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1、第二节定积分计算公式和性质、变上限函数设函数了在区间k上连续，并且设x为b.上的任一点，于疋，分为恣上定义了一个以x为自变量的函数个取定的x值，定积分有一个确定值与之对应，所以定积分在八二，我们把-4=称为函数/W在区间-山上变上限函数记为:图5-10从几何上看，也很显然。因为X是打上一个动点，从而以线段&为底的曲边梯形的面积，必然随着底数端点的变化而变化，所以阴影部分的面积是端点x的函数（见图5-10）定积分计算公式利用定义计算定积分的值是十分麻烦的，有时甚至无法计算。因此，必须寻求计算定积分的简便方法。我们知道：如果物体以速度电（吨）刈作直线运动，那么在时间区间山上上所经过的路程s为S-卩
2、（比图5-11另一方面，如果物体经过的路程s是时间t的函数，那么物体从t=a到t=b所经过的路程应该是（见图5-11）即由导数的物理意义可知：即川：是匕一个原函数，因此，为了求出定积分人，应先求出被积函数呵的原函数讹），再求旳在区间山上的增量為一汹即可。如果抛开上面物理意义，便可得出计算定积分的一般方法:设函数刃在闭区间上连续，F(x)是/的一个原函数，即咋)5)，则这个公式叫做牛顿-莱布尼兹公式。为了使用方便，将公式写成牛顿-莱布尼兹公式通常也叫做微积分基本公式。它表示一个函数定积分等于这个函数的原函数在积分上、下限处函数值之差。它揭示了定积分和不定积分的内在联系，提供了计算定积分有效而简便
3、的方法，从而使定积分得到了广泛的应用。例1计算因为是上的一个原函数所以y=sinx01r例2求曲线P=A和直线x=0、x=及y=0所围成图形面积A(5-12)解这个图形的面积为图5-12、定积分的性质设-;在相应区间上连续，利用前面学过的知识，可以得到定积分以下几个简单性质:性质1被积函数的常数因子可以提到定积分符号前面，即门l：L(A为常数)性质2函数的代数和的定积分等于它们的定积分的代数和，即这个性质对有限个函数代数和也成立。性质3积分的上、下限对换则定积分变号，即以上性质用定积分的定义及牛顿-莱布尼兹公式均可证明，此处证明从略。性质4如果将区间上分成两个子区间孑工=：/(石肚十/(畑这个于区间分成有限个的情形也成立。F面用定积分的几何意义，对性质4加以说明。当acb时，从图5-13a可知，由yf与和x=ax=b及x轴围成的曲边梯形面积討：图5-13a图5-13b因为，所以b-7=L7即性质4成立。当ab(9)X+-K丿(io)即在刹车后，火车需走过40m才能停住。(11)设2求由与直线x=1,x=2及x轴所成的图形的面积
