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1、第四讲:万有引力定律及应用(一)一、知识体系1开普勒行星运动三定律简介第一定律:所有行星都在椭圆轨道上运动,太阳则处在这些椭圆轨道的一个焦点上;第二定律:行星沿椭圆轨道运动的过程中,与太阳的连线在单位时间内扫过的面积相等;第三定律:行星轨道半长轴的立方与其周期的平方成正比,即=k开普勒行星运动的定律是在丹麦天文学家弟答的大量观测数据的基础上概括出的,给出了行星运动的规律。2万有引力定律及其应用(1)定律的表述:宇宙间的一切物体都是相互吸引的两个物体间的引力大小跟它们的质量成积成正比,跟它们的距离平方成反比,引力方向沿两个物体的连线方向。F=(2)定律的适用条件:用于计算引力大小的万有引力公式一
2、般只适用于两质点间引力大小的计算,如果相互吸引的双方是标准的均匀球体,则可将其视为质量集中于球心的质点。(3)定律的应用:在中学物理范围内,万有引力定律一般用于天体在圆周运动中的动力学问题或运动学问题的分析,当天体绕着某中心天体做圆周运动时,中心天体对该天体的引力充当其做周围运动所需的向心力,据此即可列出方程定量的分析。3人造地球卫星各运动参量随轨道半径的变化关系。这里特指绕地球做匀速圆周运动的人造卫星,实际上大多数卫星轨道是椭圆,而中学阶段对做椭圆运动的卫星一般不作定量分析。由于卫星绕地球做匀速圆周运动,所以地球对卫星的引力充当卫星所需的向心力,于是有=m =m =mrw2 =mr由此可知:
3、绕地球做匀速圆周运动的卫星各个参量随轨道半径r的变化情况分别如下:(1)向心加速度与r的平方成反比. =当r取其最小值时,取得最大值. a向max=g=9.8m/s2(2)线速度v与r的平方根成反比v=当r取其最小值地球半径R时,v取得最大值. vmax=7.9km/s(3)角速度与r的三分之三次方成百比=当r取其最小值地球半径R时,取得最大值. max=1.23103rad/s(4)周期T与r的二分之三次方成正比. T=2当r取其最小值地球半径R时,T取得最小值. Tmin=2=284 min4宇宙速度及其意义.(1)三个宇宙速度的值分别为v1=7.9 km/sv2=11.2 km/sv3=
4、16.9 km/s(2)宇宙速度的意义当发射速度v与宇宙速度分别有如下关系时,被发射物体的运动情况将有所不同当vv1时,被发射物体最终仍将落回地面;当v1vv2时,被发射物体将环境地球运动,成为地球卫星;当v2vv3时,被发射物体将脱离地球束缚,成为环绕太阳运动的“人造行星”;当vv3时,被发射物体将从太阳系中逃逸。5同步卫星的两个特征(1)轨道平面必与赤道平面重合;(2)高度为确定的值。6地球自转对地表物体重力的影响。如图所示,在纬度为的地表处,物体所受的万有引力为F=而物体随地球一起绕地轴自转所常的向心力为 F向=mRcosw2方向垂直于地轴指向地轴,这是物体所受到的万有引力的一个分力充当
5、的,而万有引力的另一个分力就是通常所说的重力mg,严格地说:除了在地球的两个极点处,地球表面处的物体所受的重力并不等于万有引力,而只是万有引力的一个分力。由于地球自转缓慢,所以大量的近似计算中忽略了自转的影响,在此基础上就有:地球表面处物体所受到的地球引力近似等于其重力,即mg这是一个分析天体圆运动问题时的重要的辅助公式。要点总结:要点一 万有引力和重力的关系宇宙间的一切物体都是相互吸引的,这种相互作用力叫做万有引力地面上及地面附近的物体由于地球的吸引而受到的力叫做重力万有引力和重力的关系:实际上,地面上物体所受的万有引力F可以分解为物体所受的重力mg和随地球自转而做圆周运动的向心力F.其中F
6、G,Fm2r.(1)当物体在赤道上时,F、mg、F三力同向此时满足FmgF.(2)当物体在两极点时,F0,FmgG.(3)当物体在地球的其他位置时,三力方向不同,Fmg.(4)当忽略地球自转时,重力等于万有引力,即mg.(5)对于绕地球运行的近地卫星,所受的万有引力就是卫星的重力要点二 对人造地球卫星几个速度的理解1发射速度:是指卫星直接从地面发射后离开地面时的速度,相当于在地面上用一门威力强大的大炮将卫星轰出炮口时的速度,发射卫星离开炮口后,不再有动力加速度2环绕速度(第一宇宙速度):是指地球卫星的最小发射速度,也是卫星在地面附近环绕地球运行的速度,是卫星的最大的轨道速度设地球半径为R,地球
7、质量为M,根据Gm或mgm,可得v17.9 km/s.3第二宇宙速度:也称脱离速度,是使物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度,其大小为11.2 km/s.4第三宇宙速度:也称逃逸速度,是使物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度,其大小为16.7 km/s.5轨道速度:设离地面高度为h的人造地球卫星环绕地球做匀速圆周运动的运行速度为v,地球半径为R,地球质量为M,则由Gm可得v ,h越大,v越小要点三 人造地球卫星的运动问题1人造卫星的运行规律(1)由G得v ,即v ,轨道半径越大,环绕速度越小(2)由Gm2r得 ,即 .(3)由Gmr,得T2 ,即T,轨道半径越大,周期越大总结:近地卫星的线速度最大
8、,周期最小2两类运动稳定运行和变轨运行卫星绕天体稳定运行时,万有引力提供了卫星做圆周运动的向心力,即m,当卫星由于某种原因,其速度v突然变化时,F万和m不再相等,因此就不能再根据v 来确定r的大小当F万m时,卫星做近心运动;当F万m时,卫星做离心运动要点四 超重和失重现象1人造卫星的超重与失重(1)人造卫星在发射升空时,有一段加速运动;在返回地面时,有一段减速运动,这两个过程加速度方向均向上,因而都是超重状态(2)人造卫星在沿圆轨道运行时,由于万有引力提供向心力,所以处于完全失重状态,在这种情况下凡是与重力有关的力学现象都会停止发生,因此,在卫星上的仪器,凡是制造原理与重力有关的均不能使用同理
9、,与重力有关的实验也将无法进行2赤道上物体的失重问题地球在不停地自转,除两极之外,地球上的物体由于绕地轴旋转,都处于失重状态,且赤道上的物体失重最多设地球是半径为R的均匀球体,自转角速度为,表面的重力加速度为g,质量为m的物体放在赤道上,地面对物体的支持力为FN,根据牛顿第二定律有mgFNm2R,则有(1)物体在赤道上的视重等于地球的引力与物体随地球自转所需的向心力之差,即FNmgm2R;(2)物体在赤道上的失重等于物体绕地轴转动所需要的向心力,即FmgFNm2R;(3)物体在地球上完全失重的临界状态是物体受到的重力(或万有引力)完全提供随地球自转所需要的向心力,即FN0.所以mgm2R.在此
10、条件下,可以求出对应的临界角速度、临界线速度、临界周期等物理量要点五 与天体有关的估算问题天体的估算问题一般涉及天体质量、密度、转动周期、线速度、转动半径等天体的运动可以看成圆周运动,处理这类问题的基本思路有两条:(1)利用天体做圆周运动的向心力由万有引力提供,天体的运动遵循牛顿第二定律求解即Gma(2)利用天体表面的物体的重力约等于万有引力来求解即GmgM二、典型习题一、天体质量的估算例1 已知引力常量G,地球半径R,月球和地球之间的距离r,同步卫星距地面的高度h,月球绕地球的运转周期T1,地球的自转周期T2,地球表面的重力加速度g.试根据以上条件,提出一种估算地球质量M的方法解析解法一同步
11、卫星绕地球做匀速圆周运动,两者之间的万有引力提供卫星运动的向心力,由牛顿第二定律可得Gmam()2(Rh),解得M解法二以月球为研究对象,月球绕地球做圆周运动,万有引力提供向心力则Gm()2r,解得M解法三在地球表面物体的重力近似等于万有引力,即Gmg,所以M.答案见解析二、关于卫星的发射问题例2 一颗人造地球卫星以初速度v发射后,可绕地球做匀速圆周运动,若使发射速度增为2v ,则该卫星可能()A绕地球做匀速圆周运动B绕地球运动,轨道变为椭圆C不绕地球运动,成为太阳系的人造行星D挣脱太阳引力的束缚,飞到太阳系以外的宇宙去了解析以初速度v发射后能成为人造地球卫星,可知发射速度v一定大于第一宇宙速
12、度7.9 km/s;当以2v速度发射时,发射速度一定大于15.8 km/s,已超过了第二宇宙速度11.2 km/s,所以此卫星不再绕地球运行,可能绕太阳运行,或者飞到太阳系以外的空间去了,故选项C、D正确答案CD方法总结发射速度是指卫星在地面附近离开发射装置时的初速度,要发射一颗人造地球卫星,发射速度不能小于第一宇宙速度,即最小发射速度是7.9 km/s;若要发射一颗轨道半径大于地球半径的人造人星,发射速度必须大于7.9 km/s.可见,向高轨道发射卫星比向低轨道发射卫星要困难运行速度是指卫星在进入运行轨道后绕地球运行时的线速度当卫星“贴着”地面(即近地)飞行时,运行速度等于第一宇宙速度,当卫
13、星的轨道半径大于地球半径时,运行速度小于第一宇宙速度,所以最大运行速度是7.9 km/s.三、双星问题例3 宇宙中两个相距较近的天体称为“双星”,它们以两者连线上的某一点为圆心做匀速圆周运动,但两者不会因万有引力的作用而吸引到一起设两者的质量分别为m1和m2,两者相距为L.求:(1)双星的轨道半径之比(2)双星的线速度之比(3)双星的角速度解析这两颗星必须各自以一定的速度绕某一中心转动才不至于因万有引力作用而吸引在一起,从而保持两星间距离L不变,且两者做匀速圆周运动的角速度必须相同如图所示,两者轨迹圆的圆心为O,圆半径分别为R1和R2.由万有引力提供向心力,有Gm12R1Gm22R2(1)由两
14、式相除,得.(2)因为vR,所以.(3)由几何关系知R1R2L联立式解得 .答案(1)m2m1(2)m2m1(3) 方法总结所谓“双星”问题,是指在宇宙中有两个相距较近的天体,它们靠相互吸引力提供向心力做匀速圆周运动,两者有共同的圆心,且间距不变,则向心力大小也不变,其他天体距它们很远,对其影响忽略不计双星的连线一定过圆轨道的圆心,它们之间的万有引力提供向心力,其特点为:双星的周期一定相同,角速度也相同,半径之和为两星间距.四、应用万有引力定律研究天体运动例4 一组人乘太空穿梭机,图61去修理位于离地球表面6.0105 m的圆形轨道上的哈勃太空望远镜H.机组人员使穿梭机S进入与H相同的轨道并关闭推动火箭,而望远镜则在穿梭机前方数公里处,如图61所示(已知:地球半径为6.4106 m)(1)在穿梭机内,一质量为70 kg的人的视重是多少?(2)计算轨道上的重力加速度的值计算穿梭机在轨道上的速率和周期(3)穿梭机需首先进入半径较小的轨道,才有较大的角速度以超前望远镜用上题的结果判断穿梭机要进入较低轨道时应增加还是减少其原有速率,解释你的答案解析(1)由于穿梭机处于完全失重状态,所以此人的视重为0.(2)设轨道处的重力加速度为g,地球质量为M地,由