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1、高三数学第一轮复习:45 第一章 不等式的基本性质(理)人教实验B版【本讲教育信息】一. 教学内容:45 / 第一章 / 不等式的基本性质、基本不等式;不等式的解法二. 教学目的:1、巩固不等式的基本性质、拓展基本不等式相关知识;2、掌握一元一次不等式、一元二次不等式及绝对值不等式的解法三. 教学重点、难点基本不等式的知识拓展;绝对值不等式的解法四. 知识分析【不等式的基本性质】1、不等式的基本性质:对于任意的实数a,b,有,这三条基本性质是差值比较法的理论依据2、不等式的性质包括“单向性”和“双向性”两个方面【单向性】(1)(2)(3)(4)(5)(6)【双向性】(1)(2)(3)单向性主要
2、用于证明不等式;双向性是解不等式的基础(当然也可用于证明不等式),由于单向性(3)、(4)的逆命题都成立,所以它们也可用于解不等式,在应用单向性(6)解无理不等式和形如的高次不等式时,若n为偶数时要注意讨论3、要注意不等式性质成立的条件例如,在应用“”这一性质时,有些同学要么是弱化了条件,得,要么是强化了条件,而得【基本不等式】定理1 设,则,当且仅当时,等号成立。定理2 如果a,b为正数,则,当且仅当时,等号成立。定理3 如果a,b,c为正数,则,当且仅当时,等号成立。定理4 (一般形式的算术几何平均值不等式)如果,为n个正数,则,并且当且仅当时,等号成立。说明:在公式及的学习中,应注意几点
3、:(1)和成立的条件是不同的,前者只要求a,b都是实数,而后者要求a,b都为正数。例如,成立,而不成立。(2)关于不等式及的含义。或表示严格的不等式;或表示非严格的不等式。不等式“”读作c大于或等于d,其含义是“或者,或者”,等价于“c不小于d”,即若或有一个正确,则正确。不等式“”读作c小于或等于d,其含义是“,或者”,等价于“c不大于d”,即若或c=d中有一个正确,则正确。(3)这两个公式都是带有等号的不等式,因此,对定理“当时,当且仅当时等号成立”的含义要搞清楚,它的含义是:当时,当时,;当时,当时,。对基本不等式:a,b为正数,则当且仅当时等号成立,作类似理解。定理1定理4的不等式中,
4、都给出了等号成立的充分必要条件,这些条件为解决某些有关优化的极值问题提供了理论基础,因此定理中等号成立的条件要求掌握。【不等式的解法】 1. 一元一次不等式通过同解变形,一元一次不等式可化为:,若,则其解集为。若,则其解集为。若;,解集为R;时,解集为。 2. 一元二次不等式通过同解变形,一元二次不等式可化为:或。不妨设方程的两根为、且。(1)若,则的解集为,的解集为。(2)若,不等式的解集为,不等式的解集为。(3)当,则不等式的解集为R,不等式的解集为。 3. 高次不等式高次不等式通过同解变形可化为:或()。不妨设,运用图像法可求解。用表示每个因式的符号及符号的图像,可决定或的解集。如图所示
5、,时,的符号均为正,从而,所以是0的解。依此可求出不等式0或的解集。 4. 分式不等式(1)。(2)。(3)(4)。 5. 含有绝对值的不等式的主要类型及解法:(1);(2);(3);(4);(5)。【典型例题】 例1. 对于实数a、b、c,判断下列命题的真假。(1)若,则;(2)若,则;(3)若,则;(4)若,则;(5)若,则。解析:(1)因未知c的正负或是否为零,无法确定ac与bc的大小,所以是假命题。(2)因为,所以只有时才能正确,时,所以是假命题。变式:若,则,命题是真命题。(3),命题是真命题。(4)由性质定理,命题是假命题。(5)例如,命题是假命题。点评:不等式的性质是证明不等式和
6、解不等式的理论基础,必须熟练掌握,还要注意不等式性质定理中的条件是否为充要条件,不能用充分不必要条件的性质定理解不等式。 例2. 实数a、b、c、d满足下列三个条件:;。请将a、b、c、d按照从大到小的次序排列,并证明你的结论。思路:本题条件较多,从何入手?如果两两比较,一般需要进行次,但如果能找到一个合理的程序,则可减少解题的层次。解析:由式得。点评:由于找到了一个合理程序,上面的解法没有浪费一点笔墨,干净利落。 例3. (1)若,试比较与的大小;(2)设,且,试比较与的大小。思路:根据题目的结构特点,可考虑用差值比较法。解析:。,(2)根据同底数幂的运算法则,可考虑用比值比较法。,。当时,
7、则,于是。当时,则,于是。综上所述,对于不相等的正数a、b,都有。点评:实数大小的比较问题常常利用不等式的基本性质或“,且”来解决,比较法的关键是第二步的变形,一般来说,变形越彻底,越有利于下一步的判断。 例4. 设,且,求的取值范围。思路:因为,而,;又与中的a、b不是独立的,而是相互制约的,因此,若将用和表示,则问题得解。解析:设(m、n为待定系数),则,即,于是,得解得,故。以上解题过程简化如下:由得。点评:严格依据不等式的基本性质和运算法则,是正确解答此类题目的保证。 例5. 已知a、b、c,求证:(1);(2);思路:由不等式两边的结构特点,我们联想到重要不等式及变形不等式;,故可运
8、用它们进行证明。证明:(1),同理,。三式相加得。(2),即。又,即。点评:证明不等式时应根据求证式二端的结构,合理选择重要不等式及其变形不等式;本题的证明方法在证轮换对称不等式时具有一定的普遍性。 例6. 某单位决定投资3200元建一仓库(长方体状),高度恒定,它的后墙利用旧墙不花钱,正面用铁栅,每米长造价40元,两侧墙砌砖,每米长造价45元,顶部每平方米造价20元,试算:(1)仓库面积S的最大允许值是多少?(2)为使S达到最大,而实际投资又不超过预算,那么正面铁栅应设计为多长?解析:用字母分别表示铁栅长和一堵砖墙长,再由题意得出数量关系。设铁栅长为x米,一堵砖墙长为y米,则有。由题意得(*
9、)应用二元均值不等式,得。,即。,从而。因此S最大允许值是100,取得此最大值的条件是而,由此求得,即铁栅的长应是15米。点评:本题也可将代入(*),导出关于x的二次方程,利用判别式法求解。 例7. 解下列不等式:(1);(2)。思路:按一元高次不等式和分式不等式的解法求解。解析:(1)解法一:,由,得,但时,符合题意,故原不等式的解集为:。解法二:原不等式变形为:,利用数轴标根法,画出图示如下图所示:原不等式的解集为:。(2)移项整理,将原不等式化为。0恒成立。原不等式等价于。解之,得原不等式的解集为。点评:(1)采用列表法和数轴标根法没有什么本质区别,但用后者更简捷,要注意平方因式,如的特
10、点。(2)第(2)题需移项通分,经因式分解变形,对出现的二次式注意是否有实根,以便分析不等式是否有解,从而使求解过程科学合理。另外,此题也可用数轴标根法求解,解分式不等式时,注意分母不能为零。 例8. 解下列不等式:(1);(2)。思路:按解绝对值不等式的方法求解。解析:(1)解法一:原不等式等价于或原不等式的解集为。解法二:,而,故原不等式等价于。原不等式的解集为。(2)或。点评:(1)若中的的值的范围可确定(包括恒正或恒非负,恒负或恒非正),就可直接脱掉绝对值符号,从而简化解题过程。(2)(2)小题也可将原不等式转化为求解,但过程较繁,不如上面的解法简捷。 例9. 求不等式的解集。思路:由
11、于绝对值符号里含有对数式,故先求出对数函数的定义域,然后再脱掉绝对值符号进行求解。解析:因为对数必须有意义,所以先解不等式组解得。又原不等式可化为。(1)当时,不等式化为,结合前提条件,得。(2)当时,即,。(3)当时,结合前提条件,得。综合得原不等式的解集为点评:“零点分区间”的方法是解绝对值不等式最基本的方法,注意熟练掌握,另外注意,原不等式的解集是各区间解集的并集。【模拟试题】(答题时间:75分钟) 1. 若a、b是任意实数,且,则A. B. C. 0D. 2. 若,则A. B. C. D. 3. 设a、b是两个实数,给出下列条件:;,其中能推出“a,b中至少有一个数大于1”的条件是A.
12、 B. C. D. 4. 设a、b,若,则的最小值等于A. 1B. 3C. 2D. 4 5. 若关于x的不等式的解集是,则a的值为A. 2B. 2C. D. 6. 若不等式对一切恒成立,那么实数a的取值范围是A. B. C. D. 7. 不等式的解集是A. B. C. D. 8. 已知三个不等式,以其中两个做条件,余下一个做结论,则可以组成_个正确命题。 9. 已知,则与的大小关系是_。 10. 如果只有一个实数满足,则a=_。 11. 已知,则m、n的大小关系是_。 12. 已知a、b,并且,求证:。 13. 有一种变压器,铁芯的截面呈正十字形,如图所示,为了保证所需的磁通量,需要一定的截面
13、积,如果要求正十字的面积为,应如何设计正十字形的长y与宽x,才能使正十字形的外接圆周长最短(从而可使用来绕铁芯的铜线最省)? 14. 已知不等式的解集为,(1)求a、b的值。(2)解不等式,。 15. 若a,b,、是方程的两根,且,求证:,且。【试题答案】 1. D2. B3. D4. C5. B6. D7. B 8. 39. 10. 11. 12. 证明:作差,因为a、b,且,均为正数。 13. 解析:首先,即。当即时,直径最短,从而最省铜线。 14. 解析:(1)由题设,方程的两根为1,b。根据韦达定理,解得。即所求,。(2)原不等式即为,当时,解得。当时,。=9-160,不等式的解集为。综上所述,当时,原不等式的解集为当时,原不等式的解集为。 15. 证明:由韦达定理,得,。,即。,同理可证:。用心 爱心 专心