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1、百度文库专用三十六计之一瞒天过海与数学解题(1)挖掘隐含条件 开辟解题途径江苏省邳州市宿羊山高级中学(221354)耿道永三十六计之一瞒天过海,其原典为:备周则意怠;常见则不疑。阴在阳之内,不在阳之对。太阳,太阴。其译文:防备周全时,更容易麻痹大意;习以为常的事,也常会失去警戒。秘密潜在公开的事物里,并非存在于公开暴露的事物之外。公开暴露的事物发展到极端,就形成了最隐秘的潜藏状态。【故事】“瞒天过海”之谋略决不可以与“欺上瞒下”、“掩耳盗铃”或者诸如夜中行窃、拖人衣裘、僻处谋命之类等同,也决不是谋略之士所应当做的事情。虽然,这两种在某种程度上都含有欺骗性在内,但其动机、性质、目的是不相同的,自
2、是不可以混为一谈。这一计的兵法运用,常常是着眼于人们在观察处理世事中,由于对某些事情的习见不疑而自觉不自觉地产生了疏漏和松懈,故能乘虚而示假隐真,掩盖某种军事行动,把握时机,出奇制胜。唐太宗贞观十七年,御驾亲征,领三十万大军以宁东土。一日,浩荡大军东进来到大海边上,帝见眼前只是白浪排空,海茫无穷,即向众总管问及过海之计,四下面面相觑。忽传一个近居海上的豪民请求见驾,并称三十万过海军粮此家业已独备。帝大喜,便率百官随这豪民来到海边。只见万户皆用一彩幕遮围,十分严密。豪民老人东向倒步引帝入室。室内更是绣幔彩锦,茵褥铺地。百官进酒,宴饮甚乐。不久,风声四起,波响如雷,杯盏倾侧,人身摇动,良久不止。太
3、宗警惊,忙令近臣揭开彩幕察看,不看则已,一看愕然。满目皆一片清清海水横无际涯,哪里是什么在豪民家作客,大军竟然已航行在大海之上了!原来这豪民是新招壮士薛仁贵扮成,这“瞒天过海”计策就是他策划的。“瞒天过海”用在兵法上,实属一种示假隐真的疑兵之计,用来作战役伪装,以期达到出其不意的战斗成果。数学题目的设计往往有一些“瞒天过海”的条件,即隐含条件。这是一种在题目中未明确表达出来而客观又存在的条件,隐含条件隐藏教深的题目,往往给学生造成条件不足的假象,但如果能仔细分析、推敲,就可以将其挖掘出来。特别是在审题过程中,若能及时发现和运用隐含条件,不仅可以迅速找到解题的突破口,而且能使解题过程简单明了。下
4、面结合例题就如何挖掘题目中的隐含条件作一探讨。1 从题目的结构中挖掘隐含条件解题时,若题设条件中隐含着某些概念、公式具有类似结构的数式或图形信息,则应抓住结构特征,揭示隐含条件,用构造的方法转化研究对象,使问题顺利解决。例1 比较-与-的大小。分析1 观察两式子的结构,都是 的形式,联想构造函数求解。解法一 构造函数f(x)=,则=-0, f(x)在3,+上单调递增, f(a)f(a-2),即-.分析2 注意到(-)(+)=(-)(+)=1,故可以分子有理化求解。解法2 -=,-=,而, 图11-.分析3 由()2-()2=()2-()2=1,联想勾股定理,数形结合不难求解。解法3 如图11,
5、构造RtABC,使AB=1,BC=,则AC=,取BD=,则AD=,CD=-,在BCD,BC-BDCD,即-. 反思 观察联想构造或转化是解题常用的思维策略。2 从题设中的不变因素中挖掘隐含条件许多数学问题,总是研究不断运动变化过程中的数量关系,然而在这纷繁复杂的变化中却常常存在着某些“不变(性、量)”,数学解题过程中有时一旦挖掘到了这些隐含的“不变”,也就突破了解题的难点。例2 已知圆C:(x-1)2+(y-2)2=25,直线L:(2m+1)x+(m+1)y=7m+4(mR)。I)求证:不论m取什么实数,直线L与圆C相交;II)求直线L被圆C截得的线段的最短长度及此时m的值。分析 此题若按常规
6、方法,联立直线和圆的方程解方程组,然后考查0是否恒成立,或者求出圆心到直线的距离d,再证dr,这两种方法理论上都可行,但运算量大,很难得到正确的结论。若注意到直线(2m+1)x+(m+1)y-7m-4=0恒过定点N(3,1),那么由“不变性”条件便可获得问题的简捷解法。证明:(1)直线L按参数m整理得(x+y-4)+m(2x+y-7)=0,该直线恒过定点N(3,1),将点N(3,1)代入圆的方程的左边得(3-1)2+(1-2)2=525,所以点N在圆C内。又点N在直线上,所以不论m取何实数,直线L与圆C恒相交;(2)要使弦长最短,只需圆心C到直线L的距离最大,即当LCN时圆心C到直线L的距离最
7、大,此时弦长最短,易求得最短长度为4,此时m=-。反思 抓住解题中的“不变”因素,体现了以静制动的思维策略,这一策略常能寻找到解题的突破口或使某些问题得到简化。3.从解题过程中挖掘隐含条件关注解题过程中的每一步变形,并从变形中挖掘隐含条件,则能拓展解题思路、简化运算过程,使问题顺利获解。例3 已知二次函数f(x)=ax2+bx(a,b是常数,a0),f(2)=0,且方程f(x)=x有等根。I)f(x)的解析式;II)是否存在常数p,q(pq),使f(x)的定义域和值域分别是p,q和2p,2q,如存在,求出p,q的值;如不存在,说明理由。分析 由题设条件易求得f(x)=-x2+x=-(x-1)+
8、,故2q,q,而f(x)在p,q(q)单调递增,从而避免了对p,q的讨论。解 由题设ax2+(b-1)x=0有等根,(b-1)2=0,即b=1. 又f(2)=0,即4a+2b=0,得a=-,f(x)=-x2+x.(2) f(x)= -(x-1)2+, 2q,即q.而当q时,f(x)在p,q上为增函数,设满足条件的p,q存在。 即又P0,向量(0,a),(1,0).经过原点O以+为方向向量的直线与经过定点A(0,a),以-2为方向向量的直线相交于点P,其中。是否存在两个定点E、F,使得|PE|+|PF|为定值。若存在,求出E、F的坐标;若不存在,说明理由。分析 由|PE|+|PF|为定值联想椭圆
9、的定义,因此问题转化为求点P的轨迹。对于向量的方向问题,联想直线的斜率,不难写出直线的方程。解 =(1,0),=(0,a), +=(,a), -2=(1,-2a).因此,直线OP和AP的方程分别为y=ax和y-a=-2ax.消去参数,得点p(x,y)的坐标满足方程y(y-a)=-2a2x2,整理得 =1。因为a0,所以得:当a=时,方程是圆方程,故不存在合乎题意的定点E和F。当0a时,方程也表示椭圆,焦点E(0,(a+)和F(0,(a-)为合乎题意的两个定点。反思 本题设问极其隐蔽,不直接求动点P的轨迹,而是把问题隐于问题的等价叙述中,从而在考生眼力本题难于理解。因此,本题挖掘隐含条件极其重要
10、。6从图形的特征中挖掘隐含条件有些数学问题,其部分条件隐于图形之中,若能抓住图形的“特征”,利用运动变换的观点,恰当地添设辅助图形,就能发现含而未露的条件,使问题获解。例6 三条侧棱两两垂直且长都为1的三棱锥P-ABC内接于球O,求球O的表面积与体积。分析 由三棱锥三条侧棱两两相互垂直且相等,可联想正方体的一个“角”,故可构造正方体来处理。解 如图12,以三棱锥P-ABC构造正方体ADEF-PCGB,则对角线PE的长就是三棱锥P-ABC外接球的直径。 PA=PB=PC=1,PE=。 S球=4R2=3,V球=R3=。 图12例7 (2003年全国高考题) 一个四面体的所有棱长都为,四个顶点在同一
11、个球面上,则此球的表面积为( ). A.3 B.4 C.3 D.6 分析 由四面体各棱长相等,联想正方体对角线性质,因此可将其内置于正方体内部来处理。 图13解 将正四面体SBCD内接于一正方体之中 (如图13),则正方体的边长为1,且四面体SBCD的外接球也是正方体的外接球,易求得其半径为,从而求得其表面积. 反思 在涉及到同一点三条射线两两互相垂直的有关问题,往往可以通过构造长方体来解决;在涉及正四面体的有关问题,可通过构造正方体来解决。当然挖掘这一类隐含条件的前提是对正方体(长方体)的性质比较熟悉。7从多元问题中挖掘隐含条件(恰当的选择主元)在有几个变量的问题中,常常有一个变量处于主要地
12、位,我们称之为主元,其余变量称为客元. 在一类问题中出现多个变量且主次不分时,我们用常规方法很难找到解题途径,这时,恰当地选择主元往往会有“柳暗花明”的效果。例8 (2004年福建高考题) 已知f(x)=在区间1,1上是增函数.()求实数a的值组成的集合A;()设关于x的方程f(x)=的两个非零实根为x1、x2.试问:是否存在实数m,使得不等式m2+tm+1|x1x2|对任意aA及t1,1恒成立?若存在,求m的取值范围;若不存在,请说明理由.分析 (I)由题设易得A=a/-1a1;(II)这是一个恒成立问题,m2+tm+1只要不小于| x1-x2|的最大值即可,又x1、x2为f(x)=的两个根
13、,由韦达定理及判别式非负不难求出:| x1-x2|3。因此m2+tm+13对t-1,1时恒成立,常规地,我们把m2+tm+1看成m的函数,但这样处理起来很复杂。若我们及时转移视角,视t为主元,则转化为关于t的一次函数,结合函数的图象,不难求解。解 ()f(x)=4+2 f(x)在1,1上是增函数,f(x)0对x1,1恒成立,即x2ax20对x1,1恒成立. 设(x)=x2ax2,方法一: 1a1,对x1,1,只有当a=1时,f(-1)=0以及当a=1时,f(1)=0A=a|1a1.方法二: 或 0a1 或 1a0 1a1.对x1,1,只有当a=1时,f(1)=0以及当a=1时,f(1)=0A=a|1a1.()由=a2+80x1,x2是方程x2ax2=0的两非零实根,x1+x2=a,x1x2=2,从而|x1x2|=.1a1,|x1-x2|=3.要使不等式m2+tm+1|x1x2|对任意aA及t1,1恒成立,当且仅当m2+tm+13对任意t1,1恒成立,即m2+tm20对任意t1,1恒成立.