《高数(基础)常熟》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高数(基础)常熟（46页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第一讲函数极限与连续第一节函数函数的概念定义，定义域，对应法则，值域)：对-XI,存在y=f(x)R，则称y是x的函数，其中f称为对应法则，1称定义域，R称值域。一. 函数的基本特性单调性：定义1.1:设函数y=f(x)在区间I上有定义，若对于I上任意两点x1与x2，且x：x2时，均有f(X1)：f(X2)或f(X1)f(X2)，则称函数f(X)在区间I上单调增加或单调减少)。如果其中的“：”或“.”改为“_”或“_”)，称函数f(x)在I上单调不减或单调不增)。判定：V1)定义：f(x)_0：=f(x)单调不减；bf(x)0=f(x)单调增；【评注】V1)判断抽象的函数的单调性，在测试时采用
2、举反例排除法，而尽量不用单调性的定义进行证明；2)导数大于零的函数一定单调递增，但单调递增的可导函数的导数不一定严格大于零，其导数也可能等于零。1. 奇偶性：定义1.2:设函数f(x)的定义域D关于原点对称即若xD，则必有-xD)，如果对于任一xD，有f(-x)二f(x)或f(-x)二-f(x)恒成立，则称f(x)为偶函数或奇函数)。几何图形：偶函数：图像关于y轴对称；奇函数：其图像关于坐标原点对称判定：1)定义：f(x)是奇函数=f(x)是偶函数；bf(x)是偶函数=f(x)是奇函数；3)连续的奇函数其原函数都是偶函数；连续的偶函数其原函数之一是奇函数。2. 周期性定义1.3:设函数f(x)
3、的定义域为D.如果存在一个不为零的数T,使得对于任意xD有(xT)D,且f(xTHf(x)恒成立,则称f(x)为周期函数。使上述关系成立的最小正数T称为f(x)的最小正周期。简称为函数f(x)的周期。判定：1)定义：2)可导的周期函数其导函数为周期函数；3)周期函数的原函数不一定是周期函数；4有界性定义1.4:若存在M,使得-xl,有|f(x)匡M(f(x)辽M或f(x)一-M)，则称f(x)在I上有界有上界或下界)；否则，称f(x)在区间I上无界。判定：1)定义：2)f(x)在a,b上连续=f(x)在a,b上有界；3)f(x)在(a,b)上连续，且f(a0)和f(b-0)存在一f(x)在(a
4、,b)上有界；4)f(x)在区间I有界性与区间有关。(2函数f(x)在I上有界的充要条件是f(x)在I上既有上界又有下界。三、函数的分类：1. 反函数定义1.5设y二f(x)的定义域为D,值域为R。若-厂R,有唯一确定的一个X，D值,若把y作为自变量,x作为因变量，便得一个函数x=(y)，且f(y)Hy则称x二(y)为函数y二f(x)的反函数。也记为y二f4(x)。注：在同一直角坐标系下，函数y=f(x)的图像与其反函数x=y)的图像重合，y=f(x)的图像与其反函数y=f(x)的图像关于y=x对称。2. 复合函数定义1.6设函数y=f(u)的定义域为Df，函数u=“X)的值域为,若集合Df与
5、Z的交集非空，称函数y=f(x)为函数y二f(u)与u=(x)复合而成的复合函数，u为中间变量。【评注】对复合函数，重要的是会把它分解，即知道它是由哪些“简单”函数复合的。重点掌握函数分解成简单函数的复合，分段函数的复合。3. 初等函数定义1.7由基本初等函数经有限次的四则运算、复合运算所得到的可以用一个解读式表示的函数称为初等函数。【评注】：1)基本初等函数1幕函数：八X.R。2指数函数y=ax(a0且a。3对数函数：y=log；(a0且a胡。4三角函数：如y=sinx,y=cosx,y=tanx等。5反三角函数:女口y二arcsinx,y=arccosx,y=arctanx等.2)基本初等
6、函数定义域、性质和图形必须牢记。4. 分段函数定义1.8在定义域内不能用同一个式子表示的函数如f（x）f1（x）f2（x）f（x）=讪x=x【评注】：常见的分段函数【评注】：常见的分段函数1)2)3)4)xX_0绝对值函数X=彳I-XX01, x0符号函数sgnx二0,x=0-1,X0取整函数l-X1表示不超过X的最大整数最大值函数maxf1（x）,f2（x）:;:;f1（x）一f2（X）f1（x）:：f2（x）最小值函数min最小值函数min（x）sff1（x）-f2（X）f1（x）：f2（x）隐函数定义1.9如果在方程F(x,y)=0中，当取x某区间内的任一值时，相应地总有满足这一方程的唯
7、一y值存在，那么就说方程在该区间内确定的一个隐函数y=f(x)5. 参数方程确定的函数X-(t)yJ(t)，:，t幕指函数：y=u(x)v(X)(u(x).0);8. 极限、变限积分确定的函数2n、如f(x)二lim_x2.X,y二牡(X)题型一函数的概念及建立函数关系【例1】已知f(x1)的定义域为0，a(a0,则f(x)的定义域为)1,a+1(Ca,a+1(Da-1,a【例2】已知f(x)=ex，f(x)=1-x，且:(x)_0，求(x)及其定义域2x当x0x2当xw0【例3】设g(x)显立一0,f(x)x,当X7则gf(x)=_x+2,当xa0-X,当x30,题型二函数的基本特性【例4】
8、下列结论正确的是1Axsin在0,亠j上是无界xC平dt在0,2010上是无界、x【例5】设f(x)=2|sintdt1)证明：f(x)是以二为周期2)求函数的值域第二节极限及其重要性质一、极限的概念)1 1B)X；0时2sin-是无穷大量xx110，三N0，当n=N时，有xna。定义2limf(x)=A:对于-；0，X0，当|x|X时，有|f(x)-A|：；x-pC类似可定义：x|im_f(XA，Jim.f(xA。当0IX_X卜:：时，有当0IX_X卜:：时，有定义3limf(x)二A:对于-；0，卞a0，xf|f(x)-A|：；类似可定义：f(x0O)=limf(x)=A,f(x0_O)=
9、limf(x)=A。十jx二、极限的性质1极限的性质：局部)有界性、保号性、极限的唯一性、极限与左右极限、子列的关系。(1有界性：设limXn=A，那么Xn定有界。即mM0,使得XncM。n_设limf(x)二A，则函数f(x)在xo的某取心领域内有界。即0和XxoM-0，当0：|x-X。I：、时，有|f(x)bM。(2保序性：设limxn=A，limyn=B。若AB，则存在自然数N，使得当nN时，nn有XnYn;若存在自然数N，使得当n-N时有Xn_yn，则AB。设limf(x)=A，limg(x)-B。若AB，则存在:.0，使得当XT0XT00：|X-X0|八时，有f(X)g(x)；若:0
10、，使得当0：|X-X0卜时有f(x)_g(x)，则A_B。(3其它性质：极限的唯一性：数列、函数不能收敛于两个不同的极限；收敛数列与其子列的关系：如果数列Xn收敛于a，那么它的任一个子列也收敛，且其极限也是a；函数极限与左右极限的关系：limf(x)二f(x0-0)=f(x00)=A；X沢0函数极限与无穷小关系：limf(x)=A=f(x)=A2(x)，其中lim(x)=0。XX)三、极限的计算极限的四则运算法则：若在x某种变化下，limf(x)二A,limg(x)二B,则limf(x)_g(x)=A一B=limf(x)-limg(x)；limf(x)g(x)=AB=limf(x)limg(x
11、)；limlim誥诗=朦宀0)幕指函数的运算法则及推广:设limf(x)二AO,limg(x)二B，则limf(x)g(x)=ab。这是因为limf(x)g(x)=limeg(x)lnf(x)limg(x)lnf(x)eBlnA四、两个重要极限和极限存在准则(1重要极限1、1、sinxlimx_0x12、lim(1x)e(2两个重要准则准则I如果数列X,仏及Zj满足:(1)yn_xn_zn(n=1,2,3,),(2)limyn=a,limzn=a,则limxn=a。n_jpc准则u单调有界数列必有极限。五无穷小与无穷大1、无穷小、无穷大定义若limf(x)=O(或limf(x)=O,称函数f(
12、x)当xx(或x时为无穷小。xxxj：:若limf(x)(或limf(x)=：，称函数f(x)当xx0(或x“时为无穷X%x_.大。2、无穷小阶的比较无穷小的阶：设无穷小的阶：设-(x)二0lim:-(x)二0,limxFxx0(x：)(x)：3如果lim凶=0,则称1(x)是比:(x)高阶的无穷小，记作1(x)(x)；a(x)如果lim,则称1(x)是比(x)低阶的无穷小；a(x)如果lim二C=0,则称-(x)与(x)是同阶无穷小；a(x)如果lim(牛二C=0,k0,则称：(x)是关于(x)的k阶无穷小；u(x)如果lim厶幻=1,则称1(x)与:.(x)是等价无穷小，记作:(x)1(x
13、)a(x)3、无穷小的性质:(1极限与无穷小关系：limf(x)=A=f(x)=A：(x),其中Tolim(x)=0。xXo(2-(x)与：(x)是等价无穷小的充分必要条件为：1(x:(x)0(x)。(3设:(x):(x),(x)1(x),且lim(x)存在，则a(x)P(x)卩(x)limlim工(x)(x)4、有限个无穷小的代数和仍是无穷小，有界函数与无穷小的乘积是无穷小。常用的几个重要等价无穷小(当x0时有：sinxx,arcsinxx,tanxx,arctanxx,2x1-cosx,In(1+x)x,ex-1x,ax一1xlna(a0),(1x)：-1：x(：为任意实数,log-.(1
14、x)(1/1na)x.题型三极限概念、性质及存在准则【例6】设匕“A7bn均为非负数列，且lima0,limb1,limc:，则必nAan:bn对任意n成立B)bn:q对任意n成立C）极限limancn不存在nCnnD)极限limbncn不存在【例7】对任意的x总有(x)乞f(x)岂g(x),A存在且等于0C)定不存在且!img(x)-(x)=0，则limf(x)B)存在但不一定等于0D)不一定存在题型四求函数的极限未定式)方法1利用有理运算法则求极限常见极限不存在的情况lim.sinxlimcosx或limsinxX0xxlimcos1XxoX-X0limexlimXrXrXxx。elimarctarxlimarctanX厂X%X_X0
