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1、 本科生毕业论文题 目： 行列式的计算方法及其在线性方程组中的应用姓 名： 学 号： 200802023046 系 别： 数学与计算机科学系 年 级: 2008级 专 业： 数学与应用数学 指导教师： 职称： 副教授 指导教师： 职称： 讲 师 2012年 4月 20日 安顺学院毕业论文任务书 数学与计算机科学 系 数学与应用数学 专业 2008 年级学生姓名 韦 诚 毕业论文题目：行列式的计算方法及其在线性方程组中的应用任务下达日期：2011年9月5日毕业论文写作日期：2011年9月5日至2012年4月20学生签字： 指导老师签字： 摘 要高等代数是数学专业学生的一门必修基础课程。行列式的计
2、算是高等代数中的重点、难点，特别是n阶行列式的计算，学生在学习过程中，普遍存在很多困难，难于掌握。计算n阶行列式的方法很多，但具体到一个题，要针对其特征，选取适当的方法求解。当看到一个貌似非常复杂的n阶行列式时，仔细观察，会发现其实它们的元素在行或列的排列方式上都有某些规律。掌握住这些规律，选择合适的计算方法，能使我们在极短的时间内达到事半功倍的效果！本文首先介绍n阶行列式的定义、性质，再归纳总结行列式的各种计算方法、技巧及其在线性方程组中的初步应用。行列式是线性方程组理论的一个组成部分，是中学数学有关内容的提高和推广。它不仅是解线性方程组的重要工具，而且在其它一些学科分支中也有广泛的应用。关
3、键词：n阶行列式 计算 方法 归纳线性方程组ABST RACT Algebra is a courses of mathematics specialized compulsory of the basic mathematic. The determinants calculation is the most difficulty in higher algebra, especially, the n order determinants calculation , alway is students difficulty in the learning process, so ,it i
4、s difficult to master for ours . There are a lot of calculations of n order determinant in method , but when we say a problem of the calculation of n order determinant, according to its characteristics, selecting the appropriate method to solving is a very good idea. When you see a seemingly so comp
5、lex n order determinant, we should observe them carefully,and we will find that their elements are arranged in rows or columns have some regularity. Grasping of these laws, finding a appropriate calculation method,it can help us to achieve a multiplier effect in a very short time! This paper mainly
6、introduces the definition of n order determinant, nature, and calculation methods, the skills of calculation of n order determinant and application in linear equation group. Determinant is an important theory in linear equations and it is an indispensable part of linear equations, determinant is als
7、o the middle school mathematics content raise and promotion. It is not only the solution of linear equations of the important tool, but also in some other branch has a wide range of applications. Key words: n order determinant calculation method induce linear equations 目 录引言 11 阶行列式的定义 32 阶行列式的性质 33
8、 计算阶行列式的具体方法与技巧 4 3.1 利用行列式定义直接计算 4 3.2 利用行列式的性质计算 5 3.3 化为三角形行列式 6 3.4 降阶法 7 3.5 逆推公式法 8 3.6 利用范德蒙德行列式 9 3.7 加边法（升阶法） 9 3.8 数学归纳法10 3.9 拆开法114 行列式在线性方程组中的初步应用11 4.1 克拉默（Gramer）法则12 4.2 克拉默（Gramer）法则的应用12 4.2.1 用克拉默（Gramer）法则解线性方程组13 4.2.2 克拉默法则及其推论在几何上的应用14结论16参考文献17致谢1817引 言解方程是代数中一个基本问题，特别是在中学中所学
9、的代数中，解方程占有重要的地位.因此这个问题是读者所熟悉的.比如说，如果我们知道了一段导线的电阻，它的两端的电位差，那么通过这段导线的电流强度，就可以有关系式 求出来.这就是所谓解一元一次方程的问题.在中学所学代数中，我们解过一元、二元、三元以至四元一次方程组. 线性方程组的理论在数学中是基本的也是重要的内容. 对于二元线性方程组 ，当时，次方程组有惟一解，即 ， .我们称为二级行列式，用符号表示为 于是上述解可以用二级行列式叙述为：当二级行列式 时，该方程组有惟一解，即 对于三元线性方程组有相仿的结论.设有三元线性方程组 称代数式为三级行列式，用符号表示为：.我们有：当三级行列式 时，上述三
10、元线性方程组有惟一解，解为 ，其中 ，在本论文中我们将把这个结果推广到元线性方程组 的情形.为此，我们首先要给出阶行列式的定义并讨论它的性质，这就是本论文的主要内容.1 n阶行列式的定义阶行列式 等于所有取自不同行不同列的个元素的乘积（1）的代数和，这里jjj是1,2,的一个排列，每一项（5）都按下列规则带有符号：当jjj是偶排列时，（1）带正号，当jjj是奇排列时，（1）带有负号.这一定义可以写成 = 这里表示对所有阶排列求和. 定义表明，为了计算阶行列式，首先作所有有可能由位于不同行不同列元素构成的乘积。把构成这些乘积的元素按行指标排成自然顺序，然后由列指标所成的排列的奇偶性来决定这一项的
11、符号.由定义立即看出，阶行列式是由!项组成的.2 阶行列式的性质 性质（1） 行列式与它的转置行列式相等； 性质（2） 交换一个行列式的两行（或两列），行列式改变符号； 性质（3） 如果一个行列式有两行（列）完全相同，那么这个行列式等于零； 性质（4） 把一个行列式的某一行（列）的所有元素同乘以某一个数，等于数k乘这个行列式； 性质（5） 一个行列式中某一行（列）所有元素的公因子可以提到行列式符号的外边； 性质（6） 如果一个行列式中有一行（列）的元素全部是零，那么这行列式等于零； 性质（7） 如果一个行列式有两行（列）的对应元素成比例，那么这个行列式等于零； 性质（8） 设行列式D的第i行的
12、所有元素都可以表成两项的和： D=那么D等于两个行列式D与D的和，其中D的第i行的元素是，D的第i行的元素是，而D与D的其他各行都和D的一样.同样的性质对于列来说也成立. 性质（9） 把行列式的某一行（列）的元素乘以同一个数后加到另一行（列）的对应元素上，行列式的值不变. 在深刻理解了阶行列式的定义及性质后，我们自然会想到，给出一个貌似复杂的阶行列式，怎样在有限的时间内准确地算出它的值呢？这是本论文的中心论点.阶行列式的计算方法很多，除非零元素较少时可利用定义计算外，更多的是利用行列式的性质计算，特别要注意观察所求题目的特点，灵活选用方法，值得注意的是，同一个行列式，有时会有不同的求解方法.下面介绍几种常用的方法，并举例说明.3 计算阶复杂行列式的具体方法与技巧3.1 利用行列式定义直接计算例1 计算行列式解 Dn中不为零的项用一般形式表示为.该项列标排列的逆序数（n1 n21n）等于，故
