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1、“第三届全国高中青年教师优秀课观摩与评比活动”说课参赛教案任意角的三角函数（第一课时）云南省曲靖市第一中学 张国坤教材：人民教育出版社中学数学室编全日制普通高级中学教科书（必修）数学第一册（下）（2003年12月第一版，2005年11月第三次印刷）.一、 教学目标1掌握任意角的正弦、余弦、正切函数的定义（包括定义域、正负符号判断）；了解任意角的余切、正割、余割函数的定义. 2经历从锐角三角函数定义过度到任意角三角函数定义的推广过程，体验三角函数概念的产生、发展过程. 领悟直角坐标系的工具功能，丰富数形结合的经验. 3培养学生通过现象看本质的唯物主义认识论观点，渗透事物相互联系、相互转化的辩证唯
2、物主义世界观. 4培养学生求真务实、实事求是的科学态度. 二、 重点、难点、关键重点：任意角的正弦、余弦、正切函数的定义、定义域、（正负）符号判断法. 难点：把三角函数理解为以实数为自变量的函数. 关键：如何想到建立直角坐标系；六个比值的确定性（ 确定，比值也随之确定）与依赖性（比值随着的变化而变化）. 三、 教学理念和方法教学中注意用新课程理念处理传统教材，学生的数学学习活动不仅要接受、记忆、模仿和练习，而且要自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学，师生互动，教师发挥组织者、引导者、合作者的作用，引导学生主体参与、揭示本质、经历过程. 根据本节课内容、高一学生认知特点和我自己的教学风格，本节
3、课采用“启发探索、讲练结合”的方法组织教学.四、 教学过程执教线索：回想再认：函数的概念、锐角三角函数定义（锐角三角形边角关系）问题情境：能推广到任意角吗？它山之石：建立直角坐标系（为何？）优化认知：用直角坐标系研究锐角三角函数探索发展：对任意角研究六个比值（与角之间的关系：确定性、依赖性，满足函数定义吗？）自主定义：任意角三角函数定义登高望远：三角函数的要素分析（对应法则、定义域、值域与正负符号判定）例题与练习回顾小结布置作业 （一）复习引入、回想再认开门见山，面对全体学生提问： 在初中我们初步学习了锐角三角函数，前几节课，我们把锐角推广到了任意角，学习了角度制和弧度制，这节课该研究什么呢？
4、探索任意角的三角函数（板书课题），请同学们回想，再明确一下：（情景1）什么叫函数？或者说函数是怎样定义的？让学生回想后再点名回答，投影显示规范的定义，教师根据回答情况进行修正、强调：传统定义：设在一个变化过程中有两个变量x与y，如果对于x的每一个值，y都有唯一确定的值和它对应，那么就说y是x的函数，x叫做自变量，自变量x的取值范围叫做函数的定义域.现代定义：设A、B是非空的数集，如果按某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数，在集合B中都有唯一确定的数 f（x）和它对应，那么就称映射：AB为从集合A到集合B的一个函数，记作：y= f（x），xA ，其中x叫自变量,自变量x的取值范围A叫
5、做函数的定义域. 设计意图：函数和三角函数是一般和特殊的关系，是共性和个性的关系，学生已经学习了函数的概念，因此对三角函数的学习就是一个从一般到特殊的演绎的过程,也是以具体函数丰富函数概念的过程. 教学经验表明：学生对函数两种定义的记忆是有一定困难的，容易遗忘，此处让学生对函数概念进行回想再认，目的在于明确函数概念的本质，为演绎学习任意角三角函数概念作好知识和认知准备. （情景2）我们在初中通过锐角三角形的边角关系，学习了锐角的正弦、余弦、正切等三个三角函数. 请回想：这三个三角函数分别是怎样规定的？学生口述后再投影展示，教师再根据投影进行强调： 对边邻边sin=，con=，tan=（图1）
6、设计意图：学生在初中学习了锐角的三角函数概念，现在学习任意角的三角函数，又是一种推广和拓展的过程（类似于从有理数到实数的扩展）. 温故知新，要让学生体会知识的产生、发展过程，就要从源头上开始，从学生现有认知状况开始，对锐角三角函数的复习就必不可少. （二） 引伸铺垫、创设情景（情景3）我们已经把锐角推广到了任意角，锐角的三角函数概念也能推广到任意角吗？试试看，可以独立思考和探索，也可以互相讨论！留时间让学生独立思考或自由讨论，教师参与讨论或巡回对学困生作启发引导. 能推广吗？怎样推广？针对刚才的问题点名让学生回答. 用角的对边、临边、斜边比值的说法显然是受到阻碍了，由于4.1节已经以直角坐标系
7、为工具来研究任意角了，学生一般会想到（否则教师进行提示）继续用直角坐标系来研究任意角的三角函数. 设计意图：从学生现有知识水平和认知能力出发，创设问题情景，让学生产生认知冲突，进行必要的启发，将学生思维引上自主探索、合作交流的“再创造”征程. 教师对学生回答情况进行点评后布置任务情景：请同学们用直角坐标系重新研究锐角三角函数定义！师生共做（学生口述，教师板书图形和比值）：把锐角安装（如何安装？角的顶点与原点重合，角的始边与x轴非负半轴重合）在直角坐标系中，在角终边上任取一点P，作PMx轴于M，构造一个RtOMP，则 MOP=（锐角），设P（x,y）（x0、y0），的临边OM =x、对边MP=y
8、，斜边长|OP=r.根据锐角三角函数定义用x、y、r列出锐角的正弦、余弦、正切三个比值，并补充对应列出三个倒数比值：xOMP(x,y)ysin=，con=，tan= ?= ?= ?=（图2）设计意图：此处做法简单，思想重要. 为了顺利实现推广，可以构建中间桥梁或公共载体，使之既与初中的定义一致，又能自然地迁移到任意角的情形. 由于前一节已经以直角坐标系为工具来研究任意角了，学生自然能想到仍然以直角坐标系为工具来研究任意角的三角函数. 初中以直角三角形边角关系来定义锐角三角函数，现在要用坐标系来研究，探索的结论既要满足任意角的情形，又要包容初中锐角三角函数定义. 这是一个认识的飞跃，是理解任意角
9、三角函数概念的关键之一，也是数学发现的重要思想和方法，属于策略性知识,能够形成迁移能力,为学生在以后学习中对某些知识进行推广拓展奠定了基础（譬如从平面向量到空间向量的扩展，从实数到复数的扩展等）. （情景4）各个比值与角之间有怎样的关系？比值是角的函数吗？追问：锐角大小发生变化时，比值会改变吗？先让学生想象思考，作出主观判断，再用几何画板动画演示，同时作好解释说明：保持r不变，让P绕原点O旋转即在锐角范围内变化，六个比值 随之变化的直观形象。结论是：比值随的变化而变化. xOMPy（图3）PM引导学生观察图3，联系相似三角形知识，探索发现： 对于锐角的每一个确定值，六个比值都是确定的，不会随P
10、在终边上的移动而变化. 得出结论(强调)：当为锐角时，六个比值随的变化而变化；但对于锐角的每一个确定值，六个比值都是确定的，不会随P在终边上的移动而变化. 所以，六个比值分别是以角为自变量、以比值为函数值的函数. 设计意图：初中学生对函数理解较肤浅，这里在学生思维的最近发展区进一步研究初中学过的锐角三角函数，在思维上更上了一个层次，扣准函数概念的内涵，突出变量之间的依赖关系或对应关系，是从函数知识演绎到三角函数知识的主要依据，是准确理解三角函数概念的关键，也是在认知上把三角函数知识纳入函数知识结构的关键. 这样做能够使学生有效地增强函数观念. （三）分析归纳、自主定义（情境5）能将锐角的比值情
11、形推广到任意角吗?水到渠成，师生共同进行探索和推广：对于一个任意角，它的终边所在位置包括下列两类共八种情形（投影展示并作分析）：终边分别在四个象限的情形： 终边分别在四个半轴上的情形：P(x,y)yxOyxP(x,y)O角终边P(x,y)yxOP(x,y)yxO（图4）P(x,y)yxOP(x,y)yxOP(x,y)yxOP(x,y)yxO（图5）；（指出：不画出角的方向，表明角具有任意性）怎样刻画任意角的三角函数呢？研究它的六个比值：（板书）设是一个任意角，在终边上除原点外任意取一点P（x，y），P与原点O之间的距离记作r（r=0），列出六个比值： =k+/2时，x=0，比值 y/x、r/x
12、 无意义；= k时，y=0，比值x /y、r /y无意义.追问：大小发生变化时，比值会改变吗？先让学生想象思考，作出主观判断，再用几何画板动画演示，同时作好解释说明：使r保持不变，P绕原点O逆时针、顺时针旋转即角变化，六个比值随之改变的直观形象。结论是：各比值随的变化而变化. 再引导学生利用相似三角形知识，探索发现： 对于任意角的每一个确定值，六个比值都是确定的，不会随P在终边上的移动而变化. 综上得到（强调）：当角变化时，六个比值随之变化；对于确定的角， 六个比值（如果存在的话）都不会随P在角终边上的改变而改变，六个比值是确定的(对应的多值性即诱导公式一留到下节课分析). 因此，六个比值分别
13、是以角为自变量、以比值为函数值的函数.根据历史上的规定，对比值进行命名，指出英文记法和读法，记作（承前作复合板书）：=sin（正弦） =cos（余弦） =tan（正切） =csc（余割） =sec（正弦） =cot（余切） 教师强调：sin表示sin与的乘积吗？不是，sin是函数记号，是一个整体,相当于函数记号f（x）. 其它几个三角函数也如此投影显示图六，指导学生分析其对应关系，进一步体会其函数内涵：yr正弦xr余弦yx正切ry余割rx正割xy余切 （图六） 指导学生识记六个比值及函数名称. 教师指出：正弦、余弦、正切、余切、正割、余割六个函数统称为三角函数，三角函数有非常丰富的知识和思想方法，我们以后主要学习正弦、余弦、正切三个函数的相关知识和方法，对于余切、正割、余割，只要同学们了解它们的定义就够了（遵循大纲要求）. 引导学生进一步分析理解：已知角的集合与实数集之间可以建立一一对应关系，对于每一个确定的实数，把它看成一个弧度数，就对应着唯一的一个角，从而分别对应着六个唯一的三角函数值. 因此，（板书）三角函数可以看成是以实数为自变量的函数，这将为以后的应用带来很多方便. 设计意图：把角的终边分别在四个象限、四条半轴上的情形全作出来，有利于对任意性的全面把握. 明确比值存在与否的条件，为确定函数定义域作准备. 动画演示比值与角之间的依赖性与确定
