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1、“第三届全国高中青年教师优秀课观摩与评比活动”说课参赛教案任意角的三角函数(第一课时)云南省曲靖市第一中学 张国坤教材:人民教育出版社中学数学室编全日制普通高级中学教科书(必修)数学第一册(下)(2003年12月第一版,2005年11月第三次印刷).一、 教学目标1掌握任意角的正弦、余弦、正切函数的定义(包括定义域、正负符号判断);了解任意角的余切、正割、余割函数的定义. 2经历从锐角三角函数定义过度到任意角三角函数定义的推广过程,体验三角函数概念的产生、发展过程. 领悟直角坐标系的工具功能,丰富数形结合的经验. 3培养学生通过现象看本质的唯物主义认识论观点,渗透事物相互联系、相互转化的辩证唯
2、物主义世界观. 4培养学生求真务实、实事求是的科学态度. 二、 重点、难点、关键重点:任意角的正弦、余弦、正切函数的定义、定义域、(正负)符号判断法. 难点:把三角函数理解为以实数为自变量的函数. 关键:如何想到建立直角坐标系;六个比值的确定性( 确定,比值也随之确定)与依赖性(比值随着的变化而变化). 三、 教学理念和方法教学中注意用新课程理念处理传统教材,学生的数学学习活动不仅要接受、记忆、模仿和练习,而且要自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学,师生互动,教师发挥组织者、引导者、合作者的作用,引导学生主体参与、揭示本质、经历过程. 根据本节课内容、高一学生认知特点和我自己的教学风格,本节
3、课采用“启发探索、讲练结合”的方法组织教学.四、 教学过程执教线索:回想再认:函数的概念、锐角三角函数定义(锐角三角形边角关系)问题情境:能推广到任意角吗?它山之石:建立直角坐标系(为何?)优化认知:用直角坐标系研究锐角三角函数探索发展:对任意角研究六个比值(与角之间的关系:确定性、依赖性,满足函数定义吗?)自主定义:任意角三角函数定义登高望远:三角函数的要素分析(对应法则、定义域、值域与正负符号判定)例题与练习回顾小结布置作业 (一)复习引入、回想再认开门见山,面对全体学生提问: 在初中我们初步学习了锐角三角函数,前几节课,我们把锐角推广到了任意角,学习了角度制和弧度制,这节课该研究什么呢?
4、探索任意角的三角函数(板书课题),请同学们回想,再明确一下:(情景1)什么叫函数?或者说函数是怎样定义的?让学生回想后再点名回答,投影显示规范的定义,教师根据回答情况进行修正、强调:传统定义:设在一个变化过程中有两个变量x与y,如果对于x的每一个值,y都有唯一确定的值和它对应,那么就说y是x的函数,x叫做自变量,自变量x的取值范围叫做函数的定义域.现代定义:设A、B是非空的数集,如果按某个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数,在集合B中都有唯一确定的数 f(x)和它对应,那么就称映射:AB为从集合A到集合B的一个函数,记作:y= f(x),xA ,其中x叫自变量,自变量x的取值范围A叫
5、做函数的定义域. 设计意图:函数和三角函数是一般和特殊的关系,是共性和个性的关系,学生已经学习了函数的概念,因此对三角函数的学习就是一个从一般到特殊的演绎的过程,也是以具体函数丰富函数概念的过程. 教学经验表明:学生对函数两种定义的记忆是有一定困难的,容易遗忘,此处让学生对函数概念进行回想再认,目的在于明确函数概念的本质,为演绎学习任意角三角函数概念作好知识和认知准备. (情景2)我们在初中通过锐角三角形的边角关系,学习了锐角的正弦、余弦、正切等三个三角函数. 请回想:这三个三角函数分别是怎样规定的?学生口述后再投影展示,教师再根据投影进行强调: 对边邻边sin=,con=,tan=(图1)
6、设计意图:学生在初中学习了锐角的三角函数概念,现在学习任意角的三角函数,又是一种推广和拓展的过程(类似于从有理数到实数的扩展). 温故知新,要让学生体会知识的产生、发展过程,就要从源头上开始,从学生现有认知状况开始,对锐角三角函数的复习就必不可少. (二) 引伸铺垫、创设情景(情景3)我们已经把锐角推广到了任意角,锐角的三角函数概念也能推广到任意角吗?试试看,可以独立思考和探索,也可以互相讨论!留时间让学生独立思考或自由讨论,教师参与讨论或巡回对学困生作启发引导. 能推广吗?怎样推广?针对刚才的问题点名让学生回答. 用角的对边、临边、斜边比值的说法显然是受到阻碍了,由于4.1节已经以直角坐标系
7、为工具来研究任意角了,学生一般会想到(否则教师进行提示)继续用直角坐标系来研究任意角的三角函数. 设计意图:从学生现有知识水平和认知能力出发,创设问题情景,让学生产生认知冲突,进行必要的启发,将学生思维引上自主探索、合作交流的“再创造”征程. 教师对学生回答情况进行点评后布置任务情景:请同学们用直角坐标系重新研究锐角三角函数定义!师生共做(学生口述,教师板书图形和比值):把锐角安装(如何安装?角的顶点与原点重合,角的始边与x轴非负半轴重合)在直角坐标系中,在角终边上任取一点P,作PMx轴于M,构造一个RtOMP,则 MOP=(锐角),设P(x,y)(x0、y0),的临边OM =x、对边MP=y
8、,斜边长|OP=r.根据锐角三角函数定义用x、y、r列出锐角的正弦、余弦、正切三个比值,并补充对应列出三个倒数比值:xOMP(x,y)ysin=,con=,tan= ?= ?= ?=(图2)设计意图:此处做法简单,思想重要. 为了顺利实现推广,可以构建中间桥梁或公共载体,使之既与初中的定义一致,又能自然地迁移到任意角的情形. 由于前一节已经以直角坐标系为工具来研究任意角了,学生自然能想到仍然以直角坐标系为工具来研究任意角的三角函数. 初中以直角三角形边角关系来定义锐角三角函数,现在要用坐标系来研究,探索的结论既要满足任意角的情形,又要包容初中锐角三角函数定义. 这是一个认识的飞跃,是理解任意角
9、三角函数概念的关键之一,也是数学发现的重要思想和方法,属于策略性知识,能够形成迁移能力,为学生在以后学习中对某些知识进行推广拓展奠定了基础(譬如从平面向量到空间向量的扩展,从实数到复数的扩展等). (情景4)各个比值与角之间有怎样的关系?比值是角的函数吗?追问:锐角大小发生变化时,比值会改变吗?先让学生想象思考,作出主观判断,再用几何画板动画演示,同时作好解释说明:保持r不变,让P绕原点O旋转即在锐角范围内变化,六个比值 随之变化的直观形象。结论是:比值随的变化而变化. xOMPy(图3)PM引导学生观察图3,联系相似三角形知识,探索发现: 对于锐角的每一个确定值,六个比值都是确定的,不会随P
10、在终边上的移动而变化. 得出结论(强调):当为锐角时,六个比值随的变化而变化;但对于锐角的每一个确定值,六个比值都是确定的,不会随P在终边上的移动而变化. 所以,六个比值分别是以角为自变量、以比值为函数值的函数. 设计意图:初中学生对函数理解较肤浅,这里在学生思维的最近发展区进一步研究初中学过的锐角三角函数,在思维上更上了一个层次,扣准函数概念的内涵,突出变量之间的依赖关系或对应关系,是从函数知识演绎到三角函数知识的主要依据,是准确理解三角函数概念的关键,也是在认知上把三角函数知识纳入函数知识结构的关键. 这样做能够使学生有效地增强函数观念. (三)分析归纳、自主定义(情境5)能将锐角的比值情
11、形推广到任意角吗?水到渠成,师生共同进行探索和推广:对于一个任意角,它的终边所在位置包括下列两类共八种情形(投影展示并作分析):终边分别在四个象限的情形: 终边分别在四个半轴上的情形:P(x,y)yxOyxP(x,y)O角终边P(x,y)yxOP(x,y)yxO(图4)P(x,y)yxOP(x,y)yxOP(x,y)yxOP(x,y)yxO(图5);(指出:不画出角的方向,表明角具有任意性)怎样刻画任意角的三角函数呢?研究它的六个比值:(板书)设是一个任意角,在终边上除原点外任意取一点P(x,y),P与原点O之间的距离记作r(r=0),列出六个比值: =k+/2时,x=0,比值 y/x、r/x
12、 无意义;= k时,y=0,比值x /y、r /y无意义.追问:大小发生变化时,比值会改变吗?先让学生想象思考,作出主观判断,再用几何画板动画演示,同时作好解释说明:使r保持不变,P绕原点O逆时针、顺时针旋转即角变化,六个比值随之改变的直观形象。结论是:各比值随的变化而变化. 再引导学生利用相似三角形知识,探索发现: 对于任意角的每一个确定值,六个比值都是确定的,不会随P在终边上的移动而变化. 综上得到(强调):当角变化时,六个比值随之变化;对于确定的角, 六个比值(如果存在的话)都不会随P在角终边上的改变而改变,六个比值是确定的(对应的多值性即诱导公式一留到下节课分析). 因此,六个比值分别
13、是以角为自变量、以比值为函数值的函数.根据历史上的规定,对比值进行命名,指出英文记法和读法,记作(承前作复合板书):=sin(正弦) =cos(余弦) =tan(正切) =csc(余割) =sec(正弦) =cot(余切) 教师强调:sin表示sin与的乘积吗?不是,sin是函数记号,是一个整体,相当于函数记号f(x). 其它几个三角函数也如此投影显示图六,指导学生分析其对应关系,进一步体会其函数内涵:yr正弦xr余弦yx正切ry余割rx正割xy余切 (图六) 指导学生识记六个比值及函数名称. 教师指出:正弦、余弦、正切、余切、正割、余割六个函数统称为三角函数,三角函数有非常丰富的知识和思想方法,我们以后主要学习正弦、余弦、正切三个函数的相关知识和方法,对于余切、正割、余割,只要同学们了解它们的定义就够了(遵循大纲要求). 引导学生进一步分析理解:已知角的集合与实数集之间可以建立一一对应关系,对于每一个确定的实数,把它看成一个弧度数,就对应着唯一的一个角,从而分别对应着六个唯一的三角函数值. 因此,(板书)三角函数可以看成是以实数为自变量的函数,这将为以后的应用带来很多方便. 设计意图:把角的终边分别在四个象限、四条半轴上的情形全作出来,有利于对任意性的全面把握. 明确比值存在与否的条件,为确定函数定义域作准备. 动画演示比值与角之间的依赖性与确定