配方法的拓展与应用

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1、(完整版)配方法的拓展与应用 配方法的拓展与应用浙江省永康市永康中学(321300) 程红妹 配方法，在数学上是指将代数式通过凑配等手段，得到完全平方形式，再利用诸如完全平方项是非负数 这一性质达到增加题目条件等目的的一种数学方法，同一个式子可以有不同的配方结果，可以配一个平方式， 也可以配多个平方式.配方的对象也具有多样性,数、字母、式、函数关系等都可以进行配方.配方法在解题 中有广泛的应用，它可用于无理式证明、化简、求代数式的值、解方程、解不等式、求最值、证明条件等式 等。新规程标准提出通过学习使学生能够获得基本的数学思想方法，浙教版八(下)数学学习了用配方法解 一元二次方程，配方法作为一

2、种常用的数学方法，针对浙八(下)内容，我对配方法的应用进行了一些拓展。1配方法在确定二次根式中字母的取值范围的应用 在求二次根式中的字母的取值范围时，经常可以借助配方法，通过平方项是非负数的性质而求解。例1、求二次根式、：a2-2a + 3中字母a的取值范围分析:根据二次根式的定义，必须被开方数大于等于零，再观察被开方数可以发现可以利用配方法求得。解军：f a2 2a + 3 =、 (a2 2a +1) + 2 = (a 1)2 + 2因为无论a取何值，都有(a -1)2 0。所以a的取值范围是全体实数。 点评：经过配方，观察被开方数，然后利用被开方数必须大于等于零求得所需要的解.2配方法在化

3、简二次根式中的应用 在二次根式的化简中，也经常使用配方法。例2、化简*6 2応分析：题中含有两个根号，化简比较困难，但根据题目的结构特征，可以发现6-2扁可以写成5 2打+1 = G/5 1)2,从而使题目得到化简。解： 2J5 5 + 2,3 +1 = O + 2抒 +12 =弋(、呂 +1)2 = 5 +1点评a + 2、：b的题型，一般可以转化为i：(Jx + Jy)2 = px +廿(其中+了 )来化简。L xy = b3配方法在证明代数式的值为正数、负数等方面的应用 在证明代数式的值为正数或负数，配方法也是一种重要的方法。例3、不管x取什么实数，-x2 + 2x-3的值一定是个负数，

4、请说明理由。分析：本题主要考查利用配方法说明代数式的值恒小于0，说明一个二次三项式恒小于0的方法是通过配方将二次三项式化成“-a 2 +负数的形式。解： x2+2x3=(x22x)3=(x22x+1)+13=(x1)22*.* (x 1)2 W 0，.: (x 1)2 2 0因此，不管x取什么实数，x2 + 2x + 5的值一定是个正数。点评：证明一个二次三项式恒大于0的方法是通过配方将二次三项式化成“ a2 +正数的形式来证明. 4配方法在解某些二元二次方程中的应用解二元二次方程，在课程标准中不属于考试内容，但有些问题，还是可以利用我们所学的方法得以解决。例 5、解方程x2 + y2 + 4

5、x一 2y + 5 = 0。 分析：本题看上去是一个二元二次方程的问题，实质上它是一个非负数问题。解：由 x2 + y2 + 4x- 2y + 5 二 0 整理为(x 2 + 4x + 4) + (y 2 + -2 y +1)二 0(x + 2)2 + (y 1)2 = 0*.* (x + 2)2 n 0, (y 1)2 n 0，: x + 2 = 0， y 1 = 0,x = 2， y = 1.x + 2 二 0点评:把方程x 2 + y 2 + 4 x - 2 y + 5二0转化为方程组 问题，把生疏问题转化为熟悉问题，体现y -1二 0了数学的转化思想，正是我们学习数学的真正目的。5配方

6、法在求最大值、最小值中的应用 在代数式求最值中,利用配方法求最值是一种重要的方法。可以使我们很跨求出所要求的最值。例6、若x为任意实数，求x2 + 4x + 7的最小值。分析：求x2 + 4x + 7的最小值，可以先将它化成(x + 2)2 + 3，根据(x + 2)2 n 0，求得它的最小值为3。 解：x 2 + 4x + 7 二(x 2 + 4x + 4) + 3 二(x + 2)2 + 3.(x + 2)2 n 0，.: (x + 2)2 + 3 n 3，因此，x2 + 4x + 7的最小值为3。点评：配方法是求一元二次方程根的一种方法，也是推导求根公式的工具，同时也是求二次三项式最值(

7、完整版)配方法的拓展与应用 的一种常用方法。例7、若x为任意实数，求2x2 + 4x + 7的最大值。分析：求-2x2 + 4x + 7最大值，可以先将它化成-2(x-1)2 + 9 ,然后根据-2(x-1)2 0，求得它的最大 值为 9.解军：2 x2 + 4 x + 7 = -2( x2 2 x) + 7 = -2( x2 2 x + 1) + 2 + 7 = -2( x 1)2 + 9 2(x 1)2 0，: 2(x 1)2 + 9 0 时，它有最小值c ;当a 0，(m + 7)2 +16 0，即 b2 一 4ac 0.方程有两个不相等的实数根。点评：利用判别式证明方程根的情况是一种常

8、见的题型，其实质上判断判别式的正负，一般都可以利用配 方法解决。例9、试判断关于x的方程x2 + 2ax + 2a2 -a + 5 = 0的根的情况。分析：由于方程中含有字母系数a，要判别方程根的情况，实质上是要判断判别式的正负。解：b2 4ac = (2a)2 4 x 1 x (2a 2 a + 5) = 4a 2 8a 2 + 4a 20=4a 2 + 4a 20 = (4a 2 4a +1) +1 20 = (2a 1)2 19*.* (2a 1)2 0 ,(2a 1)2 19 0，方程没有实数根。点评：要判断方程根的情况，其实质上判断判别式的正负，而判断判别式的正负，最常用的方法就是配

9、 方法.7配方法在恒等变形中的应用(完整版)配方法的拓展与应用 配方法在等式的恒等变形中也经常用到，特别是含有多个二次式时，经常把他们分别配方，转变为平方 式.然后再进行解决.例10、已知a2 + b2 + c2 = ab + be + ac又知a、b、c为三角形的三条边，求证：该三角形是等边三角形。分析：题中a2 + b2 + c2 = ab + be + ac分别含有a、b、c的二次式，提醒我们不妨利用配方法进行解答.证明：丁 a 2 + b 2 + c 2 = ab + bc + ac, a 2 + b 2 + c 2 - ab - bc - ac = 0, 2(a 2 + b 2 +

10、c 2 一 ab 一 bc 一 ac) = 0，.: 2a 2 + 2b 2 + 2c 2 - 2ab - 2bc - 2ac = 0,(a b)2 + (b c)2 + (c a)2 = 0，: a b = 0 , b c = 0 , c a = 0, a=b， b=c， c=a，a=b=c。三角形是等边三角形。 点评：配方法在等式恒等变形中的应用,经常会让我们收到意想不到的效果。配方法是一种重要的数学方法,它既是恒等变形的重要手段，又是研究相等关系，讨论不等关系的常用 技巧,还是挖掘题目当中隐含条件的有力工具。它不仅可以用来解一元二次方程，而且在数学的其他领域也 有着广泛的应用.配方法，是数学学习中的一种重要方法。