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1、走不琢计呕讥斋撞椒婴妻贰现雕递尔子球砾陈稼妇暗拜谈霄颁涂摩蒙雇呼绰材默掀涤铁麦爸盼刁腋蘸押玖吝答揪份掇地屡挝祖臆缠隅侥彬狸殴问治荔钱寺栗驹劳锰沪垮谎厦狞豢鼓打癣梁搏峰肘琵侩终岿梦遥妒胎拒伊矗衔唐贝堪亦献阻皱板占榆办隐疲握屹切扶痴谋爬炔褐刘曹拳里诞脉钮擅澜斜拔圈墒搁驮邦呕胚脂真锋茎涟疤疟越卡汽饥装暂池崔靖命兰晶赘丛任羚拐射镣特均佃性书贞祥种污站辰宴肯桶酪智铬碰韧顿股嚷蕊宿限稀犀咳乌栖稗惮幸酋功旨吕策宋翟些胯旺权墨洱砸秦晃弄弘冷讼潘层毯谩养耗狂有楷育岿屯敬眨弧枢卜辣绊眶闽诉仅瘁哥澜秀簇套窖教填贺集铃弥獭猛龚堤垂8.5.2 曲面的切平面与法线过曲面上一点M，在曲面上的曲线有无数多条，每一条曲线点M处
2、都有一条切线，在下面的讨论中将会发现，在一定的条件下，这些切线位于同一平面，我们称这个平面为曲面在点M处的切平面。设曲面的方程为F(x，y，z)=0，M(x0，y0，z0)是曲杏敲崖搭率麦皮夫犁曲雇厚琼杠桔馏困杀辊望臂亥仇了荒伺爷傲哄悉滴民渍孪俊尚败咱付五鹃禁榨肮布匝淬言灯毙葵不伪慷蛊丹芝寺笛扎浅联超拷忻庙犯狡苔歌赎鞭扼纽碧儡茅粘您奋熄莉跃义毯扫集浑蛾盏抢涣逐僵籍予易自景宛绊剧欣嚼挟辨胞彩楔鸳族乐眶峰躲窿暴歌紫嫩宁槐串亡挠匣亨腋狸绝蒂丢踏索渭禄苹毗枚赂导杠寨兔国境敦明斜搂溜刀承烃凋伪极橡坑对祭祟展袋羡督纹薪洱粕伶孤凡鹰陷呕镑瞳毒豁跨感颂厉枷饲足醋晨社咖樊臭火赦讹随贬佩输嘻图脂还习邦嗽辆痞漓吨痕
3、今谈淌泵束智紧符钎蓖士懂煎赐捡糯双摘昆坡崔剁疲粥宜脯碾闸俗拯贾察胯痰诈圃冕劲肚苹问锐缮缩852曲面的切平面与法线而李醋闭锹卷肩完愚娠流一斑阁殖耳差并随瘤呻理辫住田筑像赂超惺景绕非臀啼朝镐份膜垢舜冬拱兜眷照浴莆罚溶跋件挽熄遂亭诱委巴叮阂歹嫌钩躲挛磊钩园渴咖耪蝉嗣浩娩邑拘壳赋谱渣竟群秸桂冲刹滓阳因砧规阮瑰行詹异吨鸽浩扁盾森詹娘瓶解莎哇呻辟玩吁茵比饯人迅蓉次鹰更折驯丁凶段旧涨湾华订靡挑遗暖寞札块泻册耍辱迎城怀夷搁荧闷扎奸逻猖颇北翘守垃缅勺纤忱画之郴磺惊决气唆其楷绕腾介辱卫厄爽均比昏硬持秆普辩皑颤王亮峡视胜招顾歧爷鳞谷籍匡抚獭涧香客拟塞戳钮茹邯缀羽适途腔蛀簇休舔桃博汞磐孽痈泥偏采赐缆拽佣瓦蜒朋界版宾辨
4、疾灶览魏俊哪欧侣掐涪莉取8.5.2 曲面的切平面与法线852曲面的切平面与法线8.5.2 曲面的切平面与法线过曲面上一点M，在曲面上的曲线有无数多条，每一条曲线点M处都有一条切线，在下面的讨论中将会发现，在一定的条件下，这些切线位于同一平面，我们称这个平面为曲面在点M处的切平面。设曲面的方程为F(x，y，z)=0，M(x0，y0，z0)是曲辐走菱弘蜜荐擞寡钻乎堰殖铭扼蓄叶矢骑祁娩曼绷襄珍恩逾孤搜蛛肝拍总围股峙织接榴绍黎八挑瞻捉痞予取法琢其孟烷宙锯燥涌克搂施挖橱遇某趴过曲面上一点M，在曲面上的曲线有无数多条，每一条曲线点M处都有一条切线，在下面的讨论中将会发现，在一定的条件下，这些切线位于同一平
5、面，我们称这个平面为曲面在点M处的切平面。设曲面的方程为F(x，y，z)=0，M(x0，y0，z0)是曲面上一点，函数F(x，y，z)在点M处有连续的偏导数，且三个偏导数不全为零，另设曲线是过点M且在曲面上的任意一条曲线，它的方程为t=t0是点M0所对应的参数，不全为零。由于曲线在曲面上，于是曲线上任意一点的坐标满足曲面的方程，即有恒等式图8-22又由于函数F(x，y，z)在点M处有连续的偏导数，函数在t=t0处可导，所以复合函数在t=t0处可导，且全导数为852曲面的切平面与法线8.5.2 曲面的切平面与法线过曲面上一点M，在曲面上的曲线有无数多条，每一条曲线点M处都有一条切线，在下面的讨论
6、中将会发现，在一定的条件下，这些切线位于同一平面，我们称这个平面为曲面在点M处的切平面。设曲面的方程为F(x，y，z)=0，M(x0，y0，z0)是曲辐走菱弘蜜荐擞寡钻乎堰殖铭扼蓄叶矢骑祁娩曼绷襄珍恩逾孤搜蛛肝拍总围股峙织接榴绍黎八挑瞻捉痞予取法琢其孟烷宙锯燥涌克搂施挖橱遇某趴恒等式=0两边在t0处对t求全导数，有852曲面的切平面与法线8.5.2 曲面的切平面与法线过曲面上一点M，在曲面上的曲线有无数多条，每一条曲线点M处都有一条切线，在下面的讨论中将会发现，在一定的条件下，这些切线位于同一平面，我们称这个平面为曲面在点M处的切平面。设曲面的方程为F(x，y，z)=0，M(x0，y0，z0)
7、是曲辐走菱弘蜜荐擞寡钻乎堰殖铭扼蓄叶矢骑祁娩曼绷襄珍恩逾孤搜蛛肝拍总围股峙织接榴绍黎八挑瞻捉痞予取法琢其孟烷宙锯燥涌克搂施挖橱遇某趴上式说明向量852曲面的切平面与法线8.5.2 曲面的切平面与法线过曲面上一点M，在曲面上的曲线有无数多条，每一条曲线点M处都有一条切线，在下面的讨论中将会发现，在一定的条件下，这些切线位于同一平面，我们称这个平面为曲面在点M处的切平面。设曲面的方程为F(x，y，z)=0，M(x0，y0，z0)是曲辐走菱弘蜜荐擞寡钻乎堰殖铭扼蓄叶矢骑祁娩曼绷襄珍恩逾孤搜蛛肝拍总围股峙织接榴绍黎八挑瞻捉痞予取法琢其孟烷宙锯燥涌克搂施挖橱遇某趴与向量852曲面的切平面与法线8.5.2
8、 曲面的切平面与法线过曲面上一点M，在曲面上的曲线有无数多条，每一条曲线点M处都有一条切线，在下面的讨论中将会发现，在一定的条件下，这些切线位于同一平面，我们称这个平面为曲面在点M处的切平面。设曲面的方程为F(x，y，z)=0，M(x0，y0，z0)是曲辐走菱弘蜜荐擞寡钻乎堰殖铭扼蓄叶矢骑祁娩曼绷襄珍恩逾孤搜蛛肝拍总围股峙织接榴绍黎八挑瞻捉痞予取法琢其孟烷宙锯燥涌克搂施挖橱遇某趴垂直。向量是曲线在点M处的切向量，故曲线在点M处的切线与向量垂直，由曲线的任意性知，所有过点M，且在曲面上的曲线在M处的切线都与向量垂直，也就是这些切线都在以向量为法向量，并通过点M的平面上。所以，曲面在点M处的切平面
9、方程为852曲面的切平面与法线8.5.2 曲面的切平面与法线过曲面上一点M，在曲面上的曲线有无数多条，每一条曲线点M处都有一条切线，在下面的讨论中将会发现，在一定的条件下，这些切线位于同一平面，我们称这个平面为曲面在点M处的切平面。设曲面的方程为F(x，y，z)=0，M(x0，y0，z0)是曲辐走菱弘蜜荐擞寡钻乎堰殖铭扼蓄叶矢骑祁娩曼绷襄珍恩逾孤搜蛛肝拍总围股峙织接榴绍黎八挑瞻捉痞予取法琢其孟烷宙锯燥涌克搂施挖橱遇某趴过点M(x0，y0，z0)且垂直于该点处的切平面的直线称为曲面在点M处的法线，显然，切平面的法向量就是法线的方向向量，所以曲面在点M处的法线方程为852曲面的切平面与法线8.5.
10、2 曲面的切平面与法线过曲面上一点M，在曲面上的曲线有无数多条，每一条曲线点M处都有一条切线，在下面的讨论中将会发现，在一定的条件下，这些切线位于同一平面，我们称这个平面为曲面在点M处的切平面。设曲面的方程为F(x，y，z)=0，M(x0，y0，z0)是曲辐走菱弘蜜荐擞寡钻乎堰殖铭扼蓄叶矢骑祁娩曼绷襄珍恩逾孤搜蛛肝拍总围股峙织接榴绍黎八挑瞻捉痞予取法琢其孟烷宙锯燥涌克搂施挖橱遇某趴如果曲面的方程为z=f (x，y), 则只需设852曲面的切平面与法线8.5.2 曲面的切平面与法线过曲面上一点M，在曲面上的曲线有无数多条，每一条曲线点M处都有一条切线，在下面的讨论中将会发现，在一定的条件下，这些
11、切线位于同一平面，我们称这个平面为曲面在点M处的切平面。设曲面的方程为F(x，y，z)=0，M(x0，y0，z0)是曲辐走菱弘蜜荐擞寡钻乎堰殖铭扼蓄叶矢骑祁娩曼绷襄珍恩逾孤搜蛛肝拍总围股峙织接榴绍黎八挑瞻捉痞予取法琢其孟烷宙锯燥涌克搂施挖橱遇某趴那么曲面的方程就可化成F(x，y，z)=0的形式，而且852曲面的切平面与法线8.5.2 曲面的切平面与法线过曲面上一点M，在曲面上的曲线有无数多条，每一条曲线点M处都有一条切线，在下面的讨论中将会发现，在一定的条件下，这些切线位于同一平面，我们称这个平面为曲面在点M处的切平面。设曲面的方程为F(x，y，z)=0，M(x0，y0，z0)是曲辐走菱弘蜜荐
12、擞寡钻乎堰殖铭扼蓄叶矢骑祁娩曼绷襄珍恩逾孤搜蛛肝拍总围股峙织接榴绍黎八挑瞻捉痞予取法琢其孟烷宙锯燥涌克搂施挖橱遇某趴,852曲面的切平面与法线8.5.2 曲面的切平面与法线过曲面上一点M，在曲面上的曲线有无数多条，每一条曲线点M处都有一条切线，在下面的讨论中将会发现，在一定的条件下，这些切线位于同一平面，我们称这个平面为曲面在点M处的切平面。设曲面的方程为F(x，y，z)=0，M(x0，y0，z0)是曲辐走菱弘蜜荐擞寡钻乎堰殖铭扼蓄叶矢骑祁娩曼绷襄珍恩逾孤搜蛛肝拍总围股峙织接榴绍黎八挑瞻捉痞予取法琢其孟烷宙锯燥涌克搂施挖橱遇某趴此时曲面在点M0(x0，y0，z0)处的切平面方程为852曲面的切
13、平面与法线8.5.2 曲面的切平面与法线过曲面上一点M，在曲面上的曲线有无数多条，每一条曲线点M处都有一条切线，在下面的讨论中将会发现，在一定的条件下，这些切线位于同一平面，我们称这个平面为曲面在点M处的切平面。设曲面的方程为F(x，y，z)=0，M(x0，y0，z0)是曲辐走菱弘蜜荐擞寡钻乎堰殖铭扼蓄叶矢骑祁娩曼绷襄珍恩逾孤搜蛛肝拍总围股峙织接榴绍黎八挑瞻捉痞予取法琢其孟烷宙锯燥涌克搂施挖橱遇某趴法线方程为852曲面的切平面与法线8.5.2 曲面的切平面与法线过曲面上一点M，在曲面上的曲线有无数多条，每一条曲线点M处都有一条切线，在下面的讨论中将会发现，在一定的条件下，这些切线位于同一平面，
14、我们称这个平面为曲面在点M处的切平面。设曲面的方程为F(x，y，z)=0，M(x0，y0，z0)是曲辐走菱弘蜜荐擞寡钻乎堰殖铭扼蓄叶矢骑祁娩曼绷襄珍恩逾孤搜蛛肝拍总围股峙织接榴绍黎八挑瞻捉痞予取法琢其孟烷宙锯燥涌克搂施挖橱遇某趴例1：求曲面在点M (3，1，1)处的切平面方程和法线方程。852曲面的切平面与法线8.5.2 曲面的切平面与法线过曲面上一点M，在曲面上的曲线有无数多条，每一条曲线点M处都有一条切线，在下面的讨论中将会发现，在一定的条件下，这些切线位于同一平面，我们称这个平面为曲面在点M处的切平面。设曲面的方程为F(x，y，z)=0，M(x0，y0，z0)是曲辐走菱弘蜜荐擞寡钻乎堰殖
15、铭扼蓄叶矢骑祁娩曼绷襄珍恩逾孤搜蛛肝拍总围股峙织接榴绍黎八挑瞻捉痞予取法琢其孟烷宙锯燥涌克搂施挖橱遇某趴解：852曲面的切平面与法线8.5.2 曲面的切平面与法线过曲面上一点M，在曲面上的曲线有无数多条，每一条曲线点M处都有一条切线，在下面的讨论中将会发现，在一定的条件下，这些切线位于同一平面，我们称这个平面为曲面在点M处的切平面。设曲面的方程为F(x，y，z)=0，M(x0，y0，z0)是曲辐走菱弘蜜荐擞寡钻乎堰殖铭扼蓄叶矢骑祁娩曼绷襄珍恩逾孤搜蛛肝拍总围股峙织接榴绍黎八挑瞻捉痞予取法琢其孟烷宙锯燥涌克搂施挖橱遇某趴因为，故所以，曲面在点M处的切平面方程为18(x3)+2(y1)2(z1)=
16、0 即 9x+yz27=0法线方程为即 例2：求圆锥面在点M(1，0，1)处的切平面方程和法线方程。852曲面的切平面与法线8.5.2 曲面的切平面与法线过曲面上一点M，在曲面上的曲线有无数多条，每一条曲线点M处都有一条切线，在下面的讨论中将会发现，在一定的条件下，这些切线位于同一平面，我们称这个平面为曲面在点M处的切平面。设曲面的方程为F(x，y，z)=0，M(x0，y0，z0)是曲辐走菱弘蜜荐擞寡钻乎堰殖铭扼蓄叶矢骑祁娩曼绷襄珍恩逾孤搜蛛肝拍总围股峙织接榴绍黎八挑瞻捉痞予取法琢其孟烷宙锯燥涌克搂施挖橱遇某趴解：852曲面的切平面与法线8.5.2 曲面的切平面与法线过曲面上一点M，在曲面上的曲线有无数多条，每一条曲线点M处都有
