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1、2013年全国硕士研究生入学考试数学二试题一、选择题：1-8小题，每小题4分，共32分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上（1）设，其中，则当时，是 （ ）(A) 比高阶的无穷小(B) 比低阶的无穷小(C) 与同阶但不等价的无穷小(D) 与等价的无穷小（2）设函数由方程确定，则（ ）(A)(B)(C)(D) （3）设函数，则（ ）(A) 是函数的跳跃间断点(B) 是函数的可去间断点(C) 在处连续但不可导(D) 在处可导（4）设函数，若反常积分收敛，则（ ）(A) (B) (C) (D) （5）设，其中函数可微，则（ ）(A) (B)
2、(C) (D) （6）设是圆域在第象限的部分，记，则（ ）(A)(B) (C)(D)（7）设均为n阶矩阵，若，且可逆，则（ ）(A) 矩阵的行向量组与矩阵的行向量组等价(B) 矩阵的列向量组与矩阵的列向量组等价(C) 矩阵的行向量组与矩阵的行向量组等价(D) 矩阵的列向量组与矩阵的列向量组等价（8）矩阵与相似的充分必要条件为（ ）(A)(B)为任意常数(C)(D)为任意常数二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上（9） （10）设函数，则的反函数在处的导数 （11）设封闭曲线的极坐标方程为，则所围成平面图形的面积是 （12）曲线上对应于的点处的法线方程为 （
3、13）已知，是某2阶常系数非齐次线性微分方程的3个解，则该方程满足条件的解 （14）设为阶非零矩阵，为的行列式，为的代数余子式，若，则 三、解答题：1523小题，共94分，请将解答写在答题纸指定位置上，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（15）（本题满分10 分）当时，与为等价无穷小，求与的值。（16）（本题满分10 分）设是由曲线，直线及轴所围成的平面图形，分别是绕轴，轴旋转一周所得旋转体的体积，若，求的值。（17）（本题满分10 分）设平面区域由直线及围成，计算（18）（本题满分10 分）设奇函数在上具有二阶导数，且，证明：（）存在，使得；（）存在，使得。（19）（本题满分10分）求曲
4、线上的点到坐标原点的最长距离与最短距离。（20）（本题满分11 分）设函数（I）求的最小值。（II）设数列满足，证明存在并求此极限（21）（本题满分11 分）设曲线的方程，（I）求的弧长；（II）设是由曲线，直线及轴所围平面图形，求的形心的横坐标。（22）（本题满分11 分）设，当为何值时，存在矩阵，使得，并求所有矩阵。（23）（本题满分 10 分）设二次型，记，（）证明二次型对应的矩阵为；（）若正交且均为单位向量，证明在正交变换下的标准形为。2012年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题:1-8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所
5、选项前的字母填在答题纸指定位置上.(1)曲线的渐近线条数 ( )(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3(2) 设函数，其中为正整数,则 ( )(A) (B) (C) (D) (3) 设，则数列有界是数列收敛的 ( )(A) 充分必要条件 (B) 充分非必要条件 (C) 必要非充分条件 (D) 非充分也非必要(4) 设则有 ( )(A) (B) (C) (D) (5) 设函数为可微函数，且对任意的都有则使不等式成立的一个充分条件是 ( )(A) (B) (C) (D) (6) 设区域由曲线围成，则 ( )(A) (B) 2 (C) -2 (D) - (7) 设, , , ,其中为任意常数
6、，则下列向量组线性相关的为 ( )(A) (B) (C) (D) (8) 设为3阶矩阵，为3阶可逆矩阵，且.若，则 ( )(A) (B) (C) (D)二、填空题：9-14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸指定位置上.(9) 设是由方程所确定的隐函数，则 .(10) .(11) 设其中函数可微，则 .(12) 微分方程满足条件的解为 .(13) 曲线上曲率为的点的坐标是 .(14) 设为3阶矩阵，为伴随矩阵，若交换的第1行与第2行得矩阵，则 . 三、解答题：15-23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15)(本题满分 10 分)
7、已知函数，记，(I)求的值;(II)若时，与是同阶无穷小，求常数的值.(16)(本题满分 10 分)求函数的极值.(17)(本题满分12分)过点作曲线的切线,切点为,又与轴交于点,区域由与直线围成,求区域的面积及绕轴旋转一周所得旋转体的体积.(18)(本题满分 10 分)计算二重积分，其中区域为曲线与极轴围成.(19)(本题满分10分)已知函数满足方程及,(I) 求的表达式;(II) 求曲线的拐点.(20)(本题满分10分)证明,.(21)(本题满分10 分)(I)证明方程，在区间内有且仅有一个实根；(II)记(I)中的实根为，证明存在，并求此极限.(22)(本题满分11 分)设，(I) 计算
8、行列式；(II) 当实数为何值时，方程组有无穷多解，并求其通解.(23)(本题满分11 分)已知，二次型的秩为2，(I) 求实数的值；(II) 求正交变换将化为标准形.2011年考研数学试题（数学二）一、选择题1. 已知当时，函数A k=1,c=4 B k=a, c=-4 C k=3,c=4 D k=3,c=-42.A B C D03. 函数的驻点个数为A0 B1 C2 D34. 微分方程A BC D5设函数具有二阶连续导数，且，则函数在点（0，0）处取得极小值的一个充分条件A B C D6.设A IJK B IKJ C JIK D KJI7.设A为3阶矩阵，将A的第二列加到第一列得矩阵B，再
9、交换B的第二行与第一行得单位矩阵。记则A=A B C D8设是4阶矩阵，是A的伴随矩阵，若是方程组的一个基础解系，则的基础解系可为A B C D二、填空题(A) (B) 微分方程 11.曲线的弧长s=_12.设函数 ，则13.设平面区域D由y=x,圆及y轴所组成，则二重积分14.二次型，则f的正惯性指数为_三、解答题15. 已知函数，设，试求的取值范围。16. 设函数y=y(x)有参数方程，求y=y(x)的数值和曲线y=y(x)的凹凸区间及拐点。17. 设，其中函数f具有二阶连续偏导数，函数g(x)可导，且在x=1处取得极值g(1)=1,求18. 设函数y(x)具有二阶导数，且曲线l:y=y(
10、x)与直线y=x相切于原点，记是曲线l在点（x,y)外切线的倾角，求y(x)的表达式。19.证明：1）对任意正整数n，都有2）设,证明收敛。20.一容器的内侧是由图中曲线绕y旋转一周而成的曲面，该曲面由连接而成。（1）求容器的容积。（2）若从容器内将容器的水从容器顶部全部抽出，至少需要多少功？（长度单位：m；重力加速度为；水的密度为）21.已知函数f(x,y)具有二阶连续偏导数，且f(1,y)=0,f(x,1)=0,，其中，计算二重积分。22.X01P1/32/3Y-101P1/31/31/3求：（1）（X，Y）的分布；（2）Z=XY的分布；（3）23.A为三阶实矩阵，且（1）求A的特征值与特征向量；（2）求A2010年考研数学二真题一 填空题(84=32分)
