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1、灰色系统分析方法1 韩中庚.数学建模方法及其应用.北京高等教育出版社.20052 邓聚龙.灰预测与灰决策M.武汉:华中科技大学出版社.20023 邓聚龙.灰色系统理论教程M.武汉:华中理工大学出版社.1990 一、白色系统、黑色系统、灰色系统(Grey System)我们通常所说的系统是指：由客观世界中相同或相似的事物和 因素按一定的秩序相互关联、相互制约而构成的一个整体。白色系统如果一个系统中具有充足的信息量，其发展变化 的规律明显、定量描述方便、结构与参数具体黑色系统如果一个系统的内部特性全部是未知的灰色系统介于白色系统和黑色系统之间，即系统内部信息 和特性是部分已知的，另一部分是未知的.
2、区别白色系统与灰色系统 的重要标志是系统内各因素之间是否具有确定的关系.灰色系统分析方法主要是根据具体灰色系统的行为特征数据， 充分利用数量不多的数据和信息寻求相关因素自身与各因素之间的 数学关系，即建立相应的数学模型.二、灰色系统分析的基本概念(一) 灰数的概念及其运算1. 灰数及其表示法灰数是指信息不完全的数，例如：“那个小姑娘的身高大约有 165 公分左右，体重只有 40 公斤左右”这里的 165 左右和 40 公斤 左右都是灰数，可以分别记为(165)和(40).再如：“他的体温大约 在38度39度之间”，关于体温是灰数，记为(T丘込39】.白化数灰数的白化默认(即对形象、形态、实体、
3、数字 的默认)数，记为直，即灰数是白化数直的全体.灰数分离散和连续两种，如果是离散灰数，则有V 直& e A = x(k) | k e K = 1,2, n如果灰数中的白化数是按区间连续分布的，则有V 直 e( e It (a, b) e a, b,(a, b),a, b),(a, b2. 灰数的运算 (1) 离散灰数运算：设笛与笃为两个离散的灰数，即V e n( e x (k)1 k e K 二1,2,niiiiV e e x (l) 11 e L 二1,2,m1)0i与0j的加运算为V0 +0 e0 +0 n0 +0 ex (k)+x (1)1 k eK,l eL i j i ji j i
4、ju minminx (k)+x (l),maxmaXx (k)+x (l)klijklij2)0i与0j的减运算为V0 -0 e0 -0 n0 -0 ex(k)一x (l)lkeK,leL i j i ji j ij3)uminminx(k)-x (l),maxmaxx(k)-x (l)klijklij0i与0 j的乘运算为V0 x0 e0 x0 n0 x0 ex(k)-x (l)lkeK,leLi j i ji j iju minminfx (k) - x (l),maxmaXx (k) - x (l)klijklij4)0i与07的除运算为V0 /0 e0 /0 n0 /0 ex (k)
5、/ x (l)l ke K,le Li j i ji j ijuminminx(k)/x (l),maxmaxx(k)/x (l)k l i j k l i j(2) 连续灰数的运算：设0i与0j为两个连续的灰数，即V 0 e 0 n 0 e It(a ,b )iiii iV0 e0 n0 eIt(a ,b )jjjj j1) 0i与07的加运算为 V0 +0 e0 +0 n0 +0 eIt(a +a ,b +b )ijijijij ij2) 0i与0.的减运算为V0 -0 e0 -0 n 0 -0 e It(mina -b ,b - a , maxa -b ,b - a ) ij ijiji
6、 j i ji j i j3) 0i与0.的乘运算为V 0 x 0 e0x0i ji jn0 x0 e It(mina a ,ab ,a b ,b b ,maxa a ,ab ,a b,bb)i ji j i j j i i ji j i j j i i j4) 0i与0.的除运算为V( /直 e 0 /0ijij aabbaabb0 / 0 e It (minj , j , nax,匚,j )i j abababab上述某些运算也可以推广到任意有限个灰数的情况，另外，作为特殊情况，类似地可以给出数与灰数的混合运算.二)灰色关联分析统计分析中的相关分析等方法是分析研究各因素之间关联程度 的一种
7、有效方法，但它往往是需要有大量的统计数据，计算量大， 而且可能会出现反常的情况.为此，针对灰色系统采用关联度分析的 方法来研究相应的问题.1. 单因子的情况如果系统的行为只有一个因子x0 (结果)，而x0受到多种因素 xi(i二12,n)(原因)的影响，一种利用因素xi对因子xo的灰关联度 来表示x对x0影响大小的方法，贝U称为灰关联分析.设参考数列为x 二x (k) I k 二 1,2,n = (x (1), x (2),x (n) 比较数列( m 次实验)为x 二x (k) I k = 1,2,.,n = (jc (1),x (2),.,x (n) (i = 1,2, ,m) 贝差数列为A
8、 =幺(1), A (2),A (n)iiiiA (k) = |x (k) 一 x (k) (k = 1,2, , n;1 i 1)称之为x(0)的r-次累加生成.记x(r)(r)(1)x(r)(2),x(r)(n)2称之为x(O)的 r - 次累加生成数列.(举例)2. 累减生成如果原始数据列为x二(1)(1) ,x(2),，xx (0)二 x (1) (k)- x(1) (k -1) k 二 2,3，nr 1)，则称x(0)(k)为数列x (1)的1-次累减生成. 一般地，对于r-次累加生成数列x(r)二则称 x (r-1)二 x (r) (k) - x(r)(k -1) k - 2,3,
9、n为数列x(r)的r -次累减生成.3. 均值生成设原始数列 x (0)= (0)(1), x(0)(2),，x(0)(k -1), x (0) (k ), x (0) (n),则称 x(0)(k -1)与x(0)(k)为数列x (0)的邻值，x(0)(k -1)为后邻值，x(0)(k)为前邻 值.对于常数0，贝U称z (0)(k)二 ox(0) (k) + (1 a)x(0)(k 1)为由数列x(0)的邻值在生成系数(权)a下的邻值生成数(或生成 值) .特别地，当生成系数a二0.5时，则称z (0) (k)二 0.5x(0) (k) + 0.5x(0)(k 1) 为邻均值生成数，即等权邻值
10、生成数.类似地，可以定义非邻值生成数z(0) (k) = ax(0) (k +1) + (1 a) x(0) (k 1)和z(0) (k)二 0.5x(0) (k +1) + 0.5x(0)(k 1) 而数列z(0) = ( z(0) (1), z(0) (2),z(0) (n)称为均值生成数列.(举例) 三、灰色模型 GM灰色模型是利用离散随机数经过生成变为随机性被显著削弱而 且较有规律的生成数，建立起的微分方程形式的模型，这样便于对 其变化过程进行研究和描述.(一) GM(1,1)模型(最常用)，X (0)的累设 x(0)为 n 个元素的数列 X(0)二 V(0)(1), x(0)(2),x(0) 加生成数列为x(1) =C(1)(1),x(1)(2)，,x(1)(n)，其中x(1) (k)=丈 x(0) (i)(k=1,2,n)i=1则定义x的灰导数为即原始数据)d(k) 二 X (0) (k) 二 X (1) (k)- X(1) (k -1)(令z(1)为数列x(1)的均值数列，即z(k)二 0.5x(1) (
