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1、浅谈数理方程中线性边界条件的分类摘要： 数学物理方程中有定解离不开初始条件和边界条件，其反映了具体问题所处的环境和背景。本文针对线性边界条件的分类进行归纳。关键词： 数学物理方程 线性边界条件 分类一、 引言物理课程中所研究论述的物理规律是物理量在空间和时间中变化的规律。物理规律用数学表达是：物理量u 在各个地点和各个时刻所取值之间的联系。通过这种联系，我们就可以由边界条件和初始条件推算出物理量在任意地点和任意时刻的u(x,y,z,t)。同时它也是解决问题的依据。为了解算具体问题，应该考虑到所研究的区域所处的环境。边界条件和初始条件就是反映具体问题所处的环境和背景。二、 线性边界条件的分类物理
2、规律反映的是物理量在时间和空间上的联系，与特定的周围环境和历史有关。物理中的联系总是要通过中介，周围环境的影响是通过边界传给其研究对象，所以，周围环境的影响体现于边界所处的物理状况，即边界条件。而不同的物理过程，因其具体的条件不同，结果也不一样。下面，将对线性边界条件进行简单的归纳。1、第一类边界条件这类边界条件直接规定了所研究的物理量在边界上的数值。，又称狄利克雷边界条件。首先以弦振动为例：取一根长为L的弦，把它的两端和固定起来，然后让它振动。边界条件和既然是固定的，那位移U当然始终为零。对于细杆导热问题，如果杆的某一端点x=a的温度U按已知的规律f (t)变化，则该点的边界条件是：特别是如
3、果该端点恒温u0 ,则边界条件成为再如，半导体扩散工艺的“恒定表面浓度扩散”中，硅片周围环境是携带着充足杂质的氮气，杂质通过硅片表面向内部扩散，而硅片表面的杂质浓度保持一定。硅片的边界就是它的表面和，边界上的物理则是杂质浓度U保持为常数N0，例1：设有一半径为a高为h的圆柱体，其底面和侧面保持恒温u0,而顶端温度按已知规律变化，试写出其导热问题的边界条件。解：设杆的温度为，则其边界条件为例2:考虑长为L的均匀杆的导热问题若（1）杆的两端温度保持零度 （2）杆的两端均绝热 （3）杆的一端为恒温零度，另一端绝热；试写出该导热问题在以上三种情况下的边界条件。解：设杆的温度为，则（1）（2）因为当沿杆
4、长方向有热量流动时，有其中，q为热流强度，而杆的两端绝热，就意味着杆的两端与外界没有热交换，亦即没有热量的流动（q=0）故有（3），此时有2 第二类边界条件这类边界条件规定了所研究的物理量在边界外法线方向上的导数的值又称诺伊曼（Neumamm）边界条件。例如作纵振动的杆的某个端点x=a受有沿端点外法线方向的外力f(t)，根据胡克定律，该端点的张应力与外力的关系为 其中S为杆的横截面积。如该端点是自由的，f(t)=0,则。当f(t)0时，对x=L端点，对x=0端点，。 又如细杆导热问题，若杆的某个端点x=a有热流f(t)沿该端点外法线方向流出，则根据热传导定律，边界条件为；如热流f(t)是流入，
5、则边界条件为。如果端点绝热。则。该端点的热流强度为零，而沿x方向的热流强度等于热传导系数K温度UX的乘积变号因此：再如，半导体扩散工艺的“限定源扩散”中没有外来的杂质通过硅片表面进入硅片，只是硅片表层已有的杂质向硅片深部扩散。从“限度源”这个条件并不能推断在硅片表面的浓度u 的值。但是，限定源意味着通过硅片表面x=0和x=L的扩散流强度为零，而沿x方向的扩散流强度对于扩散系数D与浓度梯度的乘积变号，因此 。例3:分别写出以下关于杆的纵振动问题的定解条件。（1） 均匀细杆长为L，在x=0端固定，而在另一端受着一个沿杆长方向的力Q，如果在开始一瞬间，突然停止这个力的作用，求杆的纵向振动。（2） 长
6、为L而固定于x=0一端的均匀细杆，处于静止状态中，在x=0时，一个沿着杆长方向的力Q加在杆的另一端上，求在t0时杆上各点的位移。解： 设杆作纵振动的位移u(x,t)，则（1） 其边界条件为 因为在x=L端虽然受到一个力Q，但这个力在开始的一瞬间已停止，所以对于整个振动过程而言x=L端并不受力，力Q只是引起了初始位移。设杆的横截面积为S，则又Hooke定律有所以 显然 （2） 其边界条件为 因为力Q自t=0时作用在x=L端后，就没有停止和撤消过。故Q导致的是边界条件而不是初始条件。由于开始时杆是处于静止状态中所以初始条件为 3、第三类边界条件 这类边界条件规定了所研究的物理量及其外法向导数的线性
7、组合在边界上的数值。 例如，细杆导热问题，如果杆的某一端点x=a自由冷却，即杆端和周围介质按照牛顿冷却交换热量，从“自由冷却”这个条件既不能推断在该端点的温度u的值，也不能推断在该端点的温度梯度的值。但是，自由冷却规定了从杆端流出的热流强度与温度差之间的关系 即 。对于两端x=0和x=L都是自由冷却的杆，在x=L的一端，外法向n就是x方向，所以自由冷却条件可表为 ；在x=0的一端，外法向n是一x方向，所以自由冷却条件可表为 。值得注意的是，如果杆端跟在周围介质的热传导交换系数h远远大于杆的热传导系数k，则，上述边界条件就退化为第一类边界条件 和。例4 导出长为L的杆的纵向振动问题下列情况下的边
8、界条件：一端固定，另一端为弹性连接（即通过某弹性体而连接与定点）解： 设杆的x=0端固定，另一端为弹性连接，而该特性体的倔强系数为K。显然对于x=L端，可以直接利用 注意到为弹性力，所以有 其中0。以上边界条件都是线性的，有些边界条件甚至是非线性的。例如，在热传导问题中，如果物体表面按斯蒂芬定律向周围辐射热量，那就是出现非线性边界条件。对于非线性边界条件，就不加以说明了。三、 结束语 边界条件在专业领域的应用十分广泛。对于旋转对称的三维问题，只要给出体系的边界条件，我们就可以求解常微分方程。在导体静电学中也用到了边界条件来解体。在重力场粒子的运动的研究中就，边界条件更是发挥了关键的作用。参考文献1. 姚端正 数学物理方法学习指导（M） 北京科学出版社 20012. 谷超豪等 数学物理方程（M） 高等教育出版社 20023. 胡嗣柱 徐建军 数学物理方法解题指导（M） 高等教育出版社 19974. 梁昆淼 数学物理方法(M) 人民教育出版社 19795. 李保安 张道传 物理方程有定解的线性边界条件的分类(Z) 安徽农业技术师范学院学报 2000.146. 蔡圣善 朱耕 经典电动力学(M)复旦大学出版社 19857. 曾谨言 量子力学(上)(M) 科学出版社 1981 （注：可编辑下载，若有不当之处，请指正，谢谢!）
