第三讲 巧求表面积

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1、第三讲 巧求表面积我们已经学习了长方体和正方体，知道长方体或正方体六个面面积的 总和叫做长方体或正方体的表面积如果长方体的长用a表示、宽用b表 示、高用h表示，那么，长方体的表面积二（ab + ah + bh）X2.如果正方 体的棱长用a表示，则正方体的表面积=6a2对于由几个长方体或正方体 组合而成的几何形体，或者是一个长方体或正方体组合而面的几何形体， 它们的表面积又如何求呢？涉及立体图形的问题，往往可考查同学们的看 图能力和空间想象能力.小学阶段遇到的立体图形主要是长方体和正方 体，这些图形的特点都是可以从六个方向去看，特别是求表面积时，就是 上下、左右和前后六个方向（有时只考虑上、左、

2、前三个方向）的平面图 形的面积的总和.有了这个原则，在解决类似问题时就十分方便了。例1 在一个棱长为 5 分米的正方体上放一个棱长为 4 分米的小正方体（右 图），求这个立体图形的表面积。分析 我们把上面的小正方体想象成是可以向下“压缩”的，“压缩”后 我们发现：小正方体的上面与大正方体上面中的阴影部分合在一起，正好 是大正方体的上面.这样这个立体图形的表面积就可以分成这样两部分：上下方向：大正方体的两个底面，侧面）小正方体的四介侧血, 大正方体的四个恻面。解：上下方向：5X5X2=50 （平方分米）； 侧面：5X5X4=100 （平方分米）， 4X 4X 4=64（平方分米）。这个立体图形的

3、表面积为：50+100+64=214（平方分米）。 答：这个立体图形的表面积为214 平方分米 例 2 下图是一个棱长为 2 厘米的正方体，在正方体上表面的正中，向下 挖一个棱长为1厘米的正方体小洞，接着在小洞的底面正中向下挖一个棱 长为扌厘米的正方体小洞，第三个正方体小洞的挖法与前两个相同，棱长为 扌厘米，那么最后得到的立体图形的表面积是多少平方厘米？分析 这道题的难点是洞里的表面积不易求.在小洞里，平行于上下表面的 所有面的面积和等于边长为 1 厘米的正方形的面积，这个边长为 1 厘米的 正方形再与图中阴影部分的面积合在一起正好是边长为 2厘米的正方体 的上表面的面积.这个立体图形的表面积

4、分成两部分：上下方向：2 个边长为 2 厘米的正方形的面积边长为3厘米的4个正方形的面积和， 边长为1厘米的4个正方形的面积和, 侧面：边长为土厘米的4个正方形的面积和，边长为扌厘米的4个正方形的面积和，解：平行于上下表面的各面面积之和：2X2X2 = 8 （平方厘米）；侧面：2X2X4=16 （平方厘米），1X1X4 = 4 （平方厘米），1 （平方厘米）扌X卜4 =扌平方厘氷）o：这个立体图形的表面积为：8 + 1E + 4 + 1 +扌=29占平方厘米）:。答：这个立体图形的表面积为跆扌平方厘米。例3 把 19 个棱长为1厘米的正方体重叠在一起，按右图中的方式拼成一 个立体图形.求这个立

5、体图形的表面积。分析 从上下、左右、前后看时的平面图形分别由下面三图表示。因此，这个立体图形的表面积为：上下面左右面前后面2 个上面 +2 个左面 +2 个前面。 解：上面的面积为：9 平方厘米， 左面的面积为：8 平方厘米， 前面的面积为：10 平方厘米。 因此，这个立体图形的表面积为：（9 + 8 + 10）X2 = 54 （平方厘米）。答：这个立体图形的表面积为 54 平方厘米。例4 一个正方体形状的木块，棱长为1 米，沿着水平方向将它锯成3 片， 每片又按任意尺寸锯成 4 条，每条又按任意尺寸锯成 5 小块，共得到大大 小小的长方体60块，如下图.问这60块长方体表面积的和是多少平方米

6、？分析 原来的正方体有六个外表面，每个面的面积是1 X 1 = 1 （平方米） 无论后来锯成多少块，这六个外表面的 6 平方米总是被计入后来的小木块 的表面积的.再考虑每锯一刀，就会得到两个 1平方米的表面，现在一共 锯了： 2+3+4 = 9 （刀），一共得到18平方米的表面.因此，总的表面积为: 6+（2+3 + 4）X2 = 24 （平方米）。解：每锯一刀，就会得到两个 1 平方米的表面，1X2=2 （平方米）一共锯了： 2+3 + 4 = 9 （刀），得到：2X9 = 18 （平方米）的表面。因此，这大大小小的 60 块长方体的表面积的和为：6+18=24（平方米）。答：这60块长方体

7、表面积的和为 24 平方米.例 5 有一些棱长是 1 厘米的正方体，共 1993 个，要拼成一个大长方体， 问表面积最小是多少？解：因为 1993 是一个质数，所以这1993 个正方体只能摆成长1993 厘米、宽 1 厘米、高 1 厘米的长方体，因此这个长方体的表面积为：1993X1X4+1X1X2 = 7974 （平方厘米）。答：摆成的大长方体表面积最小是7974 平方厘米。例6 用12 个长5厘米、宽4 厘米、高3 厘米的长方体码放成一个表面积 最小的长方体. 码放后得到的这个长方体的表面积是多少？分析 用这12 个长方体可以码放出许多种不同的长方体，当然得到的表面 积就不会相同. 我们可

8、以把所有不同情况下的长方体的表面积都计算出 来，再选出最小值，但这样做，会浪费很多时间，情况还不一定考虑得周 全，因此，要考虑有没有巧妙的方法. 先重申一下基本原理：在体积固定的所有长方体中，只有各棱长相等的立方体，其各棱长之 和为最小，其表面积也最小。因为所给长方体的长、宽、高都已确定，而且已知是 12 个长方体， 所以拼成的这个大长方体的体积就已固定（3X4X5X 12 = 720立方厘米）. 因为这个大长方体的体积不是一个立方数，因而不可能使各棱长都相等， 但我们可以使长方体的长、宽、高这三个数尽可能地接近，这样使其各棱 长之和为最小，这个大长方体的表面积也最小。解：一方面12=22X3

9、,另一方面，长、宽、高应尽量接近，观察到720 （立方厘米）=8 （厘米）X9 （厘米）X10 （厘米），并且有5X2=10 （厘米），4X2=8 （厘米），3X3 = 9 （厘米）.拼成的大长方体的长、宽、高分别为10厘米、 8厘米、 9厘米，这时 长方体的表面积为：（10X9+10X8 + 9X8）X2=484 （平方厘米）。答：码放后得到的这个长方体的表面积为484平方厘米。习题三1. 如右图所示，由三个正方体木块粘合而成的模型，它们的棱长分别 为 1 米、 2 米、 4 米，要在表面涂刷油漆，如果大正方体的下面不涂油漆， 则模型涂刷油漆的面积是多少平方米？2. 将高都是1米，底面半径分

10、别是1.5米、 1米和0.5米的三个圆柱体如右图所示组成一个物体，求这个物体的表面积（n取为3.14）。3. 小明小制作时把 6 个棱长分别为 1、 2、 3、 4、 5、 6（单位：分米） 的正方体按由大到小的顺序码放成一个宝塔，并且把重合部分用胶固定粘 牢，再把所有外露的部分涂上油漆，交给老师.所有涂上油漆部分的面积 是多少平方分米？4. 有 30个棱长为 1米的正方体，在地面上摆成如右图的形式，求这 个立体图形的表面积是多少平方米？5下面（a）中的一些积木是由16块棱长为2厘米的正方体堆成的, 它的表面积是多少平方厘米？6. 个正方体的棱长为4厘米，在它的前、后、左、右、上、下各面 中心

11、各挖去一个棱长为 1 厘米的正方体做成一种玩具，求这个玩具的表面 积. 如果把本题的条件“4 厘米”改换为“3 厘米”，那么这个玩具的表面 积是多少？（图（ b）。7. 下图（c）中是一个表面被涂上红色的棱长为10厘米的正方体木块, 如果把它沿着虚线切成 8 个正方体，这些小正方体中没有被涂上红色的所 有表面的面积和是多少平方厘米？8. 有一个棱长为 5 厘米的正方体木块，从它的每一个面看都有一个穿 透“十字形”的孔（如左图阴影部分），如果将其全部浸入黄漆后取出， 晒干后，再切成棱长为 1 厘米的小正方体，这些小正方体未被染上黄漆的 面积总和是多少？习题三解答1. 解：4X4+（1X1 + 2

12、X2 + 4X4）X4=100（平方米）。答：模型涂刷油漆的面积是 100 平方米。2. 解：n X1.52X2 + 2n X（O.5+1+1.5）X1= 32.97 （平方米）。答：这个物体的表面积为 32.97 平方米。3. 解： 62X2（1222324252+62）X4=436（平方分米）。答：涂上油漆部分的面积是 436 平方分米。4. 解： 42X2（121X21X31X4）X4= 72（平方米）。答：这个立体图形的表面积为 72 平方米。5. 解：上下方向： 22X 9X 2=72（平方厘米），前后方向：22 X 7 X 2 = 56 （平方厘米），左右方向：22 X 9 X 2

13、 = 72 （平方厘米），（计算左右方向面积时，请注意底层前部凹进去的二个侧面） .表面积为： 725672=200（平方厘米）。答：立体图形的表面积为 200 平方厘米。6. 解：由于本题所给出的正方体棱长为 4 厘米，从六个面的中心位置 各挖去一个棱长为1厘米的正方体，这样得到的玩具中心部分是实体。原正方体的表面积为： 42X 6=96（平方厘米） . 在它的六个面各挖去 一个棱长为1厘米的正方体后增加的面积为：4X4X6=24 （平方厘米），这个玩具的表面积为： 96+24=120（平方厘米）。答：这个玩具的表面积为 120平方厘米。如果把本题的条件“4厘米”改换成“3厘米”，那么解法就

14、要发生 变化，因为挖去六个小正方体后，大正方体的中心部分即与其主体脱离， 这时得到的新玩具是镂空的.把这个玩具分成20部分， 8个“角”和12 条“梁”，如右图。每个“角”为棱长1厘米的小正方体，它外露部分的面积为：12X3=3 （平方厘米），则8个“角”外露部分的面积为：3X8=24 （平方厘米）。每条“梁”为棱长 1 厘米的小正方体，它外露部分的面积为： 12X4 =4 （平方厘米），则12条“梁”外露部分的面积为：4X12=48 （平方厘米）。这个玩具的表面积为： 2448=72（平方厘米）。答：这个玩具的表面积为 72 平方厘米。7. 解：102X（3 X 2）=600 （平方厘米）答

15、：这些小正方体中没有被涂上红色的所有表面的面积和为 600 平方 厘米。8解：先求切成棱长为1厘米的小正方体后，所有这些小正方体的 表面积：把这个几何体分成 20 部分， 8 个“角”和 12 条“梁” . 每个“角” 有 8 个小正方体，则 8 个“角”共有 8X8=64 个小正方体.每条“梁”有 1 个小正方体，则 12 条“梁”共有 1X12=12 个小正 方体。所以共有小正方体： 6412=76 个），这些小正方体的表面积和为 12X6X 76=456（平方厘米）。再求被染上黄漆的面积总和：8 个“角”被染上黄漆的面的个数：（4X6-3）X8 = 168 （个）。12条“梁”被染上黄漆的面的个数：4X12=48 （个）被染上黄漆的 面积总和为：12X（16848） =216（平方厘米）。最后求未被染上黄漆的面积总和：456-216=240（平方厘米）。答：这些小正方体未被染上黄漆的面积总和为 240 平方厘米.