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1、高三数学第一轮复习：45 第一章 不等式的基本性质（理）人教实验B版【本讲教育信息】一. 教学内容：45 / 第一章 / 不等式的基本性质、基本不等式；不等式的解法二. 教学目的：1、巩固不等式的基本性质、拓展基本不等式相关知识；2、掌握一元一次不等式、一元二次不等式及绝对值不等式的解法三. 教学重点、难点基本不等式的知识拓展；绝对值不等式的解法四. 知识分析【不等式的基本性质】1、不等式的基本性质：对于任意的实数a，b，有，这三条基本性质是差值比较法的理论依据2、不等式的性质包括“单向性”和“双向性”两个方面【单向性】（1）（2）（3）（4）（5）（6）【双向性】（1）（2）（3）单向性主要
2、用于证明不等式；双向性是解不等式的基础（当然也可用于证明不等式），由于单向性（3）、（4）的逆命题都成立，所以它们也可用于解不等式，在应用单向性（6）解无理不等式和形如的高次不等式时，若n为偶数时要注意讨论3、要注意不等式性质成立的条件例如，在应用“”这一性质时，有些同学要么是弱化了条件，得，要么是强化了条件，而得【基本不等式】定理1 设，则，当且仅当时，等号成立。定理2 如果a，b为正数，则，当且仅当时，等号成立。定理3 如果a，b，c为正数，则，当且仅当时，等号成立。定理4 （一般形式的算术几何平均值不等式）如果，为n个正数，则，并且当且仅当时，等号成立。说明：在公式及的学习中，应注意几点
3、：（1）和成立的条件是不同的，前者只要求a，b都是实数，而后者要求a，b都为正数。例如，成立，而不成立。（2）关于不等式及的含义。或表示严格的不等式；或表示非严格的不等式。不等式“”读作c大于或等于d，其含义是“或者，或者”，等价于“c不小于d”，即若或有一个正确，则正确。不等式“”读作c小于或等于d，其含义是“，或者”，等价于“c不大于d”，即若或c=d中有一个正确，则正确。（3）这两个公式都是带有等号的不等式，因此，对定理“当时，当且仅当时等号成立”的含义要搞清楚，它的含义是：当时，当时，；当时，当时，。对基本不等式：a，b为正数，则当且仅当时等号成立，作类似理解。定理1定理4的不等式中，
4、都给出了等号成立的充分必要条件，这些条件为解决某些有关优化的极值问题提供了理论基础，因此定理中等号成立的条件要求掌握。【不等式的解法】 1. 一元一次不等式通过同解变形，一元一次不等式可化为：，若，则其解集为。若，则其解集为。若；，解集为R；时，解集为。 2. 一元二次不等式通过同解变形，一元二次不等式可化为：或。不妨设方程的两根为、且。（1）若，则的解集为，的解集为。（2）若，不等式的解集为，不等式的解集为。（3）当，则不等式的解集为R，不等式的解集为。 3. 高次不等式高次不等式通过同解变形可化为：或（）。不妨设，运用图像法可求解。用表示每个因式的符号及符号的图像，可决定或的解集。如图所示
5、，时，的符号均为正，从而，所以是0的解。依此可求出不等式0或的解集。 4. 分式不等式（1）。（2）。（3）（4）。 5. 含有绝对值的不等式的主要类型及解法：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）。【典型例题】 例1. 对于实数a、b、c，判断下列命题的真假。（1）若，则；（2）若，则；（3）若，则；（4）若，则；（5）若，则。解析：（1）因未知c的正负或是否为零，无法确定ac与bc的大小，所以是假命题。（2）因为，所以只有时才能正确，时，所以是假命题。变式：若，则，命题是真命题。（3），命题是真命题。（4）由性质定理，命题是假命题。（5）例如，命题是假命题。点评：不等式的性质是证明不等式和
6、解不等式的理论基础，必须熟练掌握，还要注意不等式性质定理中的条件是否为充要条件，不能用充分不必要条件的性质定理解不等式。 例2. 实数a、b、c、d满足下列三个条件：；。请将a、b、c、d按照从大到小的次序排列，并证明你的结论。思路：本题条件较多，从何入手？如果两两比较，一般需要进行次，但如果能找到一个合理的程序，则可减少解题的层次。解析：由式得。点评：由于找到了一个合理程序，上面的解法没有浪费一点笔墨，干净利落。 例3. （1）若，试比较与的大小；（2）设，且，试比较与的大小。思路：根据题目的结构特点，可考虑用差值比较法。解析：。，（2）根据同底数幂的运算法则，可考虑用比值比较法。，。当时，
7、则，于是。当时，则，于是。综上所述，对于不相等的正数a、b，都有。点评：实数大小的比较问题常常利用不等式的基本性质或“，且”来解决，比较法的关键是第二步的变形，一般来说，变形越彻底，越有利于下一步的判断。 例4. 设，且，求的取值范围。思路：因为，而，；又与中的a、b不是独立的，而是相互制约的，因此，若将用和表示，则问题得解。解析：设（m、n为待定系数），则，即，于是，得解得，故。以上解题过程简化如下：由得。点评：严格依据不等式的基本性质和运算法则，是正确解答此类题目的保证。 例5. 已知a、b、c，求证：（1）；（2）；思路：由不等式两边的结构特点，我们联想到重要不等式及变形不等式；，故可运
8、用它们进行证明。证明：（1），同理，。三式相加得。（2），即。又，即。点评：证明不等式时应根据求证式二端的结构，合理选择重要不等式及其变形不等式；本题的证明方法在证轮换对称不等式时具有一定的普遍性。 例6. 某单位决定投资3200元建一仓库（长方体状），高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价40元，两侧墙砌砖，每米长造价45元，顶部每平方米造价20元，试算：（1）仓库面积S的最大允许值是多少？（2）为使S达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长？解析：用字母分别表示铁栅长和一堵砖墙长，再由题意得出数量关系。设铁栅长为x米，一堵砖墙长为y米，则有。由题意得（*
9、）应用二元均值不等式，得。，即。，从而。因此S最大允许值是100，取得此最大值的条件是而，由此求得，即铁栅的长应是15米。点评：本题也可将代入（*），导出关于x的二次方程，利用判别式法求解。 例7. 解下列不等式：（1）；（2）。思路：按一元高次不等式和分式不等式的解法求解。解析：（1）解法一：，由，得，但时，符合题意，故原不等式的解集为：。解法二：原不等式变形为：，利用数轴标根法，画出图示如下图所示：原不等式的解集为：。（2）移项整理，将原不等式化为。0恒成立。原不等式等价于。解之，得原不等式的解集为。点评：（1）采用列表法和数轴标根法没有什么本质区别，但用后者更简捷，要注意平方因式，如的特
10、点。（2）第（2）题需移项通分，经因式分解变形，对出现的二次式注意是否有实根，以便分析不等式是否有解，从而使求解过程科学合理。另外，此题也可用数轴标根法求解，解分式不等式时，注意分母不能为零。 例8. 解下列不等式：（1）；（2）。思路：按解绝对值不等式的方法求解。解析：（1）解法一：原不等式等价于或原不等式的解集为。解法二：，而，故原不等式等价于。原不等式的解集为。（2）或。点评：（1）若中的的值的范围可确定（包括恒正或恒非负，恒负或恒非正），就可直接脱掉绝对值符号，从而简化解题过程。（2）（2）小题也可将原不等式转化为求解，但过程较繁，不如上面的解法简捷。 例9. 求不等式的解集。思路：由
11、于绝对值符号里含有对数式，故先求出对数函数的定义域，然后再脱掉绝对值符号进行求解。解析：因为对数必须有意义，所以先解不等式组解得。又原不等式可化为。（1）当时，不等式化为，结合前提条件，得。（2）当时，即，。（3）当时，结合前提条件，得。综合得原不等式的解集为点评：“零点分区间”的方法是解绝对值不等式最基本的方法，注意熟练掌握，另外注意，原不等式的解集是各区间解集的并集。【模拟试题】（答题时间：75分钟） 1. 若a、b是任意实数，且，则A. B. C. 0D. 2. 若，则A. B. C. D. 3. 设a、b是两个实数，给出下列条件：；，其中能推出“a，b中至少有一个数大于1”的条件是A.
12、 B. C. D. 4. 设a、b，若，则的最小值等于A. 1B. 3C. 2D. 4 5. 若关于x的不等式的解集是，则a的值为A. 2B. 2C. D. 6. 若不等式对一切恒成立，那么实数a的取值范围是A. B. C. D. 7. 不等式的解集是A. B. C. D. 8. 已知三个不等式，以其中两个做条件，余下一个做结论，则可以组成_个正确命题。 9. 已知，则与的大小关系是_。 10. 如果只有一个实数满足，则a=_。 11. 已知，则m、n的大小关系是_。 12. 已知a、b，并且，求证：。 13. 有一种变压器，铁芯的截面呈正十字形，如图所示，为了保证所需的磁通量，需要一定的截面
13、积，如果要求正十字的面积为，应如何设计正十字形的长y与宽x，才能使正十字形的外接圆周长最短（从而可使用来绕铁芯的铜线最省）？ 14. 已知不等式的解集为，（1）求a、b的值。（2）解不等式，。 15. 若a，b，、是方程的两根，且，求证：，且。【试题答案】 1. D2. B3. D4. C5. B6. D7. B 8. 39. 10. 11. 12. 证明：作差，因为a、b，且，均为正数。 13. 解析：首先，即。当即时，直径最短，从而最省铜线。 14. 解析：（1）由题设，方程的两根为1，b。根据韦达定理，解得。即所求，。（2）原不等式即为，当时，解得。当时，。=9-160，不等式的解集为。综上所述，当时，原不等式的解集为当时，原不等式的解集为。 15. 证明：由韦达定理，得，。，即。，同理可证：。用心 爱心 专心
