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1、 义务教育阶段的数学教学如何渗透数学思想 顾沛 在半年前颁布的义务教育数学课程标准（2011年版）（以下简称为课标）中，数学基础教育中的“双基”提法被发展为“四基”的提法，即从“数学的基础知识、基本技能”发展为“数学的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验”1。这是课标在理念上的重大发展。怎样把握新增加的“两基”，是许多人在学习课标过程中关心的问题。本文着重谈其中的“一基”数学的基本思想；并且着重谈谈义务教育的数学教学可以并应该渗透哪些数学思想，如何渗透这些数学思想。它们是笔者学习课标的体会，结合案例与大家交流。 一、义务教育的数学教学应该渗透数学思想为什么数学教学应该渗透数学思想呢？笔者
2、以为，数学思想是数学科学发生、发展的根本，也是数学课程教学的精髓。数学课程并不仅仅以教会数学的概念、公式和计算程序、解题方法为目标，更重要的是让学生在学习这些结论的过程中获得数学思想。课标在这里的措词为数学的“基本思想”，而不是数学的“基本思想方法”，笔者以为，这是明智的、恰当的，因为“思想方法”可能更多地让人联想到具体的“方法”，层次就降低了，且冲淡了“思想”这个关键词。数学的基本思想，主要可以有数学抽象的思想、数学推理的思想、数学模型的思想，还可以有数学审美的思想。人类通过数学抽象，从客观世界中得到数学的概念和法则，建立了数学学科及其众多的分支；通过数学推理，进一步得到大量结论，数学科学得
3、以丰富和发展；通过数学模型，把数学应用到客观世界中，产生了巨大的社会效益，又反过来促进了数学科学的发展。而数学方法，则是对某一类问题的解决经过反复推敲，逐渐形成的某一类程序化的操作。数学方法不同于数学思想。“数学思想”往往是观念的、全面的、普遍的、深刻的、一般的、内在的、概括的；而“数学方法”往往是操作的、局部的、特殊的、表象的、具体的、程序的、技巧的。数学思想常常通过数学方法去体现；数学方法又常常反映了某种数学思想。数学思想是数学教学的核心和精髓，教师在讲授数学方法时应该努力反映和体现数学思想，让学生了解和体会数学思想，提高学生的数学素养2。有人可能认为，数学思想比较深奥，小学生、初中生思维
4、还不够成熟，义务教育阶段的数学教学不必涉及数学思想，数学思想的教学是高中、大学的事。这种看法有些片面，教育的中心是育人，小学生、初中生、高中生和大学生，年龄虽然不同，但都要在学校接受和形成各种思想。小学、初中、高中和大学，数学学习的内容虽然不同，但是“通过数学课程，学习数学思想，提高数学素养”，这一点是共同的。数学教学，很重要的方面是提高学生的思维品质，而这与接受和领悟数学思想密切相关。所以数学思想的渗透，应该是长期的、一贯的，应该从小学一年级开始，也完全可以从小学一年级开始。 当然，采用怎样的方式和语言渗透数学思想，则必须考虑到小学生、初中生的年龄心理特点，也必须考虑到他们的知识基础和认知规
5、律。他们的理解能力正在开发中，他们的思维正在启蒙中，所以，教师应该结合义务教育阶段数学课程的内容，研究在不同的学段和不同的年级，可以在教学中渗透哪些数学思想，如何渗透，特别是如何结合具体知识的教学来渗透。笔者近七年来参加了义务教育数学课程的教改，听了大量的课，与许多一线教师和教研员座谈，也与研究小学、初中数学教育的学者有过不少接触和讨论，对这些问题有一些粗浅的看法。二、义务教育的数学教学应该渗透哪些数学思想首先，抽象、推理、模型这三个数学的基本思想，都是可以在义务教育阶段的数学教学中渗透的，也都是可以从小学低年级的数学教学开始渗透的。分别说明于下。一年级小学生入学后就要学习10以内的自然数。自
6、然数虽“自然”，也是客观世界中各种具体的数量经过人类大脑抽象后的产物，在历史上经历了数万年的漫长过程。一年级小学生还要学习长方体、正方体、圆柱和球，还要学习长方形、正方形、三角形、圆。这些几何图形，也是客观世界中各种具体的物体及其表面经过人的大脑抽象后的产物，在人类发展的历史上也经历了数万年的漫长过程。数和形，是数学研究的两大基本客体，它们都是人类大脑进行数学抽象的产物，所以说，没有数学抽象就没有数学学科。事实上，数学学科的任何一个概念、任何一个法则，都是抽象的结果，所以，数学抽象的思想会贯穿于数学教学的自始至终。小学生的数学学习，多一半的内容是“数的运算”，运算必定伴随着推理；初中的数学内容
7、则有更多的推理，并且应该逐步让学生懂得“一切数学结论都必须经过推理证明”。例如小学一年级“20以内的退位减法”的教学，教师往往引导学生逐步找出四种方法：一个一个地掰着手指头逐次地减；先用被减数的个位数来减，发现不够减时，再从被减数10位上继续减；算减想加，再从“减法是加法的逆运算”推出结果；当个位上的数不够减时，直接退到10位上去，把10位上的1看作个位上的10，减去减数后再加上原来被减数个位上的数。这一段教学中教师往往会渗透“解决问题的多种策略”的思想和优化的思想，也会提及上述各种方法的道理，从而也就渗透了数学推理的思想。数学推理是数学的根基，没有数学推理，就没有数学学科丰富的结论，就没有数
8、学学科的发展。教小学生和初中生的数学课程，常常需要从他们熟悉的生活情境引入话题，完成数学授课，也常常在得出数学结论后把结论应用到实际中去，让他们感到数学有用，从而提高学生学习数学的积极性。这里，得出数学结论的过程往往就是建立数学模型的过程，把结论应用到实际中去的过程往往就是使用数学模型的过程。以问题引领展开数学教学的过程，常常就是数学模型思想的应用过程。例如“鸡兔同笼”的问题，既可以在小学阶段用四则运算作为模型去解决问题，也可以在初中阶段用一元一次方程或者二元一次方程组作为模型去解决问题。数学模型，是数学学科的理论联系客观世界的纽带，正是数学模型使数学产生了巨大的社会效益，又同时促进了数学科学
9、的发展。数学审美的思想，也是可以在义务教育阶段的数学教学中渗透的。除了这些数学的基本思想外，由基本思想派生出来的许多数学思想也可以在数学教学中渗透。特别是以下的一些数学思想，在小学和初中阶段都有机会渗透：分类的思想，集合的思想，“变中有不变”的思想，符号表示的思想，对应的思想，归纳的思想，数形结合的思想，转换化归的思想，联想类比的思想，普遍联系的思想，特殊与一般的思想，简化的思想，量化的思想，优化的思想，随机的思想，统计的思想，简洁的思想，对称的思想，和谐的思想，以简驭繁的思想，“透过现象看本质”的思想，等等。而下面这些数学思想，也许在小学阶段不大方便渗透，可能到初中阶段才更加有机会渗透：有限
10、与无限的思想，演绎的思想，公理化思想，逐步逼近的思想，代换的思想，变换的思想，运动的思想，函数的思想，方程的思想，算法的思想，统一的思想，等等。至于数学思想如何在小学和初中数学课程中结合具体知识的教学去渗透，下文将通过一些案例来阐释。三、义务教育的数学教学如何在知识传授中渗透数学思想我们结合课标“附录2”中的实例1，简要说明义务教育阶段的数学教学怎样结合具体知识的教学去渗透数学思想，不同知识的教学可以渗透哪些不同的数学思想。（案例和附图的编号都采用课标中原来的编号，以方便读者查阅。）1）课标例1 用算盘上的算珠表示三位数。算盘上的下珠表示1，上珠表示5，空档表示0。算盘还体现了十进位值制记数法
11、。这里可以渗透符号表示的思想。2）课标例10 在下面的图1中，描出横排和竖排上两个数相加等于10 的格子，再分别描出相加等于6，9的格子，你能发现什么规律。 987654321+123456789 图1本例在帮助学生熟习20以内加法的同时，发现“相加等于6”的所有格子整体上呈现直线状态，感悟规律之美、和谐之美，可以渗透数形结合的思想、和谐的思想。在“相加等于6”的要求下，1唯一对应5，2唯一对应4，3唯一对应3，等等，可以渗透对应的思想、函数的思想。3）课标例17 分别选择三个不同的标准把全班同学分为两类，记录调查结果。 本例在学生进行分类的活动过程中，教师可以因势利导地让学生了解“分类前必须
12、设定标准”，然后引导学生讨论可以考虑的不同标准。例如，性别、身高、家到学校的距离、出生年月、左右手写字，等等，都可以作为分类的标准。分类的结果就产生集合。这里可以渗透分类的思想、集合的思想。比较、分类等活动是对数据进行初步的整理，是学生进行数据分析的开始，从而也就可以渗透统计的思想，以及从数据出发的观念。4）课标例18 新年联欢会准备买水果，调查班级同学最喜欢吃的水果，设计购买方案。本例可以体会数据调查、数据分析对于决策的作用，渗透数据分析的思想。学生可以按照不同的方法收集并表示数据，并且参照事先的约定决定购买水果的方案。不同的方案没有“对、错”之分，但要符合起初制订的原则。这里可以渗透统计的
13、思想，看到统计的结论往往只有“好、坏”之分，不像数学演绎推理的结论有“对、错”之分。5）课标例22 上学时间。本例题让学生记录自己在一个星期内每天上学途中所需要的时间，并从这些数据中发现有用的信息。如果把记录时间精确到分，可能学生每天上学需要的时间是不一样的，可以让学生感悟数据的随机性；更进一步，让学生感悟虽然数据是随机的，但数据较多时又具有某种稳定性，可以从中得到很多信息。这里可以渗透随机的思想、数据分析的思想。6）课标例26 李阿姨去商店购物，带了100元，她买了两袋面，每袋30.4元，又买了一块牛肉，用了19.4元，她还想买一条鱼，大一些的每条25.2元，小一些的每条15.8元。请帮助李
14、阿姨估算一下，她带的钱够不够买小鱼？能不能买大鱼？这是在第二学段中关于“估算”的例题。课标（2011年版）对“估算”的表述应该引起我们的注意。现在，教师不应再说“估算就是凑零为整”的话了。新课标的相关表述是：第一学段的估算，重点在于让学生学会结合具体情境选择合适的单位，第二学段的估算，还要让学生学会结合具体情境选择合适的方法。本例题首先选择合适单位“1元”，不要认为这是在“凑零为整”；估算离不开情境，不同的情境估算时需要选择不同的单位，参看课标例6中选择的合适单位是“1000人”，就清楚了。然后在此基础上再选择合适的方法。对于题中的第一问“她带的钱够不够买小鱼？”，用适当放大的方法取过剩近似值
15、估算已买物品至多花去的金额，得到结论“够”；对于第二问“她带的钱能不能买大鱼？”，用适当缩小的方法取不足近似值估算已买物品至少花去的金额，得到结论“不能”。这里可以渗透简化的思想、估算的思想、数学推理的思想。7）课标例30 联欢会上，小明按照3个红气球、2个黄气球、1个绿气球的顺序把气球串起来装饰教室。你知道第16个气球是什么颜色吗？本例题希望学生通过所给条件，发现规律，进一步了解规律可以借助各种符号来表示。在解决这个问题时，学生可以给出多种方法。例如，用A表示红气球，B表示黄气球，C表示绿气球，则按照题意气球的排列顺序可以写成 AAABBCAAABBC从中找出第16个字母是B，由此推出第16个气球的颜色是“黄”。这里，气球的颜色在变化，但是变化中总是“按照3红、2黄、1绿的顺序”，这就是“变中有不变”。这里除了可以渗透“变中有不变”的思想外，还可以渗透符号表示的思
