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1、初等数论姓 名 XXX学 号 XXXXXXXX院 系 XXXXXXXXXXXXXXX专 业 XXXXXXXXXXXXXXX个人感想初等数论是一门古老的学科，它对于数的性质以及方程整数的解做了深入的 研究，是对中等数学数的理论的继续和提高。有时候上课听老师讲解一些例题，觉得比较简单，结果便是懂非懂地草草了 之，但是过段时间做老师留下的一些相似的课后练习时， 又毫无头绪，无从下手。 这就是上课的时候没做到全神贯注地去听， 所以课下的时间尤为重要，一定做好 复习巩固的工作。老师讲课的方法也十分好，每次上课都会花二十分钟到半个小时来对上节课 的知识帮助我们进行回顾，我想很多同学都喜欢并适合这种教学方式
2、。知识点总结第一章整数的可除性1. 定义：设a,b是给定的数，b 0，若存在整数c，使得a be则称b整除a， 记作b|a，并称b是a的一个约数，称a是b的一个倍数，如果不存在上述e，则 称b不能整除a2性质：若b|e且e|a，则b|a(传递性质)；(2) 若b |a且b|e，则b | (a e)即为某一整数倍数的整数之集关于加、减运算封闭。若反复运用这一性质，易知b |a及b| e，则对于任意的整数u,v有b| (au ev)。n更一般，若aa?, , an都是b的倍数，则b|(a a?an)。或着a |bi，则a |cbi 1其中 g Z,i 1,2 ,n ；若b|a，则或者a 0,或者|
3、a| |b|，因此若b|a且a|b，则a b ； a,b互质，若 a |e,b | e，则 ab | e；p是质数，若p|aia? an，则p能整除ai,a?, ,an中的某一个；特别地，若p是质数，若 p|an，则p | a ;(6) (带余数除法)设a, b为整数，b 0，则存在整数q和r，使得a bq r，其中0 r b，并且q和r由上述条件唯一确定；整数 q被称为a被b除得的(不完 全)商，数r称为a被b除得的余数。注意：r共有b种可能的取值：0,1 , ,b 1。若r 0，即为a被b整除的情形；易知，带余除法中的商实际上为-(不超过-的最大整数)，而带余除法的核bb心是关于余数r的不
4、等式：0 r b。证明b|a的基本手法是将a分解为b与一个整数之积，在较为初级的问题中，这种数的分解常通过在一些代数式的分解中 取特殊值而产生若n是正整数，则xnyn(xn 1n 2n 2n 1 y)(xx yxyy )；若n是正奇数，则xnyn (xy)(xn 1 xn 设：是方程的一组解，则不定方程有无穷解，其一切解可表示成yxyn 2 yn1);(在上式中用y代y)nm(7) 如果在等式 abk中取去某一项外，其余各项均为 c的倍数，则这一项也1 k 1是c的倍数；(8) n个连续整数中，有且只有一个是 n的倍数；xX。yy。b1ta1tt0, 1, 2,(9) 任何n个连续的整数之积一
5、定是n!的倍数，特别地，三个连续的正整数之积 能被6整除；第章不定方程1.定义：一兀一次不疋方程的一般形式是ax +by = c，其中a,b,c是整数2.定理：(1) 不定方程有整数解的充要条件为(a,b) | c.其中a1(盘43.不定方程的解法:b(a, b)(1) 观察法：当a,b的绝对值较小时可直接观察不定方程的一组特解 二、：，然后用X。S得到其所有解yyoait(2) 公式法：当a,b的绝对值较小时，可用公式qk k 1 k 2得到特解XoqkQ 1 R 2(1)n Q,y。( 1)nPn，然Po1, Pqi, PkQo, Qi, Q后用公式写出一切解。q为a,b作辗转相除时不完全
6、商(3)整数分离法：当a,b中系数不同时，用绝对值较小的系数后的变量表示另一个变量，通过变量替换得到一个新的不定方程。 数为1，而得到不定方程的解。如此反复，直到一个参数的系(4)化为同余方程axc(mod | b |)4.多元一次不定方程(1)定义：形如a1X1a2X2anXndn2)的不定方程多元一次不定方程(2 )定理：a1X1a2X2anXnc(n2)有解的充要条件是(乩g(3) 解法:设(a1, a2)d2,(d2,a3) d?, (dn 1,an)dn，贝Ua1X1a1x1d 2t 2dn tna2X2anXndn 2)等价于方程组a2X2d 2t 2 ,a3X3d3：3先解最后一
7、个方程的解，得tn 1,Xn然后把其代入倒数第二1anXnC个方程求得一切解，如此向上重复进行，求得所有方程的解5. 勾股数定义：一般地称X2+y2=z2的正整数解为勾股数定理：在条件x0，y0，z0， (x，y) =1，2 I x的条件下x2+y2=z2的通解公式为 x=2ab，y=a2-b2，z2=a2+b2， ab0 , (a ,b)=1，a ,b 一奇一偶第三章同余1.定义：下列同余述是等价的(1)a b (mod m ;存在整数q,使得a =bqm存在整数q1,q2,使得a =q1mr, b = q2mr, 0 r m2.性质：(1)(自反性)aa (modm ；(对称性)ab (m
8、odmba (mod m；(传递性)ab, bc (mod ma c (mod m)。设 a, b, c, d 是整数，并且 a b (mod m) , c d (mod n),则(i ) a c b d (mod n)(ii) ac bd (mod n)设ai, bi (0 i n)以及x, y都是整数，并且x y (mod m , aib (modm , 0 in,贝Unnai xibi yi (mod m).i 0i 03. 设m是一个给定的正整数，Kr r 0,1,L ,m 1表示所有形如qm r q 0, 1, 2,L的整数组成的集合，则称心心丄，心1为模m的剩余类(1) 设m 0,
9、心，心丄,Km1是模m的剩余类，贝U(i) 每一整数必包含于某一个类里，而且只能包含于一个类里；(ii) 两个整数x, y属于同一类的充分必要条件是 x y modm .4. 在模m的剩余类 心,心丄,Km 1中，各取一数aj Cj, j 0,1,L ,m 1，此m个 数a0,a1 ,L , am 1称为模m的一个完全剩余系(m个整数作成模m的一个完全剩余 系的充分必要条件是这m个整数两两对模m不同余)(1) 设m是一个正整数，a,b都为整数，a,m 1,若x通过模m的一个完全剩余系，则ax b也通过模m的一个完全剩余系(2) 设口 0,m2 0, m!,m21，而捲兀分别通过模 mm?的一个
10、完全剩余系，则 m2x! m|X2通过模mim2的一个完全剩余系5. 欧拉函数：(m)是1,2,m中与m互质的个数，称为欧拉函数1 1(1) 欧拉函数值的计算公式：若m = pjp22P nn,则m)= m (1一)(1一)1 111(1 - pn)， 如 30= 235，贝U (30) 30(1 -)(1 -)(1 -) 8.(2) 若 p 为素数，则(p) p 1, ( pk) pk 1(p 1),若 p 为合数，则(p) p 2,(3) 不超过n且与n互质的所有正整数的和为(n)2(4) 若(a,b)1 (ab) (a) (b),若 a b (a) (b)(5) 设d为n的正约数，则不大
11、于 n且与n有最大公因数d的正整数个数为(丄)，d同时 (d)(-) nd nd n d6. 欧拉定理：若(a, m) = 1,贝U a三 1(mod m)7. 费马定理：若p是素数，则ap=a(mod p) 若另上条件(a, p) = 1,则ap-1 = 1(modp)第四章同余方程1.定义：设 f(x) anX na/ao，ai乙 m Z ，则f (x)0(mod m)叫做模m的同余方程。若anQmod m),则称n为同余方程的次数。若f(c)G(mod m)，则xc(mod m)称为同余式的解；模 m的一个完全剩余系中满足同余方程的个数称为满足同余方程的解数注：对模m互相同余的解是同一个
12、解2. 一次同余方程的一般形式为 ax= b(mod m)，a /0(mod m)，有解的充要条件 是(a,m)|b,若有解则有d=(a,m)个关于模m的解3. 一次同余方程ax= b(mod m)的解法(1) 化为不定方程ax+my=b(2) 利用欧拉定理，若(a,m)=1,则有ax= b(mod m),两边同乘a 1则有a (m)xba (m) 1(mod m)，因为 a (m) 1(mod m)，因此 x ba (m) 1(mod m)(3) 用形式分数当(a，m) =1时，若ab 1(modm),则记b(modm称为形式分数，根据定义和记号，a c a (mod m有性质ccmti(a
13、) -(modg, tit Zaa mt2c c(b) (d, m =1，且a dai，cd。，则二-(mod m)利用形式分数的性质a1a把分母变成1,从而求出一次同余式的解4. 一次同余方程组的解法定义：如下(*)称为一次同余方程组x=b i(mod m)x=b2(mod m2) (*)x=b k(mod mk)有解判定定理：同余方程组(*)有解的充要条件是(m, m ) I bbj, i j5. 孙子定理：设m, %, g，两两互素，则同余式(*)组的解为xM1 M1b1M2M2b2Mk Mkbk(mod m )m mm m注：若给出的同余方程组不是标准形式， 必须注意化为标准形式，同时
14、我们得到 的有解的判别定理及求解方法都是在这一标准形式得到的6. 高次同余方程(1)定义：次数大于1的同余方程称为高次同余方程a1xaof (x) 0(mod m)， f (x) a*xn对一般模的高次同余方程我们要通过“小模”和“降次”的方法来得到一般模的 高次同余方程的解(2) 小模：即把一般模高次同等方程转化为一系列模两两互素的高次同余方程 组注：因为mP11p22Pkk，所以f (x) Qmod m)等价于同余方程组f (x) 0(mod p i i ), i 1,2 k，即原方程可化为解 f(x)0(mod p )，而若x是f(x) 0(mod p )的解，所以理论上只要解素数模f(x)0(mod p)同余方程即可(3) 降次：设p是素数，f(x) a*xn a/ a，是整系数多项式，设X1是f (x)qm
