以把x , x ,11124023x 均为 1 ， x = 19 时，3940
9、x逐步调整到1，这时x2 + x2 + x2将增大于是，当x , x，39124012x2 + x2 + + x2 取得最大值，即1240A=12 +12 +12 +192 = 400v39个若存在两个数x、x .,使得x - x三2 (1 W i jW 40)，则i jj i1)W x 2 + x 2ij(x +1)2 +(x -1)2 =x2+x2 -2(x -xijijj i这说明在x , x，x , x中，如果有两个数的差大于1,则把较小的数加1,较大的数减1,这123940时, x2 + x2 + + x2 将减小1240所以，当x2 + x2 + + x2取到最小时，x , x，x
10、。中任意两个数的差都不大于1.不难算出，12401240当 x = x = = x = 1 , x = x = = x = 2 时，x2 + x2 + x 2 取得最小值，即12222324401240B = 12 + 12 + + 12 + 22 + 22 + + 22 = 94 .VV22个18个故 A+ B =49426.1.11*从1, 2,，9中任取n个数，其中一定可以找到若干个数(至少一个，也可以是全部)， 它们的和能被10整除，求”的最小值解析 当n = 4时，数1, 3, 5, 8中没有若干个数的和能被10整除.当n = 5时，设a , a，a是1, 2, 9中的5个不同的数.
11、若其中任意若干个数，它们的和都 125不能被10整除，则a , a，a中不可能同时出现1和9； 2和8； 3和7； 4和6.于是a , a，12512a 中必定有一个数是 5.5若a , a，a中含1,则不含9.于是不含4 (4+l+5 = 10),故含6；于是不含3 (3+6+1 = 10),125故含7；于是不含2 (2+1+7=10)，故含8.但是5+7+8=20是10的倍数，矛盾.若a , a，a中含9,则不含1 .于是不含6 (6+9+5 = 20),故含4；于是不含7 (7+4+9=20), 125故含3；于是不含8 （8+9+3 = 20）,故含2.但是5+3+2 = 10是10
12、的倍数，矛盾.综上所述，n的最小值为5.26.1.12*把1, 2, 30这30个数分成k个小组（每个数只能恰在一个小组中出现），使得每一 个小组中任意两个不同的数的和都不是完全平方数，求k的最小值.解析 首先，考虑数6， 19， 30，因为6+19=52， 6+30=62， 19+30=72，所以，这3个数必须属于 3个不同的小组，于是k 23.另一方面，可以把1， 2， 30这30个数分成如下3个小组，使得它们满足题设条件：A =3， 7， 11， 15， 19， 23， 27， 4， 8， 16， 24），1A =1， 5， 9， 13， 17， 21， 25， 29， 6， 14， 18， 26，2A =2， 10， 12， 20， 22， 28， 30，3由于完全平方数除以4的余数只能是0或者1,容易验证A、A、A满足题设条件.12326.1.13* 从1， 2， 3， 2000）中最多可能取出几个数，使得任意两个
