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1、第一章习题解答1 设随机变量X服从几何分布，即：。求X的特征函数，EX及DX。其中是已知参数。解 = 又 （其中 ）令 则 同理 令 则）2、（1） 求参数为的分布的特征函数，其概率密度函数为 （2） 其期望和方差；（3） 证明对具有相同的参数的b的分布，关于参数p具有可加性。解 （1）设X服从分布，则 （2） （4） 若 则同理可得： 3、设X是一随机变量，是其分布函数，且是严格单调的，求以下随机变量的特征函数。 （1）（2）解 （1） （） 在区间0，1上服从均匀分布的特征函数为（2） = =4、设相互独立，且有相同的几何分布，试求的分布。解 = = = = 5、 试证函数为一特征函数，并
2、求它所对应的随机变量的分布。证 （1） 为连续函数 = = = = 非负定（2） = = （）6、证函数为一特征函数，并求它所对应的随机变量的分布。解 （1） = （） 且连续 为特征函数 （2） = = = 7、设相互独立同服从正态分布，试求n 维随机向量的分布，并求出其均值向量和协方差矩阵，再求的率密度函数。解 又 的特征函数为： 均值向量为 协方差矩阵为 又 8、设XY相互独立，且（1）分别具有参数为及分布；（2）分别服从参数为。求X+Y的分布。解（1） = = = = 则 （2）9、已知随机向量（X、Y）的概率密度函数为 求其特征函数。解 10、已知四维随机向量服从正态分布，均值向量为
3、0，协方差矩阵为解又其中11、设相互独立，且都服从，试求随机变量组成的随机向量的特征函数。解 12、设相互独立，都服正态分布，试求：（1） 随机向量的特征函数。（2） 设，求随机向量的特征函数。（3） 组成的随机向量的特征函数。解（）（）（）13、设服从三维正态分布，其中协方差矩阵为，且试求。解又同理可得14、设相互独立同服从分布。试求的期望。解令则15、设XY相互独立同分布的随机变量，讨论的独立性。 解 有 或 则又 服从指数分布，服从柯西分布，且对有相互独立。16、设X Y相互独立同服从参数为1的指数分布的随机变量，讨论的独立性。解（1） (2) (3) 对均成立 相互独立17、设二维随机变量的概率密度函数分别如下，试求（1）（2）证 （1） = （2）18、设X、Y是两个相互独立同分布的随机变量，X服从区间0，1上的均匀分布，Y服从参数为的指数分布。试求（1）X与X+Y的联合概率密度；（2）解 令 则 （2） 19、设是一列随机变量，且，其中K 是正常数。试证：（1） 当。（2） 当均方收敛于0；（3） 当证 令 0 (当，) 几乎肯定收敛于0 当均方收敛于0当时， 即20、设证 =
