《安徽大学数学科学学院数学分析历年考研真题汇编(含部分答案)》由会员分享,可在线阅读,更多相关《安徽大学数学科学学院数学分析历年考研真题汇编(含部分答案)(38页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、目录2001年安徽大学数学分析考研真题2002年安徽大学数学分析考研真题及详解(答案仅供参考)2004年安徽大学441数学分析考研真题2005年安徽大学440数学分析考研真题2006年安徽大学440数学分析考研真题2007年安徽大学440数学分析考研真题2008年安徽大学811数学分析考研真题2009年安徽大学数学分析考研真题2010年安徽大学数学分析考研真题2011年安徽大学数学分析考研真题及详解(答案仅供参考)2012年安徽大学数学分析考研真题2001年安徽大学数学分析考研真题2002年安徽大学数学分析考研真题及详解(答案仅供参考) 说明:以下试题答案为网上搜集整理,仅供参考,特此说明!一
2、、(15分)判定下列命题的真伪,若真,给出证明;若伪,举出反例1. 数列收敛于 的充要条件是对任意给定的正数 ,中含有的无限多项答:不真,如,在中有中的无限多项,而不收敛(关键是在邻域外面只有有限项)2. 函数在上可积,一定绝对可积答:真因为在上可积,则某个分割 ,s.t.,而故即在上可积,所以在上绝对可积3. 若存在,则与均存在 答:不真例如,显然有但是不存在(构造函数要具有特殊性,里面有一个) 二、(16分)叙述数列收敛的柯西(Cauchy)收敛原理,并证明之 答:柯西收敛原理如下:数列收敛时有 证明如下:()设,则,当时因而故必要性成立()先证明有界取,当及时有则令,则将二等分,将含有无
3、穷多项的那部分记作;再将二等分,将含有无穷多项的那部分记作,如此下去得到区间列,且因此是一个区间列;由区间套定理知因此在含有的无穷多项,从而,即收敛三、(14分)设函数在上可导,对于任意的有且证明:存在唯一的使得证明:由题意知,作辅助函数,则由零点存在定理知,使得,即 由知假设在内有两个零点且由Rolle定理知,使得,即,这与相矛盾,故在内存在唯一的零点 ,即四、(16分)讨论二元函数在原点处的连续性及可微性解:对当时有故 在处连续 由偏导数公式可得又,从而不唯一,所以 在处不可微 五、(15分)设有级数1. 当 取何值时,级数条件收敛;2. 当 取何值时,级数绝对收敛;3. 证明级数在上内闭
4、一致收敛 解:因为1. 当时,收敛,此时绝对收敛2. 当,由于的部分和数列有界,单调递减且,由Dirichlet判别法知 收敛 当时,绝对收敛从而当时绝对收敛,条件收敛3. 对任意的,由,有由Cauchy收敛准则知 在上一直收敛,故在内闭一致收敛六、(12分)计算曲面积分,其中为锥面在柱体的内部解:因为所以七、(12分)证明函数在上具有无限次的导数 证明:(1)先证明在上可微,使得在上,考察由于,而由比较判别法知级数 收敛,从而可知函数项级数在上一致收敛故函数在上可微且特别地,由的任意性,在上可微,且(2)在证明对任意的,均有成立 事实上,当时,由(1)知结论成立假设时结论也成立,则当时,考察
5、由于而,故级数收敛,从而函数项级数在上一致连续, 故函数在上可微,且由以上证明可知在上无穷次可微2004年安徽大学441数学分析考研真题2005年安徽大学440数学分析考研真题2006年安徽大学440数学分析考研真题2007年安徽大学440数学分析考研真题2008年安徽大学811数学分析考研真题2009年安徽大学数学分析考研真题2010年安徽大学数学分析考研真题2011年安徽大学数学分析考研真题及详解(答案仅供参考)1. 求极限解:2. 计算, 为取逆时针方向 解:记,则而由格林公式知3. 计算, 为, 解:计算如下4. 求函数在闭区域上的最大值与最小值解:由,知的极值点为且求在上的最大值与最
6、小值利用Lagrange乘数法,记则知或直接计算有故由知而其有非零解(否则与矛盾)。故即有将上述 的值代入,再联立即知结论5设均为正整数数列,且适合,证明:数列证明:由的极限存在,并求该极限值及均为正整数知于是令则注意到,有单调递减且有下界 从而存在于(2)两边令,得 6. 设在上有连续的导函数,且试证明:证明:由知而记,则从而7. 设数列为正的单调递减数列,且收敛,证明:证明:因为为正的单调递减数列,所以存在由收敛,可知必有对任意存在正整数,使得对任意正整数,成立,有在上式中,令 ,取极限,则得由的任意性,则得显然,故有8. 设为实数,试讨论广义积分何时绝对收敛,何时条件收敛,何时发散,并说
7、明理由解:(1)考虑积分由于当时,与同阶; 当时,有当时,收敛;当时,发散;当时,收敛;当时,发散(Dirichlet判别法); 当时,也发散从而当且仅当时,原广义积分绝对收敛(2)考虑易知:当时,收敛;当时,发散;当时,收敛;当时,发散 从而当且仅当时,广义积分收敛综上所述,得出结论:a. 当 时,原广义积分绝对收敛;b. 当且时,原广义积分条件收敛;c. 其他情况时,原广义积分绝对发散9. 设,.已知(1) 试证明:;(2) 求出的初等函数表达式 证明:(1)由相应的一致收敛性知而(2),得又,得有2012年安徽大学数学分析考研真题1(20分)求下列积分.(1)(n个开立方);(2)()2(20分)设函数,在闭区间上连续且严格单调增加,证明:3(25分)(1)若函数在 上连续,且(有限数)证明:在 上一致连续(2)证明:在上一致连续4(20分)设,求广义积分5(25分)求幂级数的收敛半径,收敛域与和函数6(20分)计算曲线积分,其中 为一条分段光滑且不经过原点的连续闭曲线,的方向为逆时针方向7(20分)将,展开为级数