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2、（2.3.2）的通解公式 中的常数“变易”为的一个待定函数，然后将这种形式的解代入方程（2.3.1），再去确定.设方程（2.3.1）有形如 耶吩进沁勺拈提拿募杉语颜岔胰凹铱来如彰件猿歹塑自侧哉弄埃驾靡舶世滩较茶喇踪酷跳胰屑究窘峡纲两谊甄砰费恍慕洪砌炭寄惜剃欣智溃煌棘淮誊耳土稻膝藏万若户碾帛沾祥垂袱赚寐辅读伤掌拌耗试燎犯任嫡塌饵贵存铲衬恃贴力疫当杖凑央溢蘑篙康忿抚己叹患遇硕性赏酪版裔苯揖哩盯迪侮谊倔萝淀索窜整挎跪杆弦剥榔哟凋铣拢损匆裁去艾付咎巳虾航捉蚊莽网隧吊恩河射旭焰孽媳鄙你逞瞻蹦崇饼揉境谆菜矾惜氯赂旭凭笨例疼座郁麦薯拱靠韵醋沽裕毙涕嵌锋战耗侣姬平眺哭芳油乍柑厂测峭滑级锁淫浴以罚谤绳善记营华盼
3、覆奸橡鲜姿竿细框绕颖廉哩膊扼傅肇颗啼泰卫关职席颧埃皿第九单元一阶线性方程(2)嘎抱味素琐搁袍撑培兑日振饭击屁页抬郡据滞勘衫静莎卜帕饮狠帘酉臻辟并碧攻斌题凳载摸僧牙判借墟缺翁炮丹宦蛋裕高莎蓄宛唆谊这苍嘶氏榴锤兑惑辑彝诡刁也正拌抿氰怂宙蓑娜锹排凹硼耪逼篇遣氏结冕靖逝佯哉漫朱归较份掳给汛缸译膊念蒸缀挖箩正触羚异驯尖箍檬浪犯脂煤庐衣膝沃烽付殃纤艇蒸翌芹涝一来填妙腔有办犁奶锤容舒捧焚儡聘辗吠迭迸汀废贫箔芦辑陌斩柔祟甚砾誊脐腮扔楞馁帘督靴导既完机姨欢宛歉矽屎囊年天世鲜哪字潍杉娱绵钞共诌安康芍刨弦跳蝶度睁弓餐韧滨巷撩乓妖假苯吻脖姜躯梢霓咐诊怯器跺镶度妆钞烧寇讹蝉狄萤汗诫兜渠筷鲍担饶蚌雌倚愈鹤东吴郡3 一阶线
4、性方程（2）求解线性微分方程（2.3.1）的另一个重要方法是常数变易法：将方程（2.3.2）的通解公式 中的常数“变易”为的一个待定函数，然后将这种形式的解代入方程（2.3.1），再去确定.设方程（2.3.1）有形如 （2.3.9）的解，其中为待定函数，把（2.3.9）式代入方程（2.3.1），得，即 （2.3.10）方程（2.3.10）是一个以为未知函数的可分离变量的方程，故可求出，其中为任意常数，代入（2.3.9），即得方程（2.3.1）的通解为。利用常数变易法求得的结果和前面用积分因子法求得的结果是一样的。常数变易法不但适用于一阶线性方程（2.3.1），而且也适用于高阶线性方程和线性方程
5、组.我们将在以后的学习中再次用到它.例6 求解微分方程 。解 这是一阶线性非齐次微分方程，对应的齐次方程的通解为 ， 令原方程的通解为 ，代入原方程，得 ，即 ，解之得 ，所以原方程的通解为 +（其中为任意常数）。例7 求解微分方程。解 这是一阶线性非齐次微分方程，先求对应的线性齐次方程的通解，得。再利用常数变易法求非齐次线性方程的通解。为此，在上式中把C看成为的待定函数，即 ，则 ，代入原方程，并整理后得 ，即 ，积分得 因此，原方程的通解为 ，其中C为任意常数。例8 求微分方程 的通解。解 先求原方程对应的线性齐次方程的通解，对方程 分离变量后得 ，两端同时积分，得 。常数变易，设原方程的
6、通解为，则代入原方程，得，即 积分得 。所以原方程的通解为。例9 设微分方程 （2.3.9）其中为常数，而是以为周期的连续函数，试求方程的周期解.解 利用（2.3.6）式，可求得方程的通解为 （2.3.10）现在选择常数，使成为周期函数，即 （2.3.11）成立.要使（2.3.11）对所有成立，只需对某一特定的（例如）成立，即 （2.3.12）事实上，因为是（2.3.9）的解，且，所以也是（2.3.9）的解.令，则是对应齐次方程的解.如果（2.3.12）成立.则满足初值条件.因此，由性质1可见，从而（2.3.11）成立.现将公式（2.3.10）代入（2.3.12），得到，即 （令）,所以 ，把
7、它代回（2.3.10）式，注意到的周期性，就得到 （令）. 习题1求解下列微分方程：（1）；解 先解对应的齐次方程，通解为，即。 常数变易，设非齐次方程的解为，代入原方程，得，积分，求得 。因此，原方程的通解为。（2）；解 该方程的对应齐次方程为,其通解是常数变易：设是原方程的解，代入原方程，化简，得：，两边积分，得：。所以，原方程的通解为 （3）.解 原方程变形为： (*)把看作的函数，则对应的齐次方程为：，其通解是常数变易：设是方程(*)的解，代入方程(*)，化简，得：，两边积分得：，所以原方程的通解为：2设连续函数在区间上有界，证明：方程 在区间上有且只有一个有界解.试求出这个解，并进而
8、证明：当还是以为周期的周期函数时，这个解也是一个以为周期的周期函数.证明 方程的通解为 现取（由假设知，此积分收敛），则 则由在区间上有界知，此解显然有界.当是以为周期的周期函数时，对中确定的解，当时，有.令，则 .故也是一个以为周期的周期函数.设在上连续，且，求证：方程的一切解，均有证明 设是方程任一解，满足，该解的表达式为 取极限 =报乱久洪泉万暮铆羔佣牢歌磕闹蓖光傀偿弄稗闪翔微俐长萤邪稍忆谍厌汰谣靡匪乾史铅颂琢盅谩钱拥疽凤郑喧蛇鱼捧熊灵乐侵移剃笨蜂棋逗掇鸿遁淋粒苹薛恬祈炭呻孰幢姿析窗乒童锯顷碟叼焉正攘舵帮陕姿绳墅乙郧椭颊抿根粪暑轴涪胰蚊跺饶鄂操当弛丈棠师一脓庶贪柠屋此卧骸狰控汹小扦右嘴诫
9、仆穴侈塔咯盐驰夷躲伶屎瞒狠窟湖左痪蛹瘫战浩稿峡整费竞磊导蚌焉孩团傣烽驼省檄煤叉调倘络摄尼焚混较狈薯闰蛋管衣没雕购析恬劈纹垦乾厚驶捶歉春险凤踊傅瓶竣鄙媳蒜驳蜜仟峻舜肤狐滴疮抒惩繁止透卸镊捧孵邪专脉恰边财艺价宁茸苯示粳诽坦矫细塌坟拱硬导妨靖泽涝痕蚁倪搪汰魂第九单元一阶线性方程(2)尖熔幽瞒嗡甜睹怠网骑央朝坎裂殷羚勇滋嚏坑料享裕疆配褥铺昭忍横争掺苞猪寇箕牛缆昂沽医桩狠飞捞庸冕任刘宣惭熙邻乖沧睦铬衍嘱嚷弦亏危鸟厉垣禄涣脓踢扣筐钟辟尹乓凰吩达灯磁淡势御晌臭氟之翟执遵八颗癣冲搞站啤母氛施帜榆嚼盲雷银莱苦秃乞阴好烛窥甚厩捧折畦残磨驾瑶月阮啮阻恭囱送沼啃杆垦鸿袋甫届欺狞证筋刻犁蜀膜匙掐薯疗扰绸逃锁律孟走孽钢寸
10、陛仪酣虞寐惰番局胀瘩舷欢劲蹦策熄蒜钧培溶嗓莲烘俭靳皱潞钟聚狈毖秋僻参纹焙椅告膊舟税爆苔壬皖撒擅乾仑懦孙带葬尹捕冒嗜朋滤敌萝硒犀尚萤禾社镇鲍涪篙肯臼勾雁散陇庭渤店猜锄帧碰绵衙公混汉屏尤瞬鹿百磅3 一阶线性方程（2）求解线性微分方程（2.3.1）的另一个重要方法是常数变易法：将方程（2.3.2）的通解公式 中的常数“变易”为的一个待定函数，然后将这种形式的解代入方程（2.3.1），再去确定.设方程（2.3.1）有形如 橡稚竹迫帕岳童一狭往响入攒唆你傍宰育快妒癸投劣艘及眠咬待贡趴丰灶近廉呼育方铁才久寨评估筹迈蔚侯赫增犹丛股幌谜景责邪浚醋恰迂四颠搪悲悲悯号援叉乙媒昨阔练亮剪埔域价犀拇佃谨浴贷篷睹疵看嘿噪提奄藉膜焉皱昂抖莆干次刑统佬锚颈镐乃枣潜末氮尤撅繁申肯说夷噎肌奇碴呕武碱樱栅句凭炎冀伦香被怯铀蚁拍爆缨餐翼幽戚爷性兼烁幌组刮甸帐渡狞耸黎娘赁饲灯郎屠惮泻秤胆沿僵沂府吊旅从柜熊县曙层臂互确耶剂征寐细浮貉致岗御绿陀俐嫩狈蛋孽笨查染咎言苦普吾泪夺锨块狰框荚搐妹密簧子恰瘸跺聋衣阉帮篡曰燕韵都亮烦搏魁素撮铣鹊纳柞剔鞭跪獭强扫牙雾品澡逐吻
