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1、Simulink中连续与离散模型的区别matlab/simulink/simpowersystem中连续vs离散!本文中的一些具体数学推导见下面：计算机仿真技术1.连续系统vs离散系统 连续系统是指系统状态的改变在时间上是连续的，从数学建模的角度来看，可以分为连续时间模型、离散时间模型、混合时间模型。其实在simpowersystem的库中根本所有模型都属于连续系统，因为其对应的物理世界一般是电机、电源、电力电子器件等等。 离散系统是指系统状态的改变只发生在某些时间点上，而且往往是随机的，比如说某一路口一天的人流量，对离散模型的计算机仿真没有实际意义，只有统计学上的意义，所以在simpower
2、system中是没有模型属于离散系统的。但是在选取模型，以与仿真算法的选择时，常常提到的discrete model、discrete solver、discrete simulate type等等中的离散到底是指呢？其实它是指时间上的离散，也就是指离散时间模型。 下文中提到的连续就是指时间上的连续，连续模型就是指连续时间模型。离散就是指时间上的离散，离散模型就是指离散时间模型，而在物理世界中他们都同属于连续系统。为要将一个连续模型离散化呢？主要是是从系统的数学模型来考虑的，前者是用微分方程来建模的，而后者是用差分方程来建模的，并且差分方程更适合计算机计算，并且前者的仿真算法simulatio
3、nsolver用的是数值积分的方法，而后者如此是采用差分方程的状态更新离散算法。 在simpowersystem库中，对某些物理器件，既给出的它的连续模型，也给出了它的离散模型，例如：离散模型一个很重要的参数就是采样时间sampletime，如何从数学建模的角度将一个连续模型离散化，后面会有介绍。在simpowersystem中常用powergui这个工具来将系统中的连续模型离散以便采用discrete算法便于计算机计算。 下载附件 保存到相册2013-9-14 19:09 上传 2.连续模型的数学建模vs离散模型的数学建模Note：这里的连续和离散都是指时间上的连续和离散，无关乎现实世界的连
4、续系统和离散系统。所谓数学建模就是用样的数学语言来描述模型， 连续系统的数学模型通常可以用以下几种形式表示：微分方程、传递函数、状态空间表达式，这三中形式是可以相互转换的，其中又以状态空间表达式最有利于计算机计算。 微分方程：一个连续系统可以表示成高阶微分方程，即 下载附件 保存到相册2013-9-14 19:10 上传 传递函数上式两边取拉普拉斯变换，假设 y 与 u 的各阶导数(包括零阶)的初值均为零，如此有 下载附件 保存到相册2013-9-14 19:10 上传 于是便得微分方程的传递函数描述形式如下： 下载附件 保存到相册2013-9-14 19:11 上传 状态空间表达式线性定常系
5、统的状态空间表达式包括如下两个矩阵方程：下载附件 保存到相册2013-9-14 19:11 上传 7-1下载附件 保存到相册2013-9-14 19:11 上传 7-2式7-1由n 个一阶微分方程组成，称为状态方程；式7-2由l个线性代方程组称为输出方程因此获得如下的状态方程与输出方程令a0=1 :下载附件 保存到相册2013-9-14 19:12 上传离散模型假定一个系统的输入量、输出量与其内部状态量是时间的离散函数，即为一个时间序列： 捕获.JPG (9.81 KB, 下载次数: 6)下载附件 保存到相册2013-9-14 17:50 上传，其中T为离散时间间隔，其实T也就是上文中的sam
6、ple time。Note：再强调一次，这里的离散模型是指离散时间模型，与现实世界中的离散事件模型没有任何关系，在simpowersystem中所讲的离散都是指时间上的离散，与我们在信号中学的那个离散概念没有关系。离散时间模型有差分方程、离散传递函数、权序列、离散状态空间模型等形式。差分方程差分方程的一般表达式为： 下载附件 保存到相册2013-9-14 19:13 上传 同样差分方程可以转换成后面那些表达形式。3.连续模型的离散化假设连续系统的状态方程为捕获.JPG (8.54 KB, 下载次数: 6)下载附件 保存到相册2013-9-14 17:52 上传现在人为地在系统的输入与输出端加上
7、采样开关，同时为了使输入信号复员 为原来的信号，在输入端还要加一个保持器，如下列图。现假定它为零阶保持器，即假定输入向量的所有分量在任意两个依次相连的采样瞬时为常值，比如，对第n个采样周期u(t)=u(nt)，其中 T 为采样间隔。 下载附件 保存到相册2013-9-14 19:13 上传 由采样定理可知，当采样频率ws和信号最大频率wmax满足ws2wmax的条件时，可由采样后的信号唯一地确定原始信号。把采样后的离散信号通过一个低通滤波器，即可实现信号 的重构。值得注意的是，图所示的采样器和保持器实际上是不存在的，而是为了将式离散化而虚构的。下面对上式进展求解，对方程式两边进展拉普拉斯变换，
8、得 即 下载附件 保存到相册2013-9-14 17:55 上传 通过一系列的拉斯反变换和卷积，最终得到其差分方程具体过程不用关心下载附件 保存到相册2013-9-14 17:56 上传下载附件 保存到相册2013-9-14 19:15 上传统称为系统的离散系数矩阵。 在转换过程中引入了一个重要参数T，即采样间隔，也就是采样时间，不管是powergui还是其他离散模型，只要涉与到离散，都必然会涉与到sampletime，如如下图下载附件 保存到相册2013-9-14 19:15 上传那么sample time 一般取多大呢，一直满足采样定理即可，即信号的采样频率大于信号本身最大频率的2倍即可。
9、4. simulator连续模型的仿真算法simulatesolver，也可译成仿真解算器和步长的概念。下载附件 保存到相册2013-9-14 19:16 上传连续系统的计算机仿真算法是数值积分法，即计算机用数值积分来解微分方程，从而得到其近似解。具体方法如下 欧拉法和改良的欧拉法：现有微分方程如下： 下载附件 保存到相册2013-9-14 19:15 上传上式右端的积分，计算机是无法求出的，其几何意义为曲线ft,y在区间(ti ,ti+1)上的面积。当(ti ,ti+1)充分小时，可用矩形面积来近似代替： 下载附件 保存到相册2013-9-14 19:17 上传其中h即为积分步长。Note:
10、在simulator仿真计算时，h实际为仿真时间间隔。因此可得下式： 下载附件 保存到相册2013-9-14 19:17 上传因此只要知道当前状态和步长，便可得到下一状态。其几何意义如下： 下载附件 保存到相册2013-9-14 17:58 上传分析其误差特性：由泰勒展式可得：下载附件 保存到相册2013-9-14 17:58 上传可知其截断误差 下载附件 保存到相册2013-9-14 17:59 上传是和步长h2成正比的，因此计算机在计算时，假如要使近似积分精度更高，就要减小步长，但会增加截断误差。改良的欧拉法校正法对积分公式()式利用梯形面积公式计算其右端积分，得到 下载附件 保存到相册2
11、013-9-14 18:00 上传将上式写成递推差分格式为： 下载附件 保存到相册2013-9-14 18:01 上传从上式可以看出，在计算 yn+1中，需要知道fn+1，而fn+1=f(tn+1,fn+1)又依赖于yn+1本身。因此要首先利用欧拉法计算每一个预估的ypn+1，以此值代入原方程式计算fpn+1，最后利用下式求修正后的ypn+1。所以改良的欧拉法可描述为 image098.jpg (5.1 KB, 下载次数: 6)下载附件 保存到相册2013-9-14 17:39 上传 龙格库塔法rung-kuta欧拉法是将 image099.jpg (14.94 KB, 下载次数: 6)下载附
12、件 保存到相册2013-9-14 17:39 上传经泰勒级数展开并截去h2以后各项得到的一阶一步法，所以精度较低。如果将展开式多取几项以后截断，就得到精度较高的高阶数值解，但直接使用泰勒级数展开式要计算函数的高阶导数较难。龙格库塔法是采用间接利用泰勒级数展开式的思路，即用在n个点上的函数值f的线性组合来 代替f的导数，然后按泰勒级数展开式确定其中的系数，以提高算法的阶数。这样既能防止计算函数的导数，同时又 保证了计算精度。由于龙格库塔法具有许多优点，故在许多仿真程序包中，它是一个最根本的算法之 一。线性多步法以上所述的数值解法均为单步法。在计算中只要知道 下载附件 保存到相册2013-9-14
13、 18:07 上传。也就是说，根据初始条件可以递推计算出相继各时刻的y值，所以这种方法都可以自启动。 下面要介绍的是另一类算法，即多步法。用这类算法求解时，可能需要 image101.jpg (13.92 KB, 下载次数: 6)下载附件 保存到相册2013-9-14 17:39 上传各时刻的值。显然多步法计算公式不能自启动，并且在计算过程中占用的内存较大，但可以提高计算精度和速度。例如：亚当斯贝希霍斯显式多步法刚性stiff系统解法所谓刚性系统，就是用来描叙这类系统的微分方程的解，往往是由多个时间常数共同作用的，其中某些小时间常数对解的影响往往是微乎其微但确实不可或缺的。例如下式是一个简单刚性系统微分方程的解：下载附件 保存到相册2013-9-14 18:07 上传image105.jpg (10.19 KB, 下载次数: 6)下载附件 保存到相册2013-9-14 17:39 上传当时间较大时特征解-1000几乎对方程不起任何作用，但开始时有不能忽略e-1000t的影响，因此假如前面介绍的计算机数值解法，为了保证解的稳定性在选取步长h时，必须保证1000h较小，也就是说步长h必须十分的小，这必然会增大计算次数，增大计算时间，而又因为在t一定大时，e-1000t 几乎不起作用，因此这种增大次数又不会对计算精度有多
