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1、求极限的几种常用方法一、约去零因子求极限例如求极限 lim x4 -1 ，本例中当 x 1时，x - 1 0，表明 x与 1 无限接近，但x 1,x1 x-1所以 x - 1这一因子可以约去。二、分子分母同除求极限x3 -x 2求极限 lim3+1x 3x型且分子分母都以多项式给出的极限,可通过分子分母同除来求。 ?x 3 - x21 -11xlim3 + 1= lim1=x 3xx33 +x3三、分子 (母)有理化求极限例 :求极限 lim ( x3+ 3 - x2+ 1) ?x分子或分母有理化求极限，是通过有理化化去无理式。例：求极限 lim 1+tanx- 1+sinxx0x 31tan
2、 x1sin xlimtan xsin xlim3x31tan x1sin xxx0x 0=lim1limtan xsin x1tan x sin x1tan x1x3limx34= x 0 1sin x x0= 2 x 0本题除了使用分子有理化方法外，及时分离极限式中的非零因子是解题的关键。四、应用两个重要极限求极限两个重要的极限 (1) lim sinx= 1x0 x1) x1(2)lim (1 += lim (1 + x) x = exxx0在这一类型题中， 一般也不能直接运用公式， 需要恒等变形进行化简后才可以利用公式。例：求极限 lim (x+1) xxx-1第二个重要极限主要搞清楚
3、凑的步骤：先凑出1，再凑1+ 1，最后凑指数部分。x2lim ( x +1)x =lim (1 +2) x = lim (1+1)x-12) 22= e2(1 +1x x -1xx - 1xx - 1x - 12五、利用无穷小量的性质求极限无穷小量的性质： 无穷小量与有界量的乘积还是无穷小量。 这种方法可以处理一个函数极限不存在但有界，和另一个函数的极限是零的极限的乘积的问题。sinx例：求 lim因为 |sinx | 1, lim 1= 0,所以 limsinx= 0x xxx六、用等价无穷小量代换求极限常见等价无穷小有：当x 0时 ,xsinxtanxarcsinxarctanxln(1
4、+ x) ex 1，1 - cosx 12 x2 ，(1 + ax) b - 1abx等价无穷小量代换 ,只能代换极限式中的因式。此方法在各种求极限的方法中应作为首选。例： limxln(1+x)xx= 21-cosx=lim 12x0x0 x2例：求极限 lim sinx-xx0 tan 3x?limsinx-x=sinx-xcosx-1-1x 213limx3 = lim3x2= lim22= -x0 tanxx0x0x03x6七、利用函数的连续性求极限这种方法适合求复合函数的极限。如果 u = g(x) 在点 x0 处连续 g(x0 ) = u0 ，而f(u)在点 x处连续，那么复合函数
5、 y = f(g (x) 在点 x处连续。 limf(g (x) ) = f(g ( x) ) =00xx00f( lim g(x)xx0也就说，极限号 lim与f可以互换顺序。xx0例：求 lim1xx ln?(1 + x )1令 y = lnu, u =(1 + x) x因为 lnu 在点 u0= lim (1 +1 )x = e处连续xx所以 lim ln(1 +1 ) x= ln lim (1 +1 ) x= lne = 1xxxx八、用洛必达法则求极限洛必达法则只能对 0或 型才可直接使用，其他待定型必须先化成这两种类型之一，0然后再应用洛必达法则。洛必达法则只说明当也存在lim f
6、 (x) 等于 A时，那么g (x)lim f(x) 存在且等于 A。如果 lim不存在时，并不能断定 lim f(x)f(x)也不存在，这是g(x)g(x)g(x)不能用洛必达法则的，而须用其他方法讨论limf(x) 。g(x)例：求极限 limlncos2x-in(1+sin2 x)x 2x0lncos2x -in(1 + sin2 x)limx 2x0-2sin2x-sin2xsin2x-21= limcos2x21 + sinx = lim(-) = 3x02x2xcos2x1 + sin2 xx0?(?)九、用对数恒等式求 lim ?(?) 极限222 ln (1+x )lim 1
7、+ ln (1 + x) x= lim ex ln 1+ln(1+x) =limx= e2ex0x0x0对于 1 型未定义式，也可以用公式lim f(x) g(x)lim f (x )-1 g(x)1 = e因为lim f(x) g(x)lim g (x )ln?(1+f ( x) -1)lim f ( x )-1g(x)= e= e十、利用两个准则求极限夹逼准则：若一正数 N。当 n N时，有 xn yn zn , limxn = , lim zn = a，则xx有 lim yn = a.x利用夹逼准则求极限关键在于从 yn 的表达式中，通常通过放大或缩小的方法找出两个有相同极限值的数列 x
8、 n 和zn ，使得 xn yn zn 。例 xn = 1+1+?+12+1 2+22+nnnn求xn 的极限。因为 xn 单调递减，所以存在最大项和最小项xn 1+1+ ? +1=n2222n+nn+nn+nn+nxn 1+1+ ? +1=n2222n+ 1n+ 1n+ 1n+ 1nnn 2 +nxn n 2 +1又因为 limnn= 1= limn n 2+nn n 2+1所以 limnxn = 1n n 2+n单调有界准则：单调有界数列必有极限，而且极限唯一。利用单调有界准则求极限， 关键先要证明数列的存在， 然后根据数列的通项递推公式求极限。例，证明下列极限存在，并求其极限。y1 = a ,y2 = a + a,y3 = a + a + a?yn = a + a + a + ? a证明：从这个数列看yn 显然是增加的。用归纳法可证。又因为 y2=a + y1 ,y3 = a + y2 .yn = a + yn-1所以得 yn2=a +
