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1、百度文库专用三十六计之一瞒天过海与数学解题（1）挖掘隐含条件 开辟解题途径江苏省邳州市宿羊山高级中学（221354）耿道永三十六计之一瞒天过海，其原典为：备周则意怠；常见则不疑。阴在阳之内，不在阳之对。太阳，太阴。其译文：防备周全时，更容易麻痹大意；习以为常的事，也常会失去警戒。秘密潜在公开的事物里，并非存在于公开暴露的事物之外。公开暴露的事物发展到极端，就形成了最隐秘的潜藏状态。【故事】“瞒天过海”之谋略决不可以与“欺上瞒下”、“掩耳盗铃”或者诸如夜中行窃、拖人衣裘、僻处谋命之类等同，也决不是谋略之士所应当做的事情。虽然，这两种在某种程度上都含有欺骗性在内，但其动机、性质、目的是不相同的，自
2、是不可以混为一谈。这一计的兵法运用，常常是着眼于人们在观察处理世事中，由于对某些事情的习见不疑而自觉不自觉地产生了疏漏和松懈，故能乘虚而示假隐真，掩盖某种军事行动，把握时机，出奇制胜。唐太宗贞观十七年，御驾亲征，领三十万大军以宁东土。一日，浩荡大军东进来到大海边上，帝见眼前只是白浪排空，海茫无穷，即向众总管问及过海之计，四下面面相觑。忽传一个近居海上的豪民请求见驾，并称三十万过海军粮此家业已独备。帝大喜，便率百官随这豪民来到海边。只见万户皆用一彩幕遮围，十分严密。豪民老人东向倒步引帝入室。室内更是绣幔彩锦，茵褥铺地。百官进酒，宴饮甚乐。不久，风声四起，波响如雷，杯盏倾侧，人身摇动，良久不止。太
3、宗警惊，忙令近臣揭开彩幕察看，不看则已，一看愕然。满目皆一片清清海水横无际涯，哪里是什么在豪民家作客，大军竟然已航行在大海之上了！原来这豪民是新招壮士薛仁贵扮成，这“瞒天过海”计策就是他策划的。“瞒天过海”用在兵法上，实属一种示假隐真的疑兵之计，用来作战役伪装，以期达到出其不意的战斗成果。数学题目的设计往往有一些“瞒天过海”的条件，即隐含条件。这是一种在题目中未明确表达出来而客观又存在的条件，隐含条件隐藏教深的题目，往往给学生造成条件不足的假象，但如果能仔细分析、推敲，就可以将其挖掘出来。特别是在审题过程中，若能及时发现和运用隐含条件，不仅可以迅速找到解题的突破口，而且能使解题过程简单明了。下
4、面结合例题就如何挖掘题目中的隐含条件作一探讨。1 从题目的结构中挖掘隐含条件解题时，若题设条件中隐含着某些概念、公式具有类似结构的数式或图形信息，则应抓住结构特征，揭示隐含条件，用构造的方法转化研究对象，使问题顺利解决。例1 比较-与-的大小。分析1 观察两式子的结构，都是 的形式，联想构造函数求解。解法一 构造函数f（x）=，则=-0, f（x）在3，+上单调递增， f（a）f（a-2），即-.分析2 注意到（-）（+）=（-）（+）=1，故可以分子有理化求解。解法2 -=，-=，而, 图11-.分析3 由（）2-（）2=（）2-（）2=1，联想勾股定理，数形结合不难求解。解法3 如图11，
5、构造RtABC，使AB=1，BC=，则AC=，取BD=,则AD=，CD=-，在BCD，BC-BDCD,即-. 反思 观察联想构造或转化是解题常用的思维策略。2 从题设中的不变因素中挖掘隐含条件许多数学问题，总是研究不断运动变化过程中的数量关系，然而在这纷繁复杂的变化中却常常存在着某些“不变（性、量）”，数学解题过程中有时一旦挖掘到了这些隐含的“不变”，也就突破了解题的难点。例2 已知圆C:(x-1)2+(y-2)2=25，直线L:(2m+1)x+(m+1)y=7m+4(mR)。I）求证：不论m取什么实数，直线L与圆C相交；II）求直线L被圆C截得的线段的最短长度及此时m的值。分析 此题若按常规
6、方法，联立直线和圆的方程解方程组，然后考查0是否恒成立，或者求出圆心到直线的距离d，再证dr，这两种方法理论上都可行，但运算量大，很难得到正确的结论。若注意到直线(2m+1)x+(m+1)y-7m-4=0恒过定点N(3,1)，那么由“不变性”条件便可获得问题的简捷解法。证明：（1）直线L按参数m整理得(x+y-4)+m(2x+y-7)=0，该直线恒过定点N(3,1)，将点N(3,1)代入圆的方程的左边得(3-1)2+(1-2)2=525，所以点N在圆C内。又点N在直线上，所以不论m取何实数，直线L与圆C恒相交；(2)要使弦长最短，只需圆心C到直线L的距离最大，即当LCN时圆心C到直线L的距离最
7、大，此时弦长最短，易求得最短长度为4，此时m=-。反思 抓住解题中的“不变”因素，体现了以静制动的思维策略，这一策略常能寻找到解题的突破口或使某些问题得到简化。3.从解题过程中挖掘隐含条件关注解题过程中的每一步变形，并从变形中挖掘隐含条件，则能拓展解题思路、简化运算过程，使问题顺利获解。例3 已知二次函数f(x)=ax2+bx（a,b是常数，a0）,f(2)=0,且方程f(x)=x有等根。I）f(x)的解析式；II）是否存在常数p，q(pq),使f(x)的定义域和值域分别是p,q和2p,2q，如存在，求出p，q的值；如不存在，说明理由。分析 由题设条件易求得f(x)=-x2+x=-(x-1)+
8、，故2q，q,而f(x)在p,q（q）单调递增，从而避免了对p，q的讨论。解 由题设ax2+(b-1)x=0有等根，(b-1)2=0,即b=1. 又f(2)=0，即4a+2b=0，得a=-,f(x)=-x2+x.(2) f(x)= -(x-1)2+, 2q，即q.而当q时，f(x)在p,q上为增函数，设满足条件的p,q存在。 即又P0，向量(0,a),(1,0).经过原点O以+为方向向量的直线与经过定点A(0,a)，以-2为方向向量的直线相交于点P，其中。是否存在两个定点E、F，使得|PE|+|PF|为定值。若存在，求出E、F的坐标；若不存在，说明理由。分析 由|PE|+|PF|为定值联想椭圆
9、的定义，因此问题转化为求点P的轨迹。对于向量的方向问题，联想直线的斜率，不难写出直线的方程。解 =(1,0)，=(0,a), +=（，a）, -2=(1,-2a).因此，直线OP和AP的方程分别为y=ax和y-a=-2ax.消去参数，得点p(x,y)的坐标满足方程y(y-a)=-2a2x2,整理得 =1。因为a0，所以得:当a=时，方程是圆方程，故不存在合乎题意的定点E和F。当0a时，方程也表示椭圆，焦点E(0,(a+)和F(0,(a-)为合乎题意的两个定点。反思 本题设问极其隐蔽，不直接求动点P的轨迹，而是把问题隐于问题的等价叙述中，从而在考生眼力本题难于理解。因此，本题挖掘隐含条件极其重要
10、。6从图形的特征中挖掘隐含条件有些数学问题，其部分条件隐于图形之中，若能抓住图形的“特征”，利用运动变换的观点，恰当地添设辅助图形，就能发现含而未露的条件，使问题获解。例6 三条侧棱两两垂直且长都为1的三棱锥P-ABC内接于球O，求球O的表面积与体积。分析 由三棱锥三条侧棱两两相互垂直且相等，可联想正方体的一个“角”，故可构造正方体来处理。解 如图12，以三棱锥P-ABC构造正方体ADEF-PCGB，则对角线PE的长就是三棱锥P-ABC外接球的直径。 PA=PB=PC=1，PE=。 S球=4R2=3，V球=R3=。 图12例7 (2003年全国高考题) 一个四面体的所有棱长都为,四个顶点在同一
11、个球面上,则此球的表面积为( ). A.3 B.4 C.3 D.6 分析 由四面体各棱长相等，联想正方体对角线性质，因此可将其内置于正方体内部来处理。 图13解 将正四面体SBCD内接于一正方体之中 (如图13),则正方体的边长为1,且四面体SBCD的外接球也是正方体的外接球,易求得其半径为,从而求得其表面积. 反思 在涉及到同一点三条射线两两互相垂直的有关问题，往往可以通过构造长方体来解决；在涉及正四面体的有关问题，可通过构造正方体来解决。当然挖掘这一类隐含条件的前提是对正方体（长方体）的性质比较熟悉。7从多元问题中挖掘隐含条件（恰当的选择主元）在有几个变量的问题中,常常有一个变量处于主要地
12、位,我们称之为主元,其余变量称为客元. 在一类问题中出现多个变量且主次不分时，我们用常规方法很难找到解题途径，这时，恰当地选择主元往往会有“柳暗花明”的效果。例8 (2004年福建高考题) 已知f(x)=在区间1，1上是增函数.（）求实数a的值组成的集合A；（）设关于x的方程f(x)=的两个非零实根为x1、x2.试问：是否存在实数m，使得不等式m2+tm+1|x1x2|对任意aA及t1，1恒成立？若存在，求m的取值范围；若不存在，请说明理由.分析 （I）由题设易得A=a/-1a1；（II）这是一个恒成立问题，m2+tm+1只要不小于| x1-x2|的最大值即可，又x1、x2为f（x）=的两个根
13、，由韦达定理及判别式非负不难求出：| x1-x2|3。因此m2+tm+13对t-1,1时恒成立，常规地，我们把m2+tm+1看成m的函数，但这样处理起来很复杂。若我们及时转移视角，视t为主元，则转化为关于t的一次函数，结合函数的图象，不难求解。解 （）f(x)=4+2 f(x)在1，1上是增函数，f(x)0对x1，1恒成立，即x2ax20对x1，1恒成立. 设(x)=x2ax2，方法一： 1a1，对x1，1，只有当a=1时，f(-1)=0以及当a=1时，f(1)=0A=a|1a1.方法二： 或 0a1 或 1a0 1a1.对x1，1，只有当a=1时，f(1)=0以及当a=1时，f(1)=0A=a|1a1.（）由=a2+80x1，x2是方程x2ax2=0的两非零实根，x1+x2=a，x1x2=2，从而|x1x2|=.1a1，|x1-x2|=3.要使不等式m2+tm+1|x1x2|对任意aA及t1，1恒成立，当且仅当m2+tm+13对任意t1，1恒成立，即m2+tm20对任意t1，1恒成立.
