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1、立体几何大题的解题技巧综合提升【命题分析】高考中立体几何命题特点：1. 线面位置关系突出平行和垂直，将侧重于垂直关系空间“角”与“距离”的计算常在解答题中综合出现多面体及简单多面体的概念、性质多在选择题，填空题出现有关三棱柱、四棱柱、三棱锥的问题，特别是与球有关的问题将是高考命题的热点.此类题目分值一般在17-22分之间，题型一般为1个选择题，1个填空题，1个解答题.【考点分析】掌握两条直线所成的角和距离的概念，对于异面直线的距离，只要求会计算已给出公垂线时的距离.掌握斜线在平面上的射影、直线和平面所成的角、直线和平面的距离的概念.掌握二面角、二面角的平面角、两个平行平面间的距离的概念【高考考
2、查的重难点*状元总结】空间距离和角：“六个距离”：1两点间距离dJ（xX2）2（yy2）2（石z?）2PQ*u2点P到线l的距离d（Q是直线l上任意一点，u为过点P的直线l法向量）uPQ*u3两异面直线的距离d（P、Q分别是两直线上任意两点u为两直线公共法向量）uPQ*u4点P到平面的距离d（Q是平面上任意一点，u为平面法向量）u5直线与平面的距离【同上】6平行平面间的距离【同上】“三个角度”：1异面直线角【0,2】cos|vj|vd【辨】直线倾斜角范围【0,2线面角【0,1sin=cogv,nvn|nn或者解二角形Nlnl3二面角【0,】cos或者找垂直线，解三角形不论是求空间距离还是空间角
3、，都要按照寓证明于运算之中，正是本专题的一大特色“一作，二证，三算”的步骤来完成，即求解空间距离和角的方法有两种：一是利用传统的几何方法，二是利用空间向量。其中，利用空间向量求空间距离和角的套路与格式固定，是解决立体几何问题这套强有力的工具时，使得高考题具有很强的套路性。【例题解析】考点1点到平面的距离求点到平面的距离就是求点到平面的垂线段的长度，其关键在于确定点在平面内的垂足，当然别忘了转化法与等体积法的应用.典型例题例1（福建卷）如图，正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长都为2,D为CC1中点.（I）求证：AB1平面AiBD；（口）求二面角AA1DB的大小；（ID）求点C到平面ABD的距离
4、.考查目的：本小题主要考查直线与平面的位置关系，二面角的大小，点到平面的距离等知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力.解：解法一：（I）取BC中点O,连结AO.QAABC为正三角形，AOBC.Q正三棱柱ABCA1B1C1中，平面ABC上平面BCCiBi,AO平面BCC1B1连结BO,在正方形BBiCiC中，O,D分别为BC,CG的中点，BOBD,AB1BD.在正方形ABB1A1中，AB1AB,AB1平面A1BD.（H）设AB1与AB交于点G,在平面AiBD中，作GFAD于F,连结AF,由（I）得ABi平面ABD.AFAD,/AFG为二面角ARDB的平面角.在AAA,D中，由等面积法可求
5、得AF4匝,又QAG1ABi2，2sinZAFGAGAFV2而.454V所以二面角aADB的大小为aginiL由VAiBCDVcAiBD,付S/xBCDgJ3Sa33A1BDS,3&BCDd&AiBD点C到平面ABD的距离为匣.2解法二：(I)取BC中点O,连结QABC为正三角形，AOBC.AOQ在正棱柱ABCAiBiCi中，平面ABC平面BCCiBi4(川)ABD中，BDAD(5,AB2克，SaAlBD职，SABCD1.在正三棱柱中，A到平面BCC1B1的距离为焰.设点C到平面A1BD的距离为d.AD上平面BCCiBi-取BiCi中点Oi，以。为原点,uuuOB,UUULoo,UUU皿、，O
6、A的万向为x,y,z轴的正方向建立空间直角坐标系，则B(i,0,0),D(i,i,0),a(o,2而，a(o,o,V3)，Bi(i,2,0),UUTABi(i,2,UUTBD(2i0)，LUTBA(i,2,构-UUUTUUTQABigBDUUUTUULTABigBA430,UUUTUUTABiBD,UULTABi上BA-UUTABi平面AAFBixCiy(n)设平面AiAD的法向量为(x,y,z)UUUTuutQnAD,nAA，UUUUUUTAD(i,i,伯)，AA(0,2,0)UULTngAD0,UULTngAA0,xy3z2y0,0,y0,x3z.zi得n(73,0i)为平面AAD的一个法
7、向量.由(I)知AB1平面ABD,uuur、,十=ABi为平面ABD的法向量.uuurABiuuur-_ngAB1.3.3uuir_ngABi2g2.2.面角AADB的大小为arccos6.4(m)(n)，ABi为平面AiBD法向量,uurnur_QBC(2,0,0),AB(1,2,3)-uuruuur点C到平面ABD的距离dIBCgABII2匝.1uuuurAB12扼2小结：本例中(m)采用了两种方法求点到平面的距离.解法二采用了平面向量的计算方法,的距离，设其为h,由题意知,BC4J2,D、E、F分别是把不易直接求的B点到平面AMBi的距离转化为容易求的点K到平面AMBi的距离的计算方法，
8、这是数学解题中常用的方法；解法一采用了等体积法，这种方法可以避免复杂的几何作图，显得更简单些，因此可优先考虑使用这一种方法考点2异面直线的距离考查异目主面直线的距离的概念及其求法考纲只要求掌握已给出公垂线段的异面直线的距离.例2已知三棱锥SABC，底面是边长为点的正三角形，棱SC的长为2,且垂直于底面.E、D分别为BC、AB的中点，求CD与SE间的距离.思路启迪：由于异面直线CD与SE的公垂线不易寻找，所以设法将所求异面直线的距离，转化成求直线与平面的距离，再进一步转化成求点到平面的距离.解：如图所示，取BD的中点F,连结EF,SF,CF,EF为BCD的中位线，EF/CD,CDII面SEF,C
9、D到平面SEF的距离即为两异面直线间的距离又线面之间的距离可转化为线CD上一点C到平面SEFAB、BC、BD的中点，CD2,6,EFCD.6,DF2,SC22Vscefiii一-2-3EFDFSC62232323在RtSCE中，SEvSC2CE223在RtSCF中，SFJSC2CF2J424230由于VCSEFSCEF23，解得h32.3又EF,6,Ssef3思路启迪：把线面距离转化为点面距离，再用点到平面距离的方法求解.解：解法一BD/平面GBiDi,BD上任意一点到平面GBiDi的距离皆为所求，以下求点O平面GBiDi的距离，DiOBiCDOCi故CD与SE间的距离为小结：通过本例我们可以
10、看到求空间距离的过程，就是一个不断转化的过程考点3直线到平面的距离偶尔会再加上平行平面间的距离，主要考查点面、线面、面面距离间的转化例3.如图，在棱长为2的正方体AC1中，G是以1的中点，求BD到平面GB1D1的距离.又SOiOG2：-：6.2,OH3B1D1AC1,B1D1AA,B1D1平面A1ACC1,又BiDi平面GBiDi平面AACCiGBiDi,两个平面的交线是OiG,作OHOiG于H,则有OH平面GBiDi,即oh是。点到平面GBDi的距离.i i在OQG中，SoqgOiOAO-2V22.i221 i-OHOG3OH22.6即BD到平面GBiDi的距离等于23解法二BDII平面GB
11、iDi,BD上任意一点到平面GBiDi的距离皆为所求，以下求点B平面GBiD的距离.设点B到平面GBiDi的距离为h,将它视为三棱锥BGBiDi的高，则VDiGBBi，由于SGBiDii-2223,6,iiccc4人42.6222,323h.63，VBGBiDiVDiGBBi即BD到平面GBiDi的距离等2、63BO,又QAOIBOO,平面AOB,平面COD.COD平面AOB.平面小结：当直线与平面平行时，直线上的每一点到平面的距离都相等，都是线面距离.所以求线面距离关键是选准恰当的点，转化为点面距离.本例解析一是根据选出的点直接作出距离；解析二是等体积法求出点面距离.考点4异面直线所成的角【
12、重难点】此类题目一般是按定义作出异面直线所成的角，然后通过解三角形来求角典型例题例4如图，在RtAAOB中，OAB,斜边AB4.RtAAOC可以通过6RtAAOB以直线AO为轴旋转得到，且二面角BAOC的直二面角.D是AB的中点.(I) 求证：平面COD平面AOB;(II) 求异面直线AO与CD所成角的大小.思路启迪：(II)的关键是通过平移把异面直线转化到一个三角形内.解：解法i:(I)由题意，COAO,BOAO,BOC是二面角BAOC是直二面角，COCO(II)作DEOB,垂足为E，连结CE(如图)，则DE/CDE是异面直线AO与CD所成的角.2，OE】BOi，2在RtACOE中，COBO
13、CECO2OE25.又DEAO32在RtACDE中，tanCDECEDE异面直线AO与CD所成角的大小为压3i5arctan3又CO解法2:（I）同解法1.(II)建立空间直角坐标系Oxyz，如图，则0(0,0,0),A(0,0,2j3),0(2,0,0),D(01,捎),uurinn_0A(0,0,2.3)，0D(2,1,.3)，uuuuuife#睥OA*D.6亦.cosOA,CDuuuiluuur三产0A|g0D|2g2很4异面直线AO与CD所成角的大小为arccos6.4小结：求异面直线所成的角常常先作出所成角的平面图形，作法有：平移法：在异面直线中的一条直线上选择“特殊点”，作另一条直
14、线的平行线，如解析一，或利用中位线，如解析二；补形法：把空间图形补成熟悉的几何体，其目的在于容易发现两条异面直线间的关系，如解析三.一般来说，平移法是最常用的，应作为求异面直线所成的角的首选方法.同时要特别注意异面直线所成的角的范围:考点5直线和平面所成的角此类题主要考查直线与平面所成的角的作法、证明以及计算线面角在空间角中占有重要地位，是高考的常考内容.典型例题例5（全国卷I理）四棱锥SABCD中，底面ABCD为平行四边形，侧面AB2,BC2再，SASB扼.（I）证明SABC；SBC底面ABCD.已知/AB（口）求直线SD与平面SAB所成角的大小.考查目的：本小题主要考查直线与直线，直线与平面的位置关系，二面角的大小，点到平面的距离等知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力.解：解法一：（I）作SOBC,垂足为0,连结A0,由侧面SBC底面ABCD,得SOI底面ABCD.因为SASB,所以AOB0,又ABC45，故AOB为等腰直角三角形，AOB0,由二垂线定理，得SALBC.()由(I)知SALBC，依题设AD/BC,故SALAD,由ADBC242,SAV3,AOSO1,SD而.SAB的面积；AB%；SA21AB击.DBA连结DB，得DAB的面积S21ABgADsin13522设D到平面SAB的距离为h，由于VDsabVsabd,得1
