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1、信号采样与恢复过程中的混叠及其滤波一、实验目的:(1)理解连续时间信号的采样与恢复过程;(2)掌握采样序列的频域分析和滤波,信号的恢复,掌握Shannon采样定理;(3)学会利用MATLAB软件分析信号采样、滤波与恢复的过程。(4)学会FIR滤波器的简单设计方法二、实验内容:给定原始信号如下式所示:,其中,是信号原始频率(本实验中为自选常数,为低频,为高频)。确定一个采样频率对进行采样,再将采样得到的序列进行DFT,画出过程中各信号的图形。进行频域高、低频滤波,再反变换得出处理后恢复出来的信号。将实验过程中得到的图形与理论图形进行比较,发现不同点并加以解释。三、实验过程: 先选定f1=50hz
2、、,则原始信号表示为:1、 原信号时域截取:因为在计算机中只能计算离散的点列,若要用MATLAB处理图形,只能先对信号进行截取和采样。本实验选定矩形截取窗口的宽度为原信号周期的m倍,m为正整数。所以画出截取后的信号图像为图1截断后的信号图像原信号中低频为50Hz,高频为70Hz,取采样频率为3倍的,即。50和70的最大公约数为10,所以原信号的最小正周期为1/10s,这里取m为3(即取窗口函数的宽度为3/10s),相应的采样点数,所以窗口函数为其图像如图2所示,其傅立叶变换图像如图3所示,其公式如下:,其中图2 窗函数图3窗函数傅里叶变换(CTFT)时域截取的过程就是原函数在时域乘以,而在频域
3、与做卷积运算后再乘以系数,而在实际计算机仿真过程中,只要选好信号横坐标的范围就完成了截取信号的过程,本实验中取信号横坐标为,截取后的CT信号的傅里叶变换图像如图4所示,其图像在频域坐标轴上向正负无穷延展。图4 截取后的CT信号()的CTFT2、 截断信号的时域采样 截断后的信号就可以在时域上进行采样,采样函数为,截断后的信号乘以,所以在频域相当于与进行卷积,其得到的图像为周期的,其图像与离散采样信号的DTFT形式相同。以上为CT信号的分析,对于离散信号,为了适应计算机的处理方式,我们需要采用DFT和IDFT进行计算求解。采样后的离散信号图像为下图所示图5 采样后的信号对上述有限的离散信号求DT
4、FT,可以得到其在频域的表现形式,对离散角频率取之间的629个样点,计算其DTFT,并画出图像如下图6 有限采样信号的DTFT频谱如果对上述频谱图进行采样,则相应的,离散采样信号将进行周期延拓,如果在频域进行采样,并保证在一个主周期中,有N个采样点,则离散采样信号将以N为离散周期进行延拓。如果令,则其相当于原始周期信号的采样。利用DFT,我们可以完成这个过程,DFT公式为其类似于DTFS公式,特点是隐含周期性,就得到了离散的频谱,其频谱与连续周期信号的频谱在形式上极为相似,只要保证,频谱赋值在数值上相同。其图像如下:图7 离散信号的DFT离散频谱3、 设计离散滤波器并进行滤波。目前,只进行了低
5、通滤波。目标:滤除70Hz的高频成分,保留直流分量和50Hz的低频成分。方法:采用窗函数法设计FIR滤波器。采用海明窗。具体步骤:(1)、取通带截止频率为,取阻带起始频率为,,取阻带衰减不小于-50db。(2)、求理想滤波器的冲击响应。 (3)、选择窗函数 本实验取海明窗 (4)、确定N值。 海明窗带宽:,所以求得N为35(5)、确定FIR滤波器的 (6)、求 经过计算,得到的滤波器的单位冲击响应和滤波器的频谱图如下图所示图8 滤波器单位冲击响应图9 数字滤波器的频谱图下面进行滤波,把离散信号的DFT离散频谱函数和数字滤波器的频谱函数对应相乘,进行了频域滤波。滤波后的离散频谱如下图所示图10
6、滤波后的离散频谱图利用IDFT进行反变换得到滤波后的离散信号,其图像如下图11 IDFT后的离散信号4、 离散信号变为连续信号(插值)(1) 利用理想插值函数进行插值,其插值函数图像如下图12 理想插值函数插值效果如下图所示图13 原始信号复原图但是,上述插值在物理世界中,无法实现,因为它非因果,且为无穷信号。与此同时,通过观察发现,在复原图像的边缘误差较大,原因是因为所取的离散信号点为有限个,所以存在误差,当在边界进行插值时,边界另一边没有信号值,所以误差较大,当采样点为无穷个时,理论上可以精确复原原图像,但这在现实生活中,无法实现。(2) 一阶线性插值,其插值函数图像如下 图14 一阶线性
7、插值函数插值效果如下图所示图15 原始信号复原图一阶线性插值插值误差较大,但基本反映出了图像的形态,其在物理上可以实现。通过观察,上述复原图在边缘出也存在较大误差,原因同上,同时因为插值函数具有延时效果,所以复原信号在实间上有延迟,最直观就是比理想复原图向后移动了一小段距离。5、 参数调整 通过上面的实验,我对信号采样与复原过程有了一定的了解,下面通过参数调整来加深理解。(1)窗函数为整数倍周期,否则无法复原为原图像调整截断信号所用窗函数的宽度,使其不等于周期的整数倍。之前取m=3,这里取m=1.5。得到的结果如下,这是因为,利用DFT在计算周期延拓离散信号的频谱的时候,在时域延拓后的图像与原
8、图像已经不一样了。(2)、对于最高频率分量幅值不为零或不趋于零的信号,采样频率要严格大于两倍最大频率 上述实验中采样频率取值为3倍的信号最大频率分量,下面取,实验结果如下通过观察发现,频谱中没有70Hz对应的成分,这是因为以2倍的频率来采样这样的谐波,得到的离散点无法反映该信号的全部特征,在这里对该信号的采样,全部在时刻,当时,所有的采样值都为零,就如上图所示,当取其他值时,将会在频域发生混叠。这里取,改变题干,令,得到的结果,如下所以,对于最高频率分量幅值不为零或不趋于零的信号,采样频率要严格大于两倍最大频率。 ( 3)采样数对于不同实验的实验结果的影响。1)通过实验发现,提高窗函数宽度,即
9、在采样频率不变的情况下提高采样点数,对信号复原效果提高不大。2)通过实验发现,在窗函数宽度不变的情况下,提高采样频率能显著提高信号复原效果,但在信号边缘的误差无法得到显著改善。(4)欠采样时,高频分量会关于采样频率反折而变为低频分量。例如取时,50Hz和70Hz的分量都关与采样频率进行了反折。结果如下四、实验总结和体会(一)此次计算机模拟仿真实验,主要是做了以下一些工作:1、 模拟了连续信号采样和复原的过程。2、 变换了不同的参数,并加以解释,加深了对问题的理解。3、 采用了窗函数法设计了FIR数字滤波器进行了低通滤波处理,画出了滤波效果图。4、 对Matlab的理解和运用有了进一步的提高。5、 只有真正的动手实践,才有可能真正的理解学到的知识,否则只是肤浅的背诵。(二)实验过程主要存在的一些问题:1、 只进行了低通滤波器设计,没有进行高通和带通设计。