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1、非惯性系中的“弹簧双振子模型”浙江省海盐元济高级中学(314300) 王建峰 魏俊枭一、“弹簧双振子模型”的含义如图一所示，质量分别为mA和mB的两物块A和B，A、B可视为质点，用一根劲度系数为k的轻 质弹簧连接起来，放在光滑水平面上，弹簧原长为 l 。可以将 A0振子模型”。 该模型在近几年的全国中学生物理竞赛中屡屡出现其原因它不但涉及力与运动、动量与能量等物理知识，而且 物理过程复杂、运动情景难以想象，对学生分析、解决问题 的能力提出了较高的要求。因此，帮助学生认清该模型的特/点，掌握分析该模型的一般方法，并能够适当地变式处理此 类问题，无疑对参加全国中学物理竞赛有很大的帮助。二、非惯性系
2、中的“弹簧双振子模型” 牛顿运动定律不成立的参照系称为非惯性系。非惯性系相对惯性系必然做加速运动或旋转运动。为了使牛顿运动定律在非惯性中也能使用，可人为地引入一个惯性力。如果非惯性系相对惯性系有平动加速 度a，那么只要认为非惯性系中的所有物体都受到一个大小为ma、方向与a的方向相反的惯性力，牛顿运 动定律即可成立。如果非惯性系相对惯性系有转动加速度，也可引进惯性离心力和科里奥利力，这两个力 不仅与非惯性系的转动角速度有关，还与研究对象的位置和运动速度有关，在此对转动情况不作讨论。下 面就“弹簧双振子模型”在非惯性系(只有平动加速度)中的运动规律作一些简单探讨。情景:如图二所示，在一个劲度系数为
3、k的轻质弹B 和弹簧组成的系统装置称为“弹簧双从反馈情况来看失分是相当严重的。究(图一)簧(两端绝缘)分别拴着荷质比为q j 与荷质比为q mA的两个带正电的小球，且qy = q/，系统置于光滑水 / m 7 mAB平面，处在水平的匀强电场中，电场强度为E, A端用细线(图二)拴住，系统处于静止状态，此时弹簧长度为/，弹簧原长l。0现将细线烧断，试确定A、B在任意时刻的所处位置。(A、解析：以质心为参考系(质心系)，则质心C是静止的，连接A、B的弹簧仍可以看成两断，左边B 两球的相互作用力忽略不计)一段原长为/_ 叫1 1 _AO m + mAB/，劲度系数为0m + mBAmBk ;右边一段
4、原长为l _ Jk1_BO m + m ABl ，劲度系数为0m + mBAmA1Im m;A B 、m + m )ABk ；振动周期都是T = 2“对 B 球有k (l - l )= Eq0B以地面为参考系，建立如图二所示的坐标系，即以A为坐标原点，向右为正方向。质心做匀加速运动，加速度，在t = 0时刻，即细线刚烧断时刻，A位于Ox轴的原点O处，即x (o)= 0 ;AE (q + q )a _Am +mABB的坐标x (o)_ l。质心的坐标为x (0)_mBBCCm + mAB1m 丄 E (q + q )x (t) _ x (0) + at 2 _B l + A B t2CC2m +
5、m2 m +mABAB在非惯性参考系中，A、B还受惯性力作用，建立如图二所示的坐标系，即以质心oi为坐标原点,在细线烧断以后，任意时 刻t质心的位 置坐标轴O，x，向右为正方向。原点O，与质心固定，当小球B在这参考系中的坐标为x，时，作用于B的合力BF = - k Cl )B B BB01+ EqBm a = - kBBmAm + mAm EqX = x，-A (l B )BB m + mkABA+mABEqB )k由上式可知在质心系中，B的平衡位置的坐标x，B0且作用于B的合力具有弹性力的性质，故在FB作用下，B将在平衡位置附近作简谐振动，离开平衡位置B的位移X = A cos t + 申B
6、 B B B)，AB为振幅,申为初相位。在t = 0时刻，B是静止的,B振幅AB就是此时BB离开其平衡位置x的距离B0又因 t = 0， XB =AB，BB由此得ml Am + mABm二Am + mAB且XB是正的，故申=oBBEqm Eq(l B ) =A Bk( m + mA)km EqX = AB cos B (m + m )k AB (m + m ) k -Ai m mAt丿所以 t 时刻 B 在质心系中的坐标x 7 )=-Bm +mABEqEqm(l B ) + A B cos k(m + m )kAB(、7i (m + m ) k” t丿1)在地面参考系的坐标x (t )= x
7、(t) + x f (t ) Bm 丄 E (qx ) =B l +Bm +m2AB同理得t时刻A在地面参考系的坐标为+ q )A B tm +mABm Eq+ A(l B ) +m +mkABm EqA B cos( m + m ) kAB (m + m ) kABm mA Bt丿2)()1 E (q + q )m Eq x Vt 丿二A L t 2 + B B | 1 - COSA 2 m + m(m + m ) k |ABAB LI (m + m ) k I A B tm mA B丿三、非惯性系中的“弹簧双振子模型”在物理竞赛中的应用(第22届全国中学生物理竞赛复赛第七题)如图所示，在一
8、个劲度系数为 k的轻质弹簧两端分别拴着一个质量为m的小球A和质量为2m的小球B. A用 细线拴住悬挂起来，系统处于静止状态，此时弹簧长度为 l 现将细线烧断，并 以此时为计时零点，取一相对地面静止的、竖直向下为正方向的坐标轴Ox,原点O 与此时 A 球的位置重合如图三所示试求任意时刻两球的坐标3)(图三)解析：细线烧断后，整个系统在重力场中作匀加速运动，A、B处在非惯性系中。由前面分析可知： A 、B 相对质心作简诣运动，质心做自由落体运动。 A 、 B 振动的周期!mm_ _ 2斤：2m ； t时刻B在质心系中的位置坐标（代入1式）得:.A B_ 2 兀k （m + m ）3 kABx f
9、(t)_BmAm + mABm gm m g（1 、1( m + m ) k12 mg2 mgI 3 k )B ) +A Bcos1 ABt_ (1 -)+cos丿 tk(m + m ) kVm m3k3ki 2 mABIAB丿I丿(l在地面参考系中的位置坐标（代入2式）得:12 mg/I 3 k )1x (t) _ 1 +gt 2 -1 一 cos1tB23k2 m丿t时刻A在质心系中的位置坐标（代入3式）得:x (t ) _A2_1 +31gt 222 mgk4 mg3kcos(1 、1 - costI 2 m 丿1 4 mg gt 2 +2 3k“弹簧振子模型”在近几年的全国物理竞赛中以各种情景频频亮相。如第20 届复赛中的“人造卫 星受地球引力作用下的卫星单振子”、第21 届复赛中的“电磁感应中的惯性系双振子”、第22 届复赛中的 “力学非惯性系双振子”。总之，我们要深入思考、敢于联想，善于用变化的、联系的观点去分析各种情 景，抽象出模型本质，方能提高自己的解题能力，进而不断地提高科学的思维品质。
