《概率论与数理统计复习提纲》由会员分享，可在线阅读，更多相关《概率论与数理统计复习提纲（20页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第一章随机事件及其概率一、随机事件及其运算1. 样本空间、随机事件样本点：随机试验的每一个可能结果，用表示；样本空间：样本点的全集，用表示；注：样本空间不唯一.随机事件：样本点的某个集合或样本空间的某个子集，用A,B,C, 表示；必然事件就等于样本空间；不可能事件() 是不包含任何样本点的空集；基本事件就是仅包含单个样本点的子集。2. 事件的四种关系包含关系：AB ，事件 A 发生必有事件B 发生；等价关系：AB ， 事件 A 发生必有事件B 发生，且事件 B 发生必有事件A 发生；互不相容（互斥） ： AB，事件 A 与事件 B 一定不会同时发生。对立关系（互逆） ： A ，事件 A 发生事
2、件A 必不发生，反之也成立；A A互逆满足AA注：互不相容和对立的关系（对立事件一定是互不相容事件，但互不相容事件不一定是对立事件。）3. 事件的三大运算事件的并： AB ，事件 A 与事件 B 至少有一个发生。若 AB，则 A BA B ；事件的交：AB或 AB ，事件 A 与事件 B 都发生；事件的差：A-B ，事件 A 发生且事件 B 不发生。4. 事件的运算规律交换律：结合律：ABBA, ABBA( AB)CA(BC ), (AB)CA(BC )分配律：A( BC )( AB)( AC ), A( BC )( AB)( AC )nn德摩根（ De Morgan ）定律：二、随机事件的概
3、率定义和性质ABAB,U AiIAi ,对于 n 个事件，有 i1i1ABABnnIAiU Aii1i11公理化定义：设试验的样本空间为，对于任一随机事件A ( A),都有确定的实值 P(A) ，满足下列性质：(1)非负性： P(A) 0;(2)规范性： P()1;有限可加性 ( 概率加法公式 ) ：对于 k 个互不相容事件 A1 , A2kk(3), Ak ，有 P(Ai)P( Ai) .i1i 1则称 P(A) 为随机事件 A 的概率 .2概率的性质P()1,P( ) 0 P( A)1P( A)若AB ，则 P( A)P( B), 且 P(B A)P(B) P( A)1 P( AB)P(
4、A)P( B)P( AB)P( ABC )P( A)P(B) P(C ) P( AB ) P(BC )P( AC ) P( ABC )注：性质的逆命题不一定成立的. 如若 P( A)P( B), 则 AB 。（）若 P( A)0，则 A。（）三、古典概型的概率计算古典概型 ：若随机试验满足两个条件：只有有限个样本点 , 每个样本点发生的概率相同，则称该概率模型为古典概型, P( A)k。n典型例题： 设一批产品共N件，其中有 M件次品，从这批产品中随机抽取n 件样品，则(1) 在放回抽样的方式下,取出的 n 件样品中恰好有m件次品（不妨设事件A）的概率为1P( A1 )Cnm M m ( N
5、M )n mN n.,取出的 n 件样品中恰好有m件次品（不妨设事件A ）的概率为(2) 在不放回抽样的方式下2mmn mmn mP( A2 )C nAMAN MC MC N M.ANnCNn四、条件概率及其三大公式1. 条件概率： P( B | A)P( AB ) , P( A | B)P( AB )P( A)P( B)2. 乘法公式：P( AB)P( A)P( B | A) P(B) P( A | B)P( A1 A2 L An ) P( A1 )P( A2 | A1 )P( A3 | A1 A2 )L P(An | A1 L An 1 )nn3. 全概率公式：若 B1 , B2 ,L,
6、Bn 满足 U Bi, Bi B j, ij ，则 P( A)P(Bi )P( A | Bi ) 。ii 14. 贝叶斯公式：若事件B1 , B2 ,L, Bn 和 A 如全概率公式所述，且P(A)0，则 P( Bi| A)P( Bi)P( A | Bi )n.P( Bi )P( A | Bi )i 1五、事件的独立1.定义： 若 P( AB)P( A)P( B), 则称 A,B独立 .推广：若 A1, A2 ,L , An 相互独立，P( A1 L An )P( A1) L P( An )2. 在 A, B , A, B , A, B , A, B 四对事件中，只要有一对独立，则其余三对也独
7、立。P( AB) P( A) P( B)3. 三个事件 A, B, C 两两独立： P(BC)P(B) P(C)P( AC) P( A) P(C )注： n 个事件的两两独立与相互独立的区别。（相互独立两两独立，反之不成立。 ）4. 伯努利概型： Pn (k ) Cnk pkqn k , k 0,1,2,L , n, q 1p.21. 事件的对立与互不相容是等价的。 （ X）2. 若 P( A)0, 则 A。（ X）3. 若 P( A)0.1, P(B)0.5, 则 P( AB)0.05。 (X)4.A,B,C 三个事件恰有一个发生可表示为ABCABC ABC 。 ( )5. n个事件若满足
8、i,j , P( Ai Aj ) P( Ai )P( Aj ) ，则 n 个事件相互独立。 (X)6.当 AB 时，有 P(B-A)=P(B)-P(A)。（）第二章随机变量及其分布一、随机变量的定义：设样本空间为，变量X X ( ) 为定义在上的单值实值函数，则称X 为随机变量，通常用大写英文字母，用小写英文字母表示其取值。二、分布函数及其性质1.定义：设随机变量X ，对于任意实数x R ，函数 F ( x)P Xx 称为随机变量X 的概率分布函数，简称分布函数。注：当 x1x2 时， P(x1 Xx2 )F ( x2 ) F (x1 )(1)X 是离散随机变量，并有概率函数p( xi ),
9、i 1,2, 则有 F (x)p(xi ).xix(2) X 连续随机变量，并有概率密度f (x)，则 F (x)P (X x)xf (t)dt .2. 分布函数性质：（ 1() 是单调非减函数，即对于任意x1 x2，有F ( x1 )F (x2 ); ；F x（ 20 F (x) 1；且F() lim()0 ，F( )lim( ) 1 ；xF xxF x（ 3离散随机变量X， F ( x ) 是右连续函数, 即 F (x)F ( x0) ；连续随机变量X， F( x ) 在（ - ， +）上处处连续。注：一个函数若满足上述3 个条件，则它必是某个随机变量的分布函数。三、离散随机变量及其分布1. 定 义 .设 随 机 变 量 X 只 能 取 得 有 限 个 数 值P( X xi ) pi (i 1,2, ) ，则称 X为离散随机变量x1 , x2 , xn ， 或 可 列 无 穷 多 个 数 值 x1 , x2 , xn , 且, pi ( i =1,2, ) 为 X 的概率分布， 或概率函数( 分布律 ).注：概率函数pi 的性质 : (1) pi0, i1, 2,;(2)pi1i2. 几种常见的离散随机变量的分布：（1）超几何分布，XH(N,M,n) ，CMkCNn kM0
