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1、高考概率问题基本解法与典型错解分析摘要 ：本文通过实例，对高中教材中概率问题的两种基本解法、注意问题以及典型错例进行分析并剖析学生解题错误原因。关键词：古典概型 基本方法 有限 几何概型 变量个数高中数学人教A版必修三第三章为概率内容，概率在高考中是必考知识也是较容易得分的知识点，解题中虽有规律可循，但也易造成误解，本文通过以下两种基本概率模型进行分析研究。一、古典概型解题分析与错误类型题分析。 古典概型讨论的是有限样本空间上的概率，在此空间上试验的每一个结果都是等可能发生的。古典概型的一个随机事件的概率只需将该随机事件的所有可能出现的基本事件总数m却定，再将满足某种目标的基本事件A从总体m中
2、数出记为n,进而得出（其中且）。1、解题基本方法：当样本空间中确定有有限个基本事件，那么概率模型一定是古典概型方向。 例如下列语句：a. 同时掷两颗质地均匀的骰子；b. 向空中抛两枚质地均匀的硬币c. 从52张扑克牌中（除去大小王）随机抽取1张，d. 盒中仅有4个白球和5个黑球，从中任意取出两个,e. 在所有首位不为0的八位数电话号码中，任取一个电话号码，f. A,B,C,D4名学生按任意次序站成一排，分析上述语句发现，无论语句多复杂，最终都能有有限个基本事件完成上述任务，那么这一类概率模型便都可以通过古典概型解决。案例1.(2009广州一模文) 某校高三级要从3名男生和2名女生中任选3名代表
3、参加学校的演讲比赛.（1）求男生被选中的概率；（2）求男生和女生至少有一人被选中的概率.分析：审题后发现，本题是从有限个人中选有限个人，基本事件总数有限。确定利用古典概型。解析：从3名男生和2名女生中任选3名代表的可能选法是：；共10种. （1）男生被选中的的情况共有6种，于是男生被选中的概率为. （2）男生和女生至少有一人被选中的情况共有9种，故男生和女生至少有一人被选中的概率为. 2、错例分析：初学者确定某个试验的基本事件总数时往往容易多解或丢解，如下案例。案例2.从1，2，3，4，5，中任意选出两个不同的数组成两位数，两位数大于40的概率。错解1：从1，2，3，4，5中随机取两个数组成的
4、两位数有： 11 12 13 14 15 21 22 23 24 25 31 32 33 34 35 41 42 43 44 45 51 52 53 54 55 共25个数 令两位数大于40的事件为A,则A包含基本事件为：41，42，43，44，45，51，52，53，54，55共10个数错解2：由1，2，3，4，5，五个数组成新的两位数无重复数字的基本事件有： 12 13 14 15 23 24 25 34 35 45 共10个两位数字，而满足大于40的事件只有45，所以概率为。错析：以上两种答案，无论是错解1还是错解2都体现了审题不严思路混乱，致使错解1基本事件总数增多，错解2基本事件总数
5、减少，混淆汉语中不可重复在不同语境中的意义，忽略了数的特征。所以审题时要分析清楚题干中每一个字的含义，抓住重点。正解：从1，2，3，4，5中随机取两个数组成的两位数有： 12 13 14 15 21 23 24 25 31 32 34 35 41 42 43 45 51 52 53 54 共20个数 令两位数大于40的实践为A,则A包含基本事件为：41，42，43，45，51，52，53，54，共8个数案例3.先后抛掷同一枚质地均匀的骰子，记下点数a,b，则点P(a，b)落在圆中的概率 。错解：骰子点数a,b都为1，6中整数，在平面直角坐标系中表示为边长为6的正方形区域，可将基本事件总体用正方
6、形区域面积 表示为=,又满足条件的基本事件应为正方形中以O为圆心4为半径的扇形区域A，,如图1所示。所以点P(a，b)落在圆中的概率答案为。 错解分析：分析错解形成原因，做题时没有很好的分析解题所选方法，当基本事件总体是有限个的时候，那么解题首选古典概型，不要受到题目中其它几何图形的影响。正解：骰子点数a,b都为1，6中整数，P点共有个， 基本事件总数又满足条件的基本事件应为 36个点中落在以O为圆心4为半径的圆区域中的点，共有8个满足条件的基本事件数如图2所示。则：点P(a，b)落在圆中的概率 结合上面几个案例可见，解决古典概型问题时分析是关键，最基本就是古典概率模型的应用环境，解题遵循常规
7、步骤，从始至终都谨记于此，那么涉及到古典概型问题将迎刃而解。二、几何概型解题分析与错误类型题分析。 几何概型讨论的是无限样本空间上的概率，在此空间的每一个结果都是等可能发生的。几何概型中一个随机事件的概率通过将一次随机试验中所有可能结果的样本空间等同于一个集合区域R（此区域可以为线段，平面图形或空间几何体），而将试验中可能发生的事件等同于R中的子区域r后进行计算。 在解题中要注意所解决概率问题应采取哪种概率解法，不可将古典概型问题用几何概型问题解决，当然也不可能用古典概型解决几何概型问题。1.基本解题方法分析如下案例;案例4.边长为2的等边三角形，向其内部投一点P，则构成三角形,求满足的概率。
8、如图解析：由题意，P点落在等边三角形内部，那么试验可能出现的结果是无限的，这样我们可以用等边三角形的面积表示P点落在等边三角形的所有可能出现的结果，然而当P点落在边恰好满足如图3；当P点上移，p点下移如图4，所以满足条件的P点应落在梯形内，于是可以用梯形的面积表示满足条件的可能出现的结果，固有概率问题延伸：上述案例4还可进一步深化，由几何概型中利用面积求解深化到体积求解，如：边长为2的正三棱锥,向其内部投一点P，则构成三棱锥,求满足的概率解析可三看下图5，6所示 本题是利用体积解决几何概型问题，方法同于案例4.2.典型错误类型分析“一维”与“二维”混淆案例5.甲乙两艘轮船都要在某个泊位停靠6小
9、时，假定他们在一昼夜的时间段中随机地到达，试求这两艘船中至少有一搜在停靠泊位时必须等待的概率。错解：如图7，以甲为基点，它可以在24小时内任意到达，取值0,24，那么乙要等待的概率为分析：几何概型较之古典概型要略有难度，初学者往往把思维留在老的解题思路中。但此题甲乙两艘船是同时在变的，即有两个变量，所以是典型的两人约会问题。正解：如图8，设甲到达的时间为若至少一艘船在停靠泊位是必须等待等价于 ，必须等待的概率为：可见，解决几何概型问题，首先要确定采取哪种几何概率模型，那么基本上要看概率问题中涉及到的变量个数，1、 当变量个数为1时，比如一个人等车问题，解答时利用“一维”线段长度；2、 当变量个
10、数位2时，如案例5，利用“二维”面积解题，3、 当变量个数为3时，即如上面问题延伸属空间问题，那么解概率采取“三维”体积完成。数学是一门基础学科，在其他各个领域都有用武之地，那么在初等教学中既要把简单的数学知识掌握扎实也要教会学生分析问题解决问题，培养自主的解题能力。概率既涉及到计算数学知识，同时也培养学生逻辑分析、理解的能力，教师应充分利用本部分知识挖掘学生深层潜力，同时也纠正早已堆积起来的学习陋习。参考文献1普通高中课程标准实验教科书数学必修3人民教育出版社第二版2006，130135，138139，141142。2 叶惠风 中学数学研究华南师范大学 广东省教学会2008，27。 第 1页共6页
